Номер 2, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DB_1$.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DB_1$.

Дано: единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
длина ребра куба $a = 1$.
Прямые: $AB$ и $DB_1$.

Найти: расстояние между прямыми $AB$ и $DB_1$.

Решение:
Будем использовать метод координат. Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, ребро $AB$ лежало вдоль оси $Ox$, ребро $AD$ вдоль оси $Oy$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$.
Тогда координаты вершин куба будут:
$A=(0,0,0)$
$B=(1,0,0)$
$D=(0,1,0)$
$B_1=(1,0,1)$

Определим прямую $AB$:
Точка на прямой $AB$: $M_1 = A = (0,0,0)$.
Направляющий вектор прямой $AB$: $\vec{v_1} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Определим прямую $DB_1$:
Точка на прямой $DB_1$: $M_2 = D = (0,1,0)$.
Направляющий вектор прямой $DB_1$: $\vec{v_2} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (1-0, 0-1, 1-0) = (1,-1,1)$.

Прямые $AB$ и $DB_1$ являются скрещивающимися, так как они не параллельны ($\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ не коллинеарны) и не пересекаются (они лежат в разных плоскостях и не имеют общей точки).
Расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ (проходящей через $M_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$) и $L_2$ (проходящей через $M_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$) можно найти по формуле:
$d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

1. Найдем вектор $\vec{M_1M_2}$, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй прямой:
$\vec{M_1M_2} = \vec{AD} = D - A = (0,1,0)$.

2. Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1)$
$= (0, -1, -1)$.

3. Найдем модуль (длину) векторного произведения:
$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

4. Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{M_1M_2}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$):
$\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (0,1,0) \cdot (0,-1,-1) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = -1$.

5. Подставим полученные значения в формулу для расстояния:
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Расстояние между прямыми $AB$ и $DB_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$