Номер 18, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $DF$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$ (единица длины).

Боковое ребро $l = 2$ (единицы длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $DF$.

Решение:

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми используем метод координат.

Разместим центр основания шестиугольной пирамиды в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится на оси $Oz$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Следовательно, расстояние от центра до любой вершины основания равно $a=1$.

Определим координаты вершин основания. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $Ox$.

$A = (1, 0, 0)$

$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$F = (a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot (-\sqrt{3}/2), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Найдем высоту пирамиды $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$, где $OB$ - радиус описанной окружности (равный стороне основания $a=1$), а $SB$ - боковое ребро $l=2$.

По теореме Пифагора: $h^2 = l^2 - a^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.

Следовательно, $h = \sqrt{3}$.

Координаты вершины $S$: $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

Теперь определим векторы направлений для прямых $SB$ и $DF$ и вектор, соединяющий точки на этих прямых.

Прямая $SB$ проходит через $S(0,0,\sqrt{3})$ и $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор направления $\vec{v}_{SB} = \vec{SB} = B - S = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.

Прямая $DF$ проходит через $D(-1,0,0)$ и $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор направления $\vec{v}_{DF} = \vec{DF} = F - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор, соединяющий точку на прямой $SB$ (например, $S$) и точку на прямой $DF$ (например, $D$):

$\vec{SD} = D - S = (-1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (-1, 0, -\sqrt{3})$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{SD} \cdot (\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF}))|}{||\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF}||}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF}$:

$\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 0 - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{3}{2}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2})$

$= \mathbf{i}(0 - \frac{3}{2}) - \mathbf{j}(0 - (-\frac{3\sqrt{3}}{2})) + \mathbf{k}(-\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4})$

$= (-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{4\sqrt{3}}{4})$

$= (-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$

Найдем модуль векторного произведения:

$||\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF}|| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2}$

$= \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{4} + 3}$

$= \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4} + \frac{12}{4}}$

$= \sqrt{\frac{9 + 27 + 12}{4}} = \sqrt{\frac{48}{4}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Найдем смешанное произведение (скалярное произведение $\vec{SD}$ на векторное произведение):

$\vec{SD} \cdot (\vec{v}_{SB} \times \vec{v}_{DF}) = (-1, 0, -\sqrt{3}) \cdot (-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3})$

$= (-1) \cdot (-\frac{3}{2}) + 0 \cdot (-\frac{3\sqrt{3}}{2}) + (-\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3})$

$= \frac{3}{2} + 0 + 3 = \frac{3}{2} + \frac{6}{2} = \frac{9}{2}$

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\frac{9}{2}|}{2\sqrt{3}} = \frac{9/2}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{4\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{9\sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{9\sqrt{3}}{12} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Заметим, что скалярное произведение $\vec{v}_{SB} \cdot \vec{v}_{DF} = (1/2)(3/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3})(0) = 3/4 - 3/4 + 0 = 0$. Это означает, что прямые $SB$ и $DF$ перпендикулярны.

Ответ:

Расстояние между прямыми $SB$ и $DF$ равно $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.