Номер 9, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В единичном тетраэдре $ABCD$ найдите расстояние между прямыми $AD$ и $BC$.

Дано: Единичный тетраэдр $ABCD$. Единичный тетраэдр означает, что все его ребра имеют длину $a=1$.

Найти: Расстояние между прямыми $AD$ и $BC$.

Решение:

Будем использовать координатный метод для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.
Разместим тетраэдр $ABCD$ в декартовой системе координат.Пусть вершина $D$ находится в начале координат: $D=(0,0,0)$.
Пусть вершина $A$ лежит на оси $x$: $A=(1,0,0)$, так как длина ребра $a=1$.
Координаты вершин $B$ и $C$ правильного тетраэдра со стороной 1:$B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C=(1/2, \sqrt{3}/6, \sqrt{6}/3)$

Прямая $AD$ проходит через точки $D=(0,0,0)$ и $A=(1,0,0)$.Вектор направления прямой $AD$: $\vec{v}_{AD} = \vec{A} - \vec{D} = (1,0,0)$.Точка на прямой $AD$: $P_1 = D = (0,0,0)$.

Прямая $BC$ проходит через точки $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $C=(1/2, \sqrt{3}/6, \sqrt{6}/3)$.Вектор направления прямой $BC$: $\vec{v}_{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (1/2-1/2, \sqrt{3}/6-\sqrt{3}/2, \sqrt{6}/3-0)$.$\vec{v}_{BC} = (0, \frac{\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}) = (0, \frac{-2\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}) = (0, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$.Для упрощения расчетов можно использовать пропорциональный вектор $\vec{v}_{BC}' = (0, -1, \sqrt{2})$.Точка на прямой $BC$: $P_2 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых $P_1$ и $P_2$: $\vec{P_1P_2} = \vec{B} - \vec{D} = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}'))|}{||\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}'||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}'$:$\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}' = (1,0,0) \times (0,-1,\sqrt{2}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & \sqrt{2} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot \sqrt{2} - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot \sqrt{2} - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0)$
$= (0)\mathbf{i} - (\sqrt{2})\mathbf{j} + (-1)\mathbf{k} = (0, -\sqrt{2}, -1)$.

Вычислим модуль векторного произведения:$||\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}'|| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 2 + 1} = \sqrt{3}$.

Вычислим смешанное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}')$:$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_{AD}' \times \vec{v}_{BC}') = (1/2)(0) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{2}) + (0)(-1)$
$= 0 - \frac{\sqrt{6}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:$d = \frac{|-\sqrt{6}/2|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}/2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Альтернативный метод (геометрический):
В правильном тетраэдре кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися ребрами (такими как $AD$ и $BC$) - это длина отрезка, соединяющего их середины. Этот отрезок является общим перпендикуляром к этим ребрам.
Для правильного тетраэдра со стороной $a$, расстояние между противоположными ребрами (такими как $AD$ и $BC$) вычисляется по формуле:$d = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Так как тетраэдр единичный, длина его ребра $a=1$.Следовательно, расстояние $d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.