Страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Изобразите сечение

Нарисуйте единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Отметьте середину ребра $AB$ точкой $M$. Соедините вершины $A_1$ и $C_1$. Этот отрезок $A_1C_1$ является диагональю верхней грани. Соедините точку $A_1$ с точкой $M$. Этот отрезок $A_1M$ лежит во фронтальной грани $ABB_1A_1$. Для нахождения третьей точки сечения на нижней грани, следует учесть, что плоскость сечения, проходящая через $M$ и $C_1$, пересекает ребро $BC$. Точка пересечения, обозначенная как $N_1$, является серединой ребра $BC$ (ее координаты $(1, 1/2, 0)$). Соедините точку $M$ с точкой $N_1$. Этот отрезок $MN_1$ лежит в нижней грани $ABCD$. Соедините точку $N_1$ с точкой $C_1$. Этот отрезок $N_1C_1$ лежит в правой боковой грани $BCC_1B_1$. Полученное сечение - это четырехугольник $A_1MN_1C_1$. Он является трапецией, так как отрезки $MN_1$ и $A_1C_1$ параллельны.

Найдите его площадь

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$. Сечение проходит через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$ (точка $M$).

Найти: Площадь сечения.

Решение: Определим систему координат, поместив вершину $A$ в начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$
Координаты заданных точек: $A_1(0,0,1)$
$C_1(1,1,1)$
$M$ - середина ребра $AB$, поэтому $M\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через $A_1$, $C_1$, $M$. Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{MA_1} = A_1 - M = \left(0 - \frac{1}{2}, 0 - 0, 1 - 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 0, 1\right)$
$\vec{MC_1} = C_1 - M = \left(1 - \frac{1}{2}, 1 - 0, 1 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$
Вектор нормали $\vec{N}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{MA_1}$ и $\vec{MC_1}$: $\vec{N} = \vec{MA_1} \times \vec{MC_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{2} & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}\left(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}\right) + \mathbf{k}\left(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}\right) = \left(-1, 1, -\frac{1}{2}\right)$. Для удобства умножим $\vec{N}$ на $-2$: $\vec{N}' = (2, -2, 1)$. Уравнение плоскости: $2x - 2y + z + D = 0$. Подставим координаты точки $A_1(0,0,1)$: $2(0) - 2(0) + 1 + D = 0 \implies D = -1$. Уравнение плоскости сечения: $2x - 2y + z - 1 = 0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, чтобы определить вершины сечения. Уже известны $A_1$, $C_1$, $M$. Рассмотрим ребро $BC$. Оно задается как $x=1, z=0$ для $0 \le y \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) - 2y + 0 - 1 = 0 \implies 1 - 2y = 0 \implies y = \frac{1}{2}$. Получаем точку $N_1\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$, которая является серединой ребра $BC$. Таким образом, вершины сечения: $A_1(0,0,1)$, $M(1/2,0,0)$, $N_1(1,1/2,0)$, $C_1(1,1,1)$. Сечение является четырехугольником $A_1MN_1C_1$.

Определим тип четырехугольника $A_1MN_1C_1$. Вектор $\vec{MN_1} = N_1 - M = \left(1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$. Вектор $\vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 1) = (1, 1, 0)$. Поскольку $\vec{A_1C_1} = 2 \cdot \vec{MN_1}$, стороны $MN_1$ и $A_1C_1$ параллельны. Следовательно, сечение $A_1MN_1C_1$ является трапецией с основаниями $MN_1$ и $A_1C_1$.

