Номер 25, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $EFB_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $EFB_1$.

Решение

1. Зададим систему координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $OO_1$ (где $O_1$ - центр верхнего основания). Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$ (соединяющего центр с вершиной $A$).

Так как призма правильная и все ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, а высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершины верхнего основания $B_1$ (находится над $B$ на высоте 1):

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

2. Определим координаты точки и плоскости.

Точка, от которой ищется расстояние, это $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Плоскость $EFB_1$ задана точками:

$E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

3. Найдем уравнение плоскости $EFB_1$.

Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящие из одной точки, например, из $F$:

Вектор $\vec{FE} = E - F = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Вектор $\vec{FB_1} = B_1 - F = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (0, \sqrt{3}, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{FE} \times \vec{FB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 0) = 0\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k}$

Следовательно, вектор нормали $\vec{n} = (0, 1, -\sqrt{3})$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты вектора нормали:

$0x + 1y - \sqrt{3}z + D = 0 \Rightarrow y - \sqrt{3}z + D = 0$

Для нахождения свободного члена $D$ подставим координаты одной из точек плоскости, например, $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$:

$-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}(0) + D = 0$

$D = \sqrt{3}/2$

Таким образом, уравнение плоскости $EFB_1$ есть $y - \sqrt{3}z + \sqrt{3}/2 = 0$.

4. Вычислим расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $y - \sqrt{3}z + \sqrt{3}/2 = 0$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и уравнение плоскости $0x + 1y - \sqrt{3}z + \sqrt{3}/2 = 0$.

$d = \frac{|0 \cdot (1/2) + 1 \cdot (\sqrt{3}/2) - \sqrt{3} \cdot 0 + \sqrt{3}/2|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2|}{\sqrt{1 + 3}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$