Страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $A_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина каждого ребра призмы равна $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $A_1C_1$.

Решение:

По условию, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны $1$. Это означает, что основания призмы – равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $A_1C_1$.

Рассмотрим прямую $BB_1$. Она является боковым ребром призмы.

Рассмотрим прямую $A_1C_1$. Она является ребром верхнего основания призмы.

Заметим, что прямая $BB_1$ параллельна прямой $AA_1$. Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$. Также прямая $A_1C_1$ полностью лежит в плоскости $ACC_1A_1$.

Поскольку плоскость $ACC_1A_1$ содержит прямую $A_1C_1$ и параллельна прямой $BB_1$ (так как содержит прямую $AA_1$, параллельную $BB_1$), то расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $A_1C_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $ACC_1A_1$. Выберем точку $B$ на прямой $BB_1$.

Теперь найдем расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1A_1$.

Рассмотрим нижнее основание призмы – равносторонний треугольник $ABC$. Длина его стороны $AB = BC = CA = 1$.

Пусть $M$ – середина отрезка $AC$. Тогда отрезок $BM$ является медианой и одновременно высотой равностороннего треугольника $ABC$.

Так как $BM$ – высота равностороннего треугольника, то $BM \perp AC$.

Поскольку призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $BB_1 \perp BM$ (поскольку $BM$ лежит в плоскости $ABC$).

Таким образом, отрезок $BM$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым $AC$ и $BB_1$ (или $AA_1$, которая параллельна $BB_1$ и лежит в плоскости $ACC_1A_1$), которые определяют плоскость $ACC_1A_1$. Следовательно, отрезок $BM$ является перпендикуляром из точки $B$ к плоскости $ACC_1A_1$.

Длина высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае сторона $a=1$, поэтому длина отрезка $BM$ равна $1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

26. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длины ребер уже даны в безразмерных единицах, которые могут быть интерпретированы как единицы СИ (например, метры). Перевод не требуется.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CB_1$ воспользуемся методом координат. Поместим начало координат в вершину $A$.

Ориентируем основание призмы $ABC$ в плоскости $Oxy$ следующим образом:

• Точка $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

• Ребро $AB$ лежит на оси $Ox$. Так как длина ребра равна 1, координаты точки $B$ будут $B=(1,0,0)$.

• Для точки $C$ в основании, зная, что треугольник $ABC$ равносторонний со стороной 1, ее координаты можно найти, используя высоту равностороннего треугольника $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$. Проекция $C$ на ось $Ox$ будет $x_C = \frac{1}{2}$ (середина $AB$), а ордината $y_C = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $C=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Поскольку призма правильная, боковые ребра перпендикулярны основаниям и их длина также равна 1. Координаты вершин верхнего основания ($z=1$):

• $A_1=(0,0,1)$

• $B_1=(1,0,1)$

• $C_1=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Теперь определим векторы направлений и точки для каждой из прямых:

Прямая $AB$:

• Точка на прямой $P_1 = A = (0,0,0)$.

• Вектор направления $\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Прямая $CB_1$:

• Точка на прямой $P_2 = C = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

• Вектор направления $\vec{v} = \vec{CB_1} = B_1 - C = (1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используется формула:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Найдем вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{AC} = C - A = (\frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Найдем векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \vec{k}(1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot \frac{1}{2})$

$\vec{u} \times \vec{v} = (0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем смешанное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-1) + 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$= 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}| = |(0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2})|$:

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{0 + 1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4+3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.

27. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер: $a = 1$.

Перевод в систему СИ:

Единицы измерения не указаны (ребра заданы безразмерным числом 1), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используем метод координат. Разместим призму в трехмерной системе координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A$, а ребро $AB$ лежит вдоль оси $Ox$.

