Номер 29, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $EFA_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны $1$.

Перевод в СИ: Длина стороны основания призмы $a = 1$ м.
Высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $EFA_1$.

Решение

Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину $A$. Ось $Oy$ перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания. Ось $Oz$ направим по высоте призмы.

Длина стороны правильного шестиугольника $a=1$. Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы $h=1$. Координаты вершин верхнего основания получаются из нижних добавлением $1$ к $z$-координате:

$A_1 = (1, 0, 1)$

Нам нужны координаты точки $B$ и трех точек, определяющих плоскость $EFA_1$:

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$A_1 = (1, 0, 1)$

Найдем уравнение плоскости $EFA_1$. Для этого найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, и их векторное произведение, которое даст нормальный вектор плоскости.

Вектор $\vec{EF}$: $F - E = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0 - 0) = (1, 0, 0)$
Вектор $\vec{EA_1}$: $A_1 - E = (1 - (-\frac{1}{2}), 0 - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости $EFA_1$ равен векторному произведению $\vec{EF}$ и $\vec{EA_1}$:

$\vec{n} = \vec{EF} \times \vec{EA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{3}{2}) + \mathbf{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{3}{2})$
$\vec{n} = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k} = (0, -1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства можно взять нормальный вектор, умноженный на $-2$, чтобы избавиться от дробей и сделать коэффициенты целыми: $\vec{n}' = (0, 2, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$. Используем точку $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и нормальный вектор $\vec{n}' = (0, 2, -\sqrt{3})$:

$0(x - (-\frac{1}{2})) + 2(y - (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \sqrt{3}(z - 0) = 0$
$0 + 2y + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}z = 0$
$2y + \sqrt{3} - \sqrt{3}z = 0$

Таким образом, уравнение плоскости $EFA_1$ имеет вид $0x + 2y - \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для точки $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и плоскости $0x + 2y - \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$:

$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 2^2 + (-\sqrt{3})^2}}$
$d = \frac{|0 + \sqrt{3} - 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{0 + 4 + 3}}$
$d = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}$
$d = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$d = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{21}}{7}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $EFA_1$ равно $\frac{2\sqrt{21}}{7}$.