Номер 25, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $A_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина каждого ребра призмы равна $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $A_1C_1$.

Решение:

По условию, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны $1$. Это означает, что основания призмы – равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $A_1C_1$.

Рассмотрим прямую $BB_1$. Она является боковым ребром призмы.

Рассмотрим прямую $A_1C_1$. Она является ребром верхнего основания призмы.

Заметим, что прямая $BB_1$ параллельна прямой $AA_1$. Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$. Также прямая $A_1C_1$ полностью лежит в плоскости $ACC_1A_1$.

Поскольку плоскость $ACC_1A_1$ содержит прямую $A_1C_1$ и параллельна прямой $BB_1$ (так как содержит прямую $AA_1$, параллельную $BB_1$), то расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $A_1C_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $ACC_1A_1$. Выберем точку $B$ на прямой $BB_1$.

Теперь найдем расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1A_1$.

Рассмотрим нижнее основание призмы – равносторонний треугольник $ABC$. Длина его стороны $AB = BC = CA = 1$.

Пусть $M$ – середина отрезка $AC$. Тогда отрезок $BM$ является медианой и одновременно высотой равностороннего треугольника $ABC$.

Так как $BM$ – высота равностороннего треугольника, то $BM \perp AC$.

Поскольку призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $BB_1 \perp BM$ (поскольку $BM$ лежит в плоскости $ABC$).

Таким образом, отрезок $BM$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым $AC$ и $BB_1$ (или $AA_1$, которая параллельна $BB_1$ и лежит в плоскости $ACC_1A_1$), которые определяют плоскость $ACC_1A_1$. Следовательно, отрезок $BM$ является перпендикуляром из точки $B$ к плоскости $ACC_1A_1$.

Длина высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона $a=1$, поэтому длина отрезка $BM$ равна $1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$