Тогда координаты вершин нижнего основания $ABC$:

• $A = (0,0,0)$

• $B = (1,0,0)$

• $C = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ (так как треугольник $ABC$ равносторонний со стороной 1, а высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$)

Поскольку все ребра призмы равны 1, высота призмы также равна 1. Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$ будут:

• $A_1 = (0,0,1)$

• $B_1 = (1,0,1)$

• $C_1 = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Определим направляющие векторы для каждой из заданных прямых и точки, через которые они проходят:

• Прямая $AB_1$: проходит через точку $P_1 = A(0,0,0)$. Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

• Прямая $BC_1$: проходит через точку $P_2 = B(1,0,0)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{BC_1} = C_1 - B = (0.5-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (-0.5, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1, P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Сначала вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -0.5 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-0.5)) + \mathbf{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot (-0.5))$

$= -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - (1 + 0.5)\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем модуль этого векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

Вычислим вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$:

$\vec{P_2} - \vec{P_1} = B - A = (1,0,0) - (0,0,0) = (1,0,0)$.

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $(\vec{P_2} - \vec{P_1})$ на векторное произведение $(\vec{v_1} \times \vec{v_2})$):

$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (1,0,0) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$= 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 0 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 0 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{\left|-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$.

Упростим полученное выражение:

$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равно $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

равны 1, найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

28. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $AB_1$ и $CA_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины).

Высота призмы $h = AA_1 = 1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $CA_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $CA_1$ воспользуемся методом координат. Разместим призму в декартовой системе координат.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная и все ее ребра равны $1$, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной $1$. Выберем координаты вершин основания $ABC$ таким образом:

$A = (0,0,0)$

$C = (1,0,0)$ (вершина $C$ лежит на оси Ox)

Для вершины $B$ найдем ее координаты. Поскольку $AB=1$ и $BC=1$:

$B = (x_B, y_B, 0)$

$AB^2 = (x_B-0)^2 + (y_B-0)^2 + (0-0)^2 = x_B^2 + y_B^2 = 1^2 = 1$.

$BC^2 = (x_B-1)^2 + (y_B-0)^2 + (0-0)^2 = (x_B-1)^2 + y_B^2 = 1^2 = 1$.

Из первого уравнения $y_B^2 = 1 - x_B^2$. Подставим во второе:

$(x_B-1)^2 + (1-x_B^2) = 1$

$x_B^2 - 2x_B + 1 + 1 - x_B^2 = 1$

$2 - 2x_B = 1$

$2x_B = 1 \Rightarrow x_B = \frac{1}{2}$.

Тогда $y_B^2 = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, откуда $y_B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (выберем положительное значение).

Итак, координаты вершин нижнего основания:

$A = (0,0,0)$

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1,0,0)$

Поскольку высота призмы равна $1$, координаты вершин верхнего основания получаются добавлением $1$ к z-координатам нижних вершин:

$A_1 = (0,0,1)$

$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$C_1 = (1,0,1)$

Найдем направляющие векторы прямых $AB_1$ и $CA_1$ и вектор, соединяющий точки на этих прямых.

Для прямой $AB_1$ возьмем точку $M_1 = A = (0,0,0)$ и направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для прямой $CA_1$ возьмем точку $M_2 = C = (1,0,0)$ и направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{CA_1} = A_1 - C = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых, $\vec{M_1M_2} = \vec{AC} = C - A = (1,0,0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется формулой:

$d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{v_1} \times \vec{v_2}])|}{|[\vec{v_1} \times \vec{v_2}]|}$

Вычислим векторное произведение $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-1))$

$\vec{n} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -(\frac{1}{2} + 1), \frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Вычислим модуль векторного произведения $|\vec{n}|$:

$|\vec{n}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{3+9+3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Вычислим смешанное произведение $(\vec{M_1M_2} \cdot \vec{n})$:

$(\vec{M_1M_2} \cdot \vec{n}) = (1,0,0) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot (-\frac{3}{2}) + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

Упростим выражение:

$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $CA_1$ равно $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $EE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерных единицах (число 1), которые не требуют перевода для данной геометрической задачи. Если бы единицы были указаны (например, метры), то они уже были бы в СИ.

