Номер 14, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $EF$.

Дано

правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$

сторона основания $a = 1$

боковые ребра $l = 2$

Перевод в СИ

Все данные уже представлены в безразмерных единицах, которые могут быть интерпретированы как единицы длины. Дополнительный перевод не требуется.

Найти

Расстояние между прямыми $SB$ и $EF$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр основания пирамиды в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ будет лежать на оси $z$.

1.Определение координат вершин основания и вершины пирамиды.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра основания до любой вершины равно $a=1$. Координаты вершин основания: $A = (a, 0, 0) = (1, 0, 0)$ $B = (a \cos(\pi/3), a \sin(\pi/3), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $C = (a \cos(2\pi/3), a \sin(2\pi/3), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $D = (a \cos(\pi), a \sin(\pi), 0) = (-1, 0, 0)$ $E = (a \cos(4\pi/3), a \sin(4\pi/3), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ $F = (a \cos(5\pi/3), a \sin(5\pi/3), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота пирамиды $H$ находится из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $S$, центром основания $O$ и одной из вершин основания, например $B$. В $\triangle SOB$: $SB^2 = SO^2 + OB^2$. $l^2 = H^2 + a^2$ $2^2 = H^2 + 1^2$ $4 = H^2 + 1$ $H^2 = 3 \Rightarrow H = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Суммируя координаты используемых точек:

$S = (0, 0, \sqrt{3})$

$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

2.Нахождение направляющих векторов прямых $SB$ и $EF$.

Вектор $\vec{v_{SB}} = \vec{B} - \vec{S} = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Вектор $\vec{v_{EF}} = \vec{F} - \vec{E} = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

3.Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$ и $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Найдем векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{n} = \vec{v_{SB}} \times \vec{v_{EF}} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}((\sqrt{3}/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot 0) - \mathbf{j}((1/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot 1) + \mathbf{k}((1/2) \cdot 0 - (\sqrt{3}/2) \cdot 1)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(\sqrt{3}) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}/2) = (0, -\sqrt{3}, -\sqrt{3}/2)$

Вычислим модуль вектора $\vec{n}$:

$||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{0 + 3 + 3/4} = \sqrt{12/4 + 3/4} = \sqrt{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Возьмем произвольную точку на прямой $SB$, например $S(0, 0, \sqrt{3})$, и произвольную точку на прямой $EF$, например $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Составим вектор $\vec{SE} = \vec{E} - \vec{S} = (-1/2 - 0, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{SE}$ на вектор $\vec{n}$:

$\vec{SE} \cdot \vec{n} = (-1/2) \cdot 0 + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}/2)$

$\vec{SE} \cdot \vec{n} = 0 + 3/2 + 3/2 = 3$

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|3|}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{15}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{6 \sqrt{15}}{15} = \frac{2 \sqrt{15}}{5}$

Ответ

Расстояние между прямыми $SB$ и $EF$ равно $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$.