Вычислим длины оснований трапеции: Длина $|MN_1| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина $|A_1C_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Для вычисления площади трапеции воспользуемся методом проекции. Спроецируем сечение на плоскость $xy$. Координаты проекций вершин: $A_1'(0,0)$, $M'(1/2,0)$, $N_1'(1,1/2)$, $C_1'(1,1)$. Проекция $A_1'M'N_1'C_1'$ также является трапецией. Длины оснований проекции совпадают с длинами оснований самой трапеции, так как они параллельны плоскости $xy$: $|M'N_1'| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $|A_1'C_1'| = \sqrt{2}$. Вычислим высоту $h_{xy}$ спроецированной трапеции. Уравнение прямой $A_1'C_1'$ (проходит через $(0,0)$ и $(1,1)$): $y=x \implies x-y=0$. Уравнение прямой $M'N_1'$ (проходит через $(1/2,0)$ и $(1,1/2)$): наклон $k=\frac{1/2-0}{1-1/2}=1$. Уравнение $y-0=1(x-1/2) \implies y=x-1/2 \implies x-y-1/2=0$. Высота $h_{xy}$ - это расстояние между параллельными прямыми $x-y=0$ и $x-y-1/2=0$: $h_{xy} = \frac{|0 - 0 - \frac{1}{2}|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. Площадь спроецированной трапеции $S_{xy}$: $S_{xy} = \frac{1}{2} (|M'N_1'| + |A_1'C_1'|) h_{xy} = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right) = \frac{3 \cdot (\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{3 \cdot 2}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью ее проекции $S_{xy}$ формулой $S = \frac{S_{xy}}{|\cos \gamma|}$, где $\gamma$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью $xy$. Вектор нормали к плоскости сечения: $\vec{N}'=(2, -2, 1)$. Вектор нормали к плоскости $xy$: $\vec{k}=(0, 0, 1)$. Косинус угла между плоскостями: $|\cos \gamma| = \frac{|\vec{N}' \cdot \vec{k}|}{|\vec{N}'| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(2)(0) + (-2)(0) + (1)(1)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{4+4+1} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

Площадь сечения: $S = \frac{S_{xy}}{|\cos \gamma|} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{8} \cdot 3 = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.

35. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проходящее через вершины $B_1$, $D_1$ и середину ребра $AD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, что означает длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $B_1$, $D_1$ и середину ребра $AD$.

Перевод в СИ: Длина ребра куба $a = 1$ м.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ проходящее через вершины $B_1$, $D_1$ и середину ребра $AD$.

Для построения сечения введем систему координат с началом в вершине $A$, осями $x, y, z$ вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

• $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Заданные точки сечения:

• Вершина $B_1(1,0,1)$.

• Вершина $D_1(0,1,1)$.

• Середина ребра $AD$. Пусть эта точка $M$. Координаты $M(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(0,0.5,0)$.

Построение сечения осуществляется следующим образом:

1. Проводим отрезок $B_1D_1$, так как обе точки лежат в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

2. Проводим отрезок $MD_1$, так как обе точки лежат в левой грани $ADD_1A_1$ (плоскость $x=0$).

3. Для нахождения остальных точек сечения, определим уравнение плоскости, проходящей через $M(0,0.5,0)$, $B_1(1,0,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Векторы, лежащие в этой плоскости: $\vec{MB_1} = (1, -0.5, 1)$ и $\vec{MD_1} = (0, 0.5, 1)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{MB_1} \times \vec{MD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.5 & 1 \\ 0 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-0.5)(1) - (1)(0.5)) - \mathbf{j}((1)(1) - (1)(0)) + \mathbf{k}((1)(0.5) - (-0.5)(0))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(-0.5 - 0.5) - \mathbf{j}(1 - 0) + \mathbf{k}(0.5 - 0) = (-1, -1, 0.5)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(0,0.5,0)$ с нормалью $(-1, -1, 0.5)$:

$-1(x-0) - 1(y-0.5) + 0.5(z-0) = 0$

$-x - y + 0.5 + 0.5z = 0$

Умножим на 2 для удобства: $2x + 2y - z - 1 = 0$.

4. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба.

• Пересечение с нижней гранью $ABCD$ ($z=0$): $2x + 2y - 1 = 0$.

  Эта линия пересекает ребро $AD$ ($x=0$) в точке $M(0,0.5,0)$ (уже известна).