$a = 1$ (единица длины)

$h = 1$ (единица длины)

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $EE_1$.

Решение:

1. Прямая $EE_1$ является боковым ребром правильной призмы. Боковые ребра правильной призмы перпендикулярны плоскостям ее оснований. Следовательно, прямая $EE_1$ перпендикулярна плоскости нижнего основания $ABCDEF$.

2. Прямая $BC$ является ребром нижнего основания и целиком лежит в плоскости $ABCDEF$.

3. Поскольку прямая $EE_1$ перпендикулярна плоскости $ABCDEF$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, прямая $EE_1$ перпендикулярна прямой $BC$.

4. Прямые $BC$ и $EE_1$ являются скрещивающимися (они не параллельны и не пересекаются) и перпендикулярными друг к другу. Расстояние между двумя скрещивающимися перпендикулярными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую перпендикулярно первой. В данном случае, это расстояние от точки $E$ (основания перпендикуляра $EE_1$ на плоскость $ABCDEF$) до прямой $BC$, лежащей в той же плоскости.

5. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $E$ до стороны $BC$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$ со стороной $a=1$.

6. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Сторона $BC$ параллельна стороне $FE$. Вершина $E$ лежит на стороне $FE$.

7. Расстояние между двумя параллельными сторонами правильного шестиугольника (например, $BC$ и $FE$) равно удвоенной апофеме шестиугольника.

8. Апофема $h_a$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_a = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

9. Для данного шестиугольника со стороной $a=1$, апофема равна $h_a = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

10. Расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $FE$ равно $2 \cdot h_a = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

11. Поскольку точка $E$ лежит на прямой, содержащей сторону $FE$, расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ равно расстоянию между параллельными прямыми $FE$ и $BC$, которое составляет $\sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BC$ и $EE_1$ равно $\sqrt{3}$.

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $C_1D_1$.

Дано

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $C_1D_1$.

Решение

Прямая $BB_1$ является боковым ребром правильной призмы, следовательно, она перпендикулярна плоскостям оснований. Прямая $C_1D_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $C_1D_1$ равно расстоянию от точки $B_1$ (которая является точкой пересечения прямой $BB_1$ с плоскостью верхнего основания) до прямой $C_1D_1$ в плоскости этого основания.

Рассмотрим верхнее основание - правильный шестиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $a=1$. Нам нужно найти расстояние от вершины $B_1$ до стороны $C_1D_1$.

Введем систему координат в плоскости верхнего основания. Пусть центр шестиугольника $O_1$ находится в начале координат $(0,0)$. Так как длина стороны правильного шестиугольника равна 1, то радиус описанной окружности также равен 1.

Координаты вершин $B_1$, $C_1$, $D_1$ относительно центра $O_1$ (предполагая, что $A_1$ находится на положительной оси абсцисс):

$B_1 = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ)) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2) = (1/2, \sqrt{3}/2)$

$C_1 = (a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ)) = (1 \cdot (-1/2), 1 \cdot \sqrt{3}/2) = (-1/2, \sqrt{3}/2)$

$D_1 = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ)) = (1 \cdot (-1), 1 \cdot 0) = (-1, 0)$

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2)$ и $D_1(-1, 0)$.

Угловой коэффициент $m = \frac{y_{D_1} - y_{C_1}}{x_{D_1} - x_{C_1}} = \frac{0 - \sqrt{3}/2}{-1 - (-1/2)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2} = \sqrt{3}$.

Используя уравнение прямой $y - y_1 = m(x - x_1)$ с точкой $D_1(-1, 0)$:

$y - 0 = \sqrt{3}(x - (-1))$

$y = \sqrt{3}x + \sqrt{3}$

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В нашем случае, точка $B_1(x_0, y_0) = (1/2, \sqrt{3}/2)$, и прямая $\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$. Подставляем значения $A = \sqrt{3}$, $B = -1$, $C = \sqrt{3}$:

$d = \frac{|\sqrt{3} \cdot (1/2) - (\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $D_1E_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $D_1E_1$.

