Номер 6, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

7. В единичном кубе $ABCDA\ B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Ребро куба $a=1$.

Прямые $BA_1$ и $AD_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины, так как конкретные единицы измерения не указаны).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $AD_1$ воспользуемся методом координат.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ совпадала с началом координат $(0,0,0)$, а его ребра лежали на осях координат. Тогда координаты вершин будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Прямая $BA_1$ проходит через точки $B(1,0,0)$ и $A_1(0,0,1)$.

Направляющий вектор для прямой $BA_1$: $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1,0,1)$.

Прямая $AD_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $D_1(0,1,1)$.

Направляющий вектор для прямой $AD_1$: $\vec{v_2} = \vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$, а другая — через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

Возьмем точку $P_1$ на прямой $BA_1$ как $B(1,0,0)$ и точку $P_2$ на прямой $AD_1$ как $A(0,0,0)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{P_2} - \vec{P_1} = A - B = (0-1, 0-0, 0-0) = (-1,0,0)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-1,0,1) \times (0,1,1) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (-1,1,-1)$.

Найдем модуль этого векторного произведения:

$\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Вычислим скалярное произведение вектора $(\vec{P_2} - \vec{P_1})$ на векторное произведение $(\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1,0,0) \cdot (-1,1,-1) = (-1)(-1) + (0)(1) + (0)(-1) = 1+0+0 = 1$.

Подставим полученные значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$