  Пересекает ребро $AB$ ($y=0$) в точке $P$. Подставим $y=0$: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$. Таким образом, $P(0.5,0,0)$. Точка $P$ является серединой ребра $AB$.

  Отрезок $MP$ является третьей стороной сечения.

• Пересечение с передней гранью $ABB_1A_1$ ($y=0$): $2x - z - 1 = 0$.

  Эта линия проходит через $P(0.5,0,0)$ (т.к. $2(0.5)-0-1=0$).

  Эта линия проходит через $B_1(1,0,1)$ (т.к. $2(1)-1-1=0$).

  Отрезок $PB_1$ является четвертой стороной сечения.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MPB_1D_1$ с вершинами:

• $M$ - середина ребра $AD$ ($M(0,0.5,0)$)

• $P$ - середина ребра $AB$ ($P(0.5,0,0)$)

• $B_1$ - вершина куба ($B_1(1,0,1)$)

• $D_1$ - вершина куба ($D_1(0,1,1)$)

Этот четырехугольник является равнобедренной трапецией, так как $\vec{MP} = (0.5, -0.5, 0)$ и $\vec{B_1D_1} = (-1, 1, 0)$, что означает $\vec{B_1D_1} = -2\vec{MP}$, то есть $MP \parallel B_1D_1$. Также длины боковых сторон $PB_1$ и $D_1M$ равны.

Найдите его площадь.

Найдем длины оснований трапеции и ее боковых сторон:

• Длина основания $MP = \sqrt{(0.5-0)^2 + (0-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Длина основания $B_1D_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

• Длина боковой стороны $PB_1 = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Для вычисления площади трапеции $S = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$, необходимо найти высоту $h$.

В равнобедренной трапеции $MPB_1D_1$, опустим перпендикуляр из вершины $P$ на основание $B_1D_1$. Пусть основание перпендикуляра - точка $H$. Тогда $B_1H$ равен половине разности длин оснований:

$B_1H = \frac{B_1D_1 - MP}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle PB_1H$ (где $PH$ - высота $h$). По теореме Пифагора:

$h^2 = PB_1^2 - B_1H^2$

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2$

$h^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16}$

$h^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{8}$

$h^2 = \frac{10}{8} - \frac{1}{8}$

$h^2 = \frac{9}{8}$

$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{1}{2}(MP + B_1D_1)h = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$

$S = \frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^2}{2 \cdot 4}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot 2}{8}$

$S = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Альтернативный способ вычисления площади (с использованием векторного произведения):

Площадь четырехугольника $MPB_1D_1$ можно найти как сумму площадей двух треугольников, например, $\triangle D_1MP$ и $\triangle D_1PB_1$.

Площадь треугольника, заданного векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, равна $\frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$.

Координаты точек: $M(0, 0.5, 0)$, $P(0.5, 0, 0)$, $B_1(1, 0, 1)$, $D_1(0, 1, 1)$.

Для $\triangle D_1MP$:

$\vec{D_1M} = (0-0, 0.5-1, 0-1) = (0, -0.5, -1)$

$\vec{D_1P} = (0.5-0, 0-1, 0-1) = (0.5, -1, -1)$

$\vec{N_1} = \vec{D_1M} \times \vec{D_1P} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -0.5 & -1 \\ 0.5 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5-1) - \mathbf{j}(0 - (-0.5)) + \mathbf{k}(0 - (-0.25)) = (-0.5, -0.5, 0.25)$.

$|\vec{N_1}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.25)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25 + 0.0625} = \sqrt{0.5625} = \frac{3}{4}$.

Площадь $\triangle D_1MP = \frac{1}{2} |\vec{N_1}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Для $\triangle D_1PB_1$:

$\vec{D_1P} = (0.5, -1, -1)$

$\vec{D_1B_1} = (1-0, 0-1, 1-1) = (1, -1, 0)$

$\vec{N_2} = \vec{D_1P} \times \vec{D_1B_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.5 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-1) - \mathbf{j}(0-(-1)) + \mathbf{k}(-0.5-(-1)) = (-1, -1, 0.5)$.