Решение:

1. Рассмотрим взаимное расположение прямых $BB_1$ и $D_1E_1$. Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы, а прямая $D_1E_1$ является ребром верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Эти прямые скрещивающиеся, так как они не параллельны и не пересекаются.

2. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной прямой до плоскости, содержащей другую прямую и параллельной первой прямой.

3. Прямая $BB_1$ параллельна прямой $DD_1$, так как они являются боковыми рёбрами правильной призмы. Прямая $D_1E_1$ лежит в плоскости боковой грани $DD_1E_1E$. Следовательно, плоскость $DD_1E_1E$ содержит прямую $D_1E_1$ и параллельна прямой $BB_1$ (поскольку $DD_1$ принадлежит плоскости $DD_1E_1E$ и $DD_1 \parallel BB_1$).

4. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $DD_1E_1E$. Удобно взять точку $B$, лежащую на прямой $BB_1$ и в нижнем основании.

5. Поскольку боковые грани правильной призмы перпендикулярны её основаниям, плоскость $DD_1E_1E$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $DD_1E_1E$ равно перпендикулярному расстоянию от точки $B$ до прямой $DE$, которая является линией пересечения плоскости $DD_1E_1E$ с плоскостью основания $ABCDEF$.

6. Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Сторона $AB$ параллельна стороне $DE$.

7. Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DE$ в правильном шестиугольнике равно удвоенной апофеме этого шестиугольника. Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

8. В данном случае длина стороны шестиугольника $a=1$, поэтому апофема $r = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

9. Расстояние между параллельными сторонами $AB$ и $DE$ равно $2r = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

10. Точка $B$ лежит на прямой, содержащей сторону $AB$. Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $DE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $DE$, которое составляет $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $E_1F_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1.

Найти: Расстояние между прямыми $BB_1$ и $E_1F_1$.

Решение:
1. Прямая $BB_1$ является боковым ребром правильной шестиугольной призмы. Боковые ребра призмы перпендикулярны плоскостям ее оснований. В частности, прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
2. Прямая $E_1F_1$ является ребром верхнего основания и, следовательно, лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
3. Поскольку прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости, содержащей прямую $E_1F_1$, то расстояние между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $E_1F_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до прямой $E_1F_1$. Для удобства возьмем точку $B_1$.
4. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $B_1$ до стороны $E_1F_1$ в правильном шестиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, сторона которого равна 1 (поскольку все ребра призмы равны 1).
5. Рассмотрим правильный шестиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $a=1$.
6. Найдем длину отрезка $B_1F_1$. Этот отрезок является так называемой "короткой" диагональю правильного шестиугольника (соединяет вершины через одну). Длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $B_1F_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
7. Докажем, что отрезок $B_1F_1$ перпендикулярен стороне $E_1F_1$.
Угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 4 \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Следовательно, $\angle A_1F_1E_1 = 120^\circ$.
Рассмотрим треугольник $A_1F_1B_1$. Это равнобедренный треугольник, так как $A_1F_1 = A_1B_1 = 1$ (стороны шестиугольника). Угол при вершине $A_1$, то есть $\angle F_1A_1B_1$, является углом правильного шестиугольника, поэтому $\angle F_1A_1B_1 = 120^\circ$.
Углы при основании в равнобедренном треугольнике $A_1F_1B_1$ равны: $\angle A_1F_1B_1 = \angle A_1B_1F_1 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.
Теперь рассмотрим угол $\angle B_1F_1E_1$. Он является частью угла $\angle A_1F_1E_1$.
$\angle B_1F_1E_1 = \angle A_1F_1E_1 - \angle A_1F_1B_1 = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.
Таким образом, отрезок $B_1F_1$ перпендикулярен прямой $E_1F_1$.
8. Поскольку $B_1F_1$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B_1$ на прямую $E_1F_1$, его длина является искомым расстоянием.
Расстояние равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $A_1F_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1. То есть, длина стороны основания $AB = 1$, и высота призмы $AA_1 = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $A_1F_1$.

