Номер 36, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DFE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в систему СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, которые являются когерентными для проведения вычислений. Если бы была указана конкретная единица длины (например, метры), то все измерения были бы уже в СИ.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DFE_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $OO_1$ (где $O_1$ - центр верхнего основания). Для удобства вычислений, расположим вершину $A$ на положительной части оси $Ox$.

Так как призма правильная, а все ее ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника с центром в начале координат и стороной $a=1$ в плоскости $z=0$:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (с $z=1$):

• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Мы ищем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $D(-1, 0, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем уравнение плоскости $DFE_1$. Для этого определим два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{DF} = F - D = (\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}=(A, B, C)$ к плоскости можно найти как векторное произведение $\vec{DF} \times \vec{DE_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \vec{i} \left( (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) - \vec{j} \left( \frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2} \right) + \vec{k} \left( \frac{3}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{1}{2} \right)$

$\vec{n} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} - \frac{3}{2}\vec{j} + (-\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4})\vec{k}$

$\vec{n} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для упрощения коэффициентов, умножим вектор нормали на $-2$: $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 3, \sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$. Используя $\vec{n'}$, получаем $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3}z + D_{plane} = 0$.

Подставим координаты точки $D(-1, 0, 0)$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D_{plane}$:

$\sqrt{3}(-1) + 3(0) + \sqrt{3}(0) + D_{plane} = 0$

$-\sqrt{3} + D_{plane} = 0 \Rightarrow D_{plane} = \sqrt{3}$.

Таким образом, уравнение плоскости $DFE_1$ есть $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$.

Разделим все коэффициенты на $\sqrt{3}$ для получения более простого вида: $x + \sqrt{3}y + z + 1 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$, используя формулу:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_{plane}|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $A=1$, $B=\sqrt{3}$, $C=1$, $D_{plane}=1$.

$d = \frac{|1 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 0 + 1|}{\sqrt{1 + 3 + 1}}$

$d = \frac{|\frac{4}{2} + 1|}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$d = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Ответ:

$d = \frac{3\sqrt{5}}{5}$