$|\vec{N_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0.25} = \sqrt{2.25} = 1.5 = \frac{3}{2}$.

Площадь $\triangle D_1PB_1 = \frac{1}{2} |\vec{N_2}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

Полная площадь сечения $S = \text{Площадь}(\triangle D_1MP) + \text{Площадь}(\triangle D_1PB_1) = \frac{3}{8} + \frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{6}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $ \frac{9}{8} $ квадратных единиц.

36. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее
через вершины $B_1$, $D_1$ и середину ребра $BC$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает, что длина его ребра $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $B_1$, $D_1$ и точку $M$, которая является серединой ребра $BC$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Построение сечения:

1. Отметим заданные точки: $B_1$, $D_1$ и $M$ (середина ребра $BC$).

2. Соединим точки $B_1$ и $D_1$. Этот отрезок является диагональю верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

3. Соединим точки $B_1$ и $M$. Этот отрезок лежит в боковой грани $BB_1C_1C$.

4. Плоскость сечения содержит отрезок $B_1D_1$, который лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

5. Таким образом, линия пересечения секущей плоскости с нижней гранью $ABCD$ должна быть параллельна отрезку $B_1D_1$. Эта линия должна проходить через точку $M$.

6. Проекция отрезка $B_1D_1$ на нижнюю грань $ABCD$ - это диагональ $BD$. Значит, искомая линия пересечения $MP$ должна быть параллельна $BD$ и проходить через $M$.

7. Точка $M$ - середина ребра $BC$. Если провести прямую через $M$ параллельно $BD$ в плоскости грани $ABCD$, то она пересечет ребро $CD$. Пусть точка пересечения будет $P$. Поскольку $M$ - середина $BC$, и $MP \parallel BD$, то по теореме Фалеса (или подобию треугольников), $P$ также будет серединой ребра $CD$.

8. Соединим точки $D_1$ и $P$. Этот отрезок лежит в боковой грани $DD_1C_1C$.

9. Полученное сечение - это четырехугольник $B_1MPD_1$. Так как $B_1D_1 \parallel MP$ (обе параллельны диагонали $BD$ или $B_1D_1$), этот четырехугольник является трапецией. Из-за симметрии куба и расположения точек $M$ и $P$ (как середин ребер), эта трапеция является равнобокой.

Нахождение площади сечения:

Обозначим длину ребра куба $a=1$.

1.Длины оснований трапеции:

* Длина верхнего основания $B_1D_1$: Это диагональ квадрата со стороной $a=1$.

$|B_1D_1| = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

* Длина нижнего основания $MP$: $M$ - середина $BC$, $P$ - середина $CD$. Треугольник $MCP$ подобен треугольнику $BCD$ с коэффициентом $1/2$. Значит, $MP$ - средняя линия треугольника $BCD$ (если бы $M$ была серединой $BC$ и $P$ была серединой $CD$). Более точно, $MP$ - это отрезок, соединяющий середины двух смежных сторон квадрата. Его длина равна половине диагонали квадрата. Или, используя координаты: $M(a, a/2, 0)$ и $P(a/2, a, 0)$ при $A=(0,0,0), B=(a,0,0), C=(a,a,0), D=(0,a,0)$. В нашем случае $M=(1, 0.5, 0)$ и $P=(0.5, 1, 0)$ для $a=1$.

$|MP| = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0.5-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2.Длина боковых сторон трапеции:

* Рассмотрим отрезок $B_1M$. Координаты: $B_1(1,0,1)$, $M(1,0.5,0)$ (при $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$).

$|B_1M| = \sqrt{(1-1)^2 + (0.5-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

* Длина $D_1P$: Координаты: $D_1(0,1,1)$, $P(0.5,1,0)$.