Решение:

Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Прямая $A_1F_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна плоскости, содержащей другую прямую, равно расстоянию от точки пересечения перпендикулярной прямой с этой плоскостью до другой прямой.

В нашем случае, прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости верхнего основания, и точка ее пересечения с этой плоскостью — это вершина $B_1$. Прямая $A_1F_1$ лежит в этой плоскости. Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $A_1F_1$ равно расстоянию от точки $B_1$ до прямой $A_1F_1$ в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Рассмотрим верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, которое является правильным шестиугольником со стороной, равной 1. Нам нужно найти расстояние от вершины $B_1$ до стороны $A_1F_1$.

В правильном шестиугольнике сторона $A_1B_1$ и сторона $A_1F_1$ являются смежными сторонами, исходящими из одной вершины $A_1$. Угол между двумя смежными сторонами правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Таким образом, $\angle B_1A_1F_1 = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $B_1A_1F_1$. Это равнобедренный треугольник, так как $A_1B_1 = A_1F_1 = 1$ (как стороны правильного шестиугольника).

Расстояние от вершины $B_1$ до прямой $A_1F_1$ — это длина высоты, опущенной из $B_1$ на продолжение стороны $A_1F_1$. Пусть $H$ — основание этой высоты на прямой, содержащей $A_1F_1$.

В треугольнике $B_1A_1F_1$:

$B_1H = A_1B_1 \cdot \sin(\angle B_1A_1F_1)$ (если $H$ находится на продолжении $A_1F_1$)

или

$B_1H = A_1B_1 \cdot \sin(180^\circ - \angle B_1A_1F_1)$ (если $H$ находится на отрезке $A_1F_1$, но так как угол $120^\circ$, $H$ будет на продолжении)

Или, более просто, рассмотрим треугольник $B_1A_1K$, где $K$ - точка на продолжении $F_1A_1$ за $A_1$. Тогда $\angle B_1A_1K = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Расстояние $d = B_1H = A_1B_1 \cdot \sin(60^\circ)$.

Так как $A_1B_1 = 1$, то $d = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используем координатный метод для подтверждения.

Поместим центр верхнего основания $O_1$ в начало координат $(0,0,1)$ (так как высота призмы равна 1).

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, центром в $(0,0)$ и вершиной $A_1$ на оси x:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 1) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$F_1 = (\cos(-60^\circ), \sin(-60^\circ), 1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Прямая $BB_1$ проходит через точку $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ и имеет направляющий вектор $\vec{u_1} = (0,0,1)$ (параллельна оси z).

Прямая $A_1F_1$ проходит через точки $A_1(1,0,1)$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Направляющий вектор $\vec{u_2} = \vec{F_1A_1} = A_1 - F_1 = (1-\frac{1}{2}, 0-(-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1-1) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $A_1F_1$ можно использовать формулу:

$d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{u_1} \times \vec{u_2}])|}{| \vec{u_1} \times \vec{u_2} |}$

Выберем точку $M_1 = B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ на прямой $BB_1$.

Выберем точку $M_2 = A_1 = (1,0,1)$ на прямой $A_1F_1$.

Вектор $\vec{M_1M_2} = A_1 - B_1 = (1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 1 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.

Модуль векторного произведения:

$| \vec{u_1} \times \vec{u_2} | = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Вычислим смешанное произведение $(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{u_1} \times \vec{u_2}])$:

$(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0) = (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) + (0)(0) = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние $d = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оба метода дают один и тот же результат.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $CD_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $CD_1$.

Решение

Для решения задачи используем метод координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, длина стороны шестиугольника основания $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, расположенного в плоскости $z=0$ с центром в начале координат:

$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

$C = (a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0) = (1 \cdot (-1/2), 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

$D = (a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 0) = (1 \cdot (-1), 1 \cdot 0, 0) = (-1, 0, 0)$.

