Номер 28, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DEF_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна 1.

Перевод данных в систему СИ:
Длина стороны основания $a = 1$ (единица длины).
Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Найти:
Расстояние от точки B до плоскости $DEF_1$.

Решение:
Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $x$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину A, ось $y$ перпендикулярно оси $x$ в плоскости основания, ось $z$ вдоль высоты призмы.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь те же $x$ и $y$ координаты, но $z=1$.
Таким образом, координаты точек, определяющих плоскость $DEF_1$:
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем уравнение плоскости $DEF_1$. Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DE}$ и $\vec{DF_1}$.
$\vec{DE} = E - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{DF_1} = F_1 - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $DEF_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DE} \times \vec{DF_1}$:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$A = (-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3}/2) = -\sqrt{3}/2$
$B = 0 \cdot (3/2) - (1/2) \cdot 1 = -1/2$
$C = (1/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2) \cdot (3/2) = -\sqrt{3}/4 + 3\sqrt{3}/4 = 2\sqrt{3}/4 = \sqrt{3}/2$
Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (-\sqrt{3}/2, -1/2, \sqrt{3}/2)$. Для упрощения вычислений можно умножить все компоненты вектора нормали на -2, получив $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_0 = 0$. Используя $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$, получим:
$\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z + D_0 = 0$
Подставим координаты точки $D(-1, 0, 0)$ в это уравнение для нахождения $D_0$:
$\sqrt{3}(-1) + 0 - \sqrt{3}(0) + D_0 = 0$
$-\sqrt{3} + D_0 = 0 \Rightarrow D_0 = \sqrt{3}$

Уравнение плоскости $DEF_1$ имеет вид: $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $DEF_1$ по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_0|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Здесь $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, а $(A, B, C) = (\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$ и $D_0 = \sqrt{3}$.

Числитель:
$|\sqrt{3}(1/2) + 1(\sqrt{3}/2) - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}|$ = $|\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 + 0 + \sqrt{3}|$ = $|\sqrt{3} + \sqrt{3}|$ = $|2\sqrt{3}|$

Знаменатель:
$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$

Расстояние $d = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:
$d = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$