$|D_1P| = \sqrt{(0.5-0)^2 + (1-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку боковые стороны равны, трапеция действительно равнобокая.

3.Высота трапеции:

Для равнобокой трапеции высоту можно найти, опустив перпендикуляр из вершины верхнего основания на нижнее основание. Или найти расстояние между серединами оснований.

* Найдем середину $L$ отрезка $B_1D_1$: $L = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 0.5, 1)$.

* Найдем середину $K$ отрезка $MP$: $K = \left(\frac{1+0.5}{2}, \frac{0.5+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.75, 0.75, 0)$.

* Высота $h$ трапеции - это расстояние между точками $L$ и $K$.

$h = |LK| = \sqrt{(0.75-0.5)^2 + (0.75-0.5)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0.25^2 + 0.25^2 + (-1)^2}$

$h = \sqrt{0.0625 + 0.0625 + 1} = \sqrt{1.125} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

4.Площадь трапеции:

Площадь трапеции $S = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$, где $b_1$ и $b_2$ - длины оснований, а $h$ - высота.

$S = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ:

$\frac{9}{8}$

37. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A_1$, $B$ и середину ребра $CD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A_1$, $B$ и середину ребра $CD$.

Перевод в СИ:

Сторона куба $a = 1$ (единица длины). Все вычисления будут в этих условных единицах.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Обозначим координаты вершин куба, приняв вершину $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Тогда:

$A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$

$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$

Точки, через которые проходит сечение:

$A_1=(0,0,1)$

$B=(1,0,0)$

Середина ребра $CD$, обозначим ее $M$. Координаты $M$:

$M = \left(\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{y_C+y_D}{2}, \frac{z_C+z_D}{2}\right) = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$

Таким образом, сечение определяется точками $A_1(0,0,1)$, $B(1,0,0)$ и $M(1/2,1,0)$.

Для построения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Общее уравнение плоскости $Ax+By+Cz=D$.

Подставим координаты точек:

Для $A_1(0,0,1): A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 1 = D \Rightarrow C = D$

Для $B(1,0,0): A \cdot 1 + B \cdot 0 + C \cdot 0 = D \Rightarrow A = D$

Для $M(1/2,1,0): A \cdot \frac{1}{2} + B \cdot 1 + C \cdot 0 = D \Rightarrow \frac{A}{2} + B = D$

Из первых двух уравнений $A=C=D$. Подставим $A=D$ в третье уравнение:

$\frac{D}{2} + B = D \Rightarrow B = D - \frac{D}{2} \Rightarrow B = \frac{D}{2}$

Пусть $D=2$ (для удобства, чтобы избежать дробей). Тогда $A=2$, $B=1$, $C=2$.

Уравнение плоскости сечения: $2x+y+2z=2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба.

1. Точки $A_1(0,0,1)$, $B(1,0,0)$ и $M(1/2,1,0)$ уже известны.

2. Найдем точку пересечения с ребром $DD_1$. Ребро $DD_1$ имеет $x=0$, $y=1$.

Подставим в уравнение плоскости: $2(0) + 1 + 2z = 2 \Rightarrow 1+2z=2 \Rightarrow 2z=1 \Rightarrow z=1/2$.

Получаем точку $K=(0,1,1/2)$. Эта точка лежит на ребре $DD_1$ (так как $0 \le 1/2 \le 1$).

Таким образом, сечением является четырехугольник $A_1BMK$.

Вычислим длины сторон этого четырехугольника:

$A_1=(0,0,1)$, $B=(1,0,0)$, $M=(1/2,1,0)$, $K=(0,1,1/2)$

$A_1B = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$

$BM = \sqrt{(1/2-1)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1/2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1/4+1+0} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$MK = \sqrt{(0-1/2)^2 + (1-1)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{(-1/2)^2 + 0^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4+0+1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$KA_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{0+1+1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Мы видим, что $A_1B = \sqrt{2}$, $MK = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $BM = KA_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Проверим параллельность сторон. Вектор $\vec{A_1B} = (1,0,-1)$. Вектор $\vec{MK} = (0-1/2, 1-1, 1/2-0) = (-1/2, 0, 1/2)$.