Координаты вершин верхнего основания получаются добавлением высоты призмы (равной 1) по координате $z$:

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

$D_1 = (-1, 0, 1)$.

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор направления прямой $BB_1$: $\vec{v_1} = \vec{BB_1} = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Возьмем точку $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ на прямой $BB_1$.

Прямая $CD_1$ проходит через точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $D_1(-1, 0, 1)$.

Вектор направления прямой $CD_1$: $\vec{v_2} = \vec{CD_1} = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Возьмем точку $P_2 = C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ на прямой $CD_1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ задается формулой:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-1/2))$

$= \mathbf{i}(\sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(1/2) + \mathbf{k}(0) = (\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$.

Найдем модуль векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 1/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$.

Вычислим вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$:

$\vec{P_2} - \vec{P_1} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Вычислим скалярное произведение $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$(-1, 0, 0) \cdot (\sqrt{3}/2, -1/2, 0) = (-1)(\sqrt{3}/2) + (0)(-1/2) + (0)(0) = -\sqrt{3}/2$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|-\sqrt{3}/2|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $CD_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $DC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер равна $1$. То есть, $AB = BC = ... = FA = AA_1 = BB_1 = ... = FF_1 = 1$.

Перевод в СИ:

Все длины уже даны в безразмерных единицах, можно считать их условными единицами длины (например, метрами).

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DC_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $DC_1$ воспользуемся методом координат. Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, и длина ребра основания равна 1, радиус описанной окружности вокруг шестиугольника равен длине его стороны, то есть $R=1$. Высота призмы также равна 1, так как все рёбра равны 1.

Определим координаты вершин:

Возьмем ось $x$ проходящей через центр и вершину $A$. $A = (1, 0, 0)$. Угол между радиусами соседних вершин правильного шестиугольника равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Координаты вершин нижнего основания: $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$.

Вершины верхнего основания имеют те же координаты $x, y$, но $z$-координата равна высоте призмы, то есть 1. $B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. $C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Вектор направления для прямой $BB_1$: $\vec{u} = \vec{BB_1} = (0, 0, 1)$. Возьмем точку на прямой $BB_1$: $P_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Прямая $DC_1$ проходит через точки $D(-1, 0, 0)$ и $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Вектор направления для прямой $DC_1$: $\vec{v} = \vec{DC_1} = (-\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Возьмем точку на прямой $DC_1$: $P_2 = D = (-1, 0, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1, P_2$ и направляющими векторами $\vec{u}, \vec{v}$, определяется по формуле: $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$.

Вычислим векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$: $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} + 0\mathbf{k}$. Следовательно, $\vec{u} \times \vec{v} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.

Вычислим модуль векторного произведения: $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$: $\vec{P_2} - \vec{P_1} = D - B = (-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение) $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$: $(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0) = (-\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) + (0)(0) = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем расстояние $d$: $d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $DE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех рёбер $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DE_1$.

Решение:

Прямые $BB_1$ и $DE_1$ являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из этих прямых до плоскости, содержащей другую прямую и параллельной первой прямой.

Рассмотрим прямую $BB_1$. Она является боковым ребром призмы, поэтому она параллельна всем остальным боковым рёбрам, в том числе $DD_1$.

Рассмотрим плоскость $DD_1E_1E$. Эта плоскость содержит прямую $DE_1$.

Так как прямая $BB_1$ параллельна прямой $DD_1$, а прямая $DD_1$ лежит в плоскости $DD_1E_1E$, то прямая $BB_1$ параллельна плоскости $DD_1E_1E$.

Следовательно, расстояние между прямыми $BB_1$ и $DE_1$ равно расстоянию от прямой $BB_1$ до плоскости $DD_1E_1E$. Это расстояние, в свою очередь, равно расстоянию от любой точки на прямой $BB_1$ до плоскости $DD_1E_1E$. Выберем точку $B$.

Плоскость $DD_1E_1E$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$, поскольку призма является правильной, и её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Линия пересечения этих двух плоскостей — это прямая $DE$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $DD_1E_1E$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $DE$ в плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$.

В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $AB$ параллельна стороне $DE$.

Поскольку прямые $AB$ и $DE$ параллельны, а точка $B$ лежит на прямой $AB$, то расстояние от точки $B$ до прямой $DE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $DE$.

Расстояние между противоположными сторонами правильного шестиугольника со стороной $a$ равно удвоенной длине апофемы (расстояния от центра шестиугольника до середины стороны).

Апофема $h$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DE$ равно $2h = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Подставляя значение $a=1$, получаем: Расстояние $= 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ:

$\sqrt{3}$

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $ED_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $ED_1$.

Решение

Введем декартову систему координат. Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $O(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$, ось $Oz$ направим вдоль ребра $OO_1$, где $O_1$ — центр верхнего основания.

Так как призма правильная и все её ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Найдем координаты вершин, необходимых для определения прямых:

• Координаты вершины $B$ нижнего основания: $B(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Координаты вершины $B_1$ верхнего основания: $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

• Координаты вершины $E$ нижнего основания: $E(a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (1 \cdot (-1/2), 1 \cdot (-\sqrt{3}/2), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

• Координаты вершины $D_1$ верхнего основания: $D_1(a \cos(180^\circ), a \sin(180^\circ), 1) = (1 \cdot (-1), 1 \cdot 0, 1) = (-1, 0, 1)$.

Определим векторы направления для каждой прямой и вектор, соединяющий точки на этих прямых.

Для прямой $BB_1$:

• Возьмем точку $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Вектор направления $\vec{v}_1 = \vec{BB_1} = B_1 - B = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0,0,1)$.

Для прямой $ED_1$:

• Возьмем точку $P_2 = E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

• Вектор направления $\vec{v}_2 = \vec{ED_1} = D_1 - E = (-1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор, соединяющий точку $P_1$ на первой прямой и точку $P_2$ на второй прямой:

• $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2))|}{||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||}$

Сначала вычислим векторное произведение $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$:

$\vec{N} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{N} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-1/2))$

$\vec{N} = \mathbf{i}(-\sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(1/2) + \mathbf{k}(0)$

$\vec{N} = (-\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$

Найдем модуль вектора $\vec{N}$:

$||\vec{N}|| = \sqrt{(-\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 1/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь вычислим скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на вектор $\vec{N}$:

$(\vec{P_1P_2} \cdot \vec{N}) = (-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$

$(\vec{P_1P_2} \cdot \vec{N}) = (-1)(-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3})(-1/2) + (0)(0)$

$(\vec{P_1P_2} \cdot \vec{N}) = \sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 + 0 = \sqrt{3}$.

Окончательно, вычислим расстояние $d$:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{1} = \sqrt{3}$.

Ответ:

$\sqrt{3}$

38. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$.

Решение:

Прямые $BB_1$ и $EF_1$ являются скрещивающимися прямыми, так как они не лежат в одной плоскости, не параллельны и не пересекаются.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой.

Рассмотрим прямую $BB_1$. Она является боковым ребром призмы.

Рассмотрим плоскость $EE_1F_1F$, которая является боковой гранью призмы и содержит прямую $EF_1$.

Так как $BB_1$ и $EE_1$ являются боковыми ребрами правильной призмы, они параллельны: $BB_1 \parallel EE_1$.

Поскольку прямая $EE_1$ лежит в плоскости $EE_1F_1F$, то прямая $BB_1$ параллельна плоскости $EE_1F_1F$.

Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $EE_1F_1F$. Возьмем точку $B$ на прямой $BB_1$.

Плоскость $EE_1F_1F$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Линия пересечения этих плоскостей – это прямая $EF$.

Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $EE_1F_1F$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $EF$ в плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$.

Ориентируем шестиугольник в декартовой системе координат так, чтобы его центр $O$ находился в начале координат $(0,0)$.

Вершина $A$ может быть расположена на оси $Ox$: $A=(1,0)$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в $(0,0)$:

• $A = (1, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ)) = (1/2, \sqrt{3}/2)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ)) = (-1/2, \sqrt{3}/2)$
• $D = (-1, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ)) = (-1/2, -\sqrt{3}/2)$
• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ)) = (1/2, -\sqrt{3}/2)$

Прямая $EF$ проходит через точки $E(-1/2, -\sqrt{3}/2)$ и $F(1/2, -\sqrt{3}/2)$. Это горизонтальная прямая с уравнением $y = -\sqrt{3}/2$, или $y + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Точка $B$ имеет координаты $(1/2, \sqrt{3}/2)$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ дается формулой $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

В нашем случае прямая: $0x + 1y + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. Точка $B=(1/2, \sqrt{3}/2)$.

$d = \frac{|0 \cdot (1/2) + 1 \cdot (\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}/2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2|}{\sqrt{1}} = \frac{|\sqrt{3}|}{1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $FE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (условная единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица длины).

Поскольку конкретные единицы измерения не указаны, перевод в СИ не требуется, все вычисления будут производиться в условных единицах длины.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $FE_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $FE_1$ воспользуемся методом координат.

Расположим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Поскольку призма является правильной шестиугольной, и длина ребра основания равна $1$, радиус описанной окружности вокруг основания также равен $1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы равна $1$, поэтому координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату, равную $1$.

Нас интересуют точки $B$ и $B_1$ для первой прямой, и $F$ и $E_1$ для второй прямой.

$B = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$B_1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$

$F = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

$E_1 = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$

Определим направляющие векторы прямых.

Для прямой $BB_1$: возьмем точку $P_1 = B = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Направляющий вектор $\vec{v}_1 = \vec{BB_1} = B_1 - B = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-0\right) = (0, 0, 1)$.

Для прямой $FE_1$: возьмем точку $P_2 = F = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Направляющий вектор $\vec{v}_2 = \vec{FE_1} = E_1 - F = \left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), 1-0\right) = (-1, 0, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми задается формулой:

$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||}$

Сначала найдем вектор $P_2 - P_1$:

$P_2 - P_1 = F - B = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-0\right) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Затем найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$:

$ \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) $

$ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(0) = (0, -1, 0) $.

Найдем модуль векторного произведения $||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||$:

$||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|| = ||(0, -1, 0)|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь найдем смешанное произведение (скалярное произведение вектора $P_2 - P_1$ на векторное произведение $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$):

$(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = (0, -\sqrt{3}, 0) \cdot (0, -1, 0)$

$ = 0 \cdot 0 + (-\sqrt{3}) \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = \sqrt{3} $.

Подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{1} = \sqrt{3}$.

Альтернативный способ (геометрический / проекционный):

Прямая $BB_1$ параллельна оси $Oz$. Расстояние между $BB_1$ и $FE_1$ - это расстояние от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $\alpha$, которая содержит $FE_1$ и параллельна $BB_1$.

Нормальный вектор плоскости $\alpha$ должен быть перпендикулярен направляющему вектору $BB_1$ (т.е. $(0,0,1)$) и направляющему вектору $FE_1$ (т.е. $(-1,0,1)$).

Этим нормальным вектором является векторное произведение $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = (0, -1, 0)$, как уже было найдено.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $0x - 1y + 0z + D = 0$, или $-y + D = 0$.

Для нахождения $D$ подставим координаты точки $F\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ из прямой $FE_1$ в уравнение плоскости:

$ - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + D = 0 \implies D = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Таким образом, уравнение плоскости $\alpha$: $-y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$, или $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем расстояние от точки $B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ (принадлежащей прямой $BB_1$) до этой плоскости.

Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Для точки $B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$ и плоскости $0x - 1y + 0z - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$:

$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2}}$

$d = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1}} = \frac{|-\sqrt{3}|}{1} = \sqrt{3}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $ \sqrt{3} $