Так как $\vec{A_1B} = -2 \vec{MK}$, векторы коллинеарны, а значит, стороны $A_1B$ и $MK$ параллельны.

Следовательно, четырехугольник $A_1BMK$ является равнобокой трапецией с основаниями $A_1B$ и $MK$.

Длины оснований: $b_1 = A_1B = \sqrt{2}$, $b_2 = MK = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Длина боковой стороны: $c = BM = KA_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Для нахождения площади трапеции $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$, где $h$ - высота трапеции.

В равнобокой трапеции высота $h$ может быть найдена по формуле: $h^2 = c^2 - \left(\frac{b_1-b_2}{2}\right)^2$.

$\frac{b_1-b_2}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.

$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции:

$S = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Альтернативный способ (с использованием векторного произведения):

Разобьем трапецию $A_1BMK$ на два треугольника: $\triangle A_1BM$ и $\triangle A_1MK$.

Для $\triangle A_1BM$:

$\vec{A_1B} = B - A_1 = (1-0, 0-0, 0-1) = (1,0,-1)$

$\vec{A_1M} = M - A_1 = (1/2-0, 1-0, 0-1) = (1/2,1,-1)$

Площадь треугольника $S_{\triangle A_1BM} = \frac{1}{2} |\vec{A_1B} \times \vec{A_1M}|$.

$\vec{A_1B} \times \vec{A_1M} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - (-1)) - \mathbf{j}(-1 - (-1/2)) + \mathbf{k}(1 - 0) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-1/2) + \mathbf{k}(1) = (1, 1/2, 1)$.

$|\vec{A_1B} \times \vec{A_1M}| = \sqrt{1^2 + (1/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1/4 + 1} = \sqrt{9/4} = 3/2$.

$S_{\triangle A_1BM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

Для $\triangle A_1MK$:

$\vec{A_1M} = (1/2,1,-1)$ (уже вычислено)

$\vec{A_1K} = K - A_1 = (0-0, 1-0, 1/2-1) = (0,1,-1/2)$

Площадь треугольника $S_{\triangle A_1MK} = \frac{1}{2} |\vec{A_1M} \times \vec{A_1K}|$.

$\vec{A_1M} \times \vec{A_1K} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1/2 - (-1)) - \mathbf{j}(-1/4 - 0) + \mathbf{k}(1/2 - 0) = \mathbf{i}(1/2) - \mathbf{j}(-1/4) + \mathbf{k}(1/2) = (1/2, 1/4, 1/2)$.

$|\vec{A_1M} \times \vec{A_1K}| = \sqrt{(1/2)^2 + (1/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/16 + 1/4} = \sqrt{4/16 + 1/16 + 4/16} = \sqrt{9/16} = 3/4$.

$S_{\triangle A_1MK} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Общая площадь сечения:

$S = S_{\triangle A_1BM} + S_{\triangle A_1MK} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.

38. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A_1$, $B$ и середину ребра $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a=1$. Сечение проходит через вершины $A_1$, $B$ и середину ребра $CC_1$.

Перевод в СИ: Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти: 1. Изобразить сечение. 2. Найти площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Для построения сечения введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$ Длина ребра куба $a=1$.

Заданные точки, через которые проходит сечение: Вершина $A_1$: $(0,0,1)$. Вершина $B$: $(1,0,0)$. Середина ребра $CC_1$: Пусть это будет точка $M$. Координаты $C(1,1,0)$, $C_1(1,1,1)$. $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,1,0.5)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки $A_1(0,0,1)$, $B(1,0,0)$, $M(1,1,0.5)$. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz = D$. Подставим координаты точек в уравнение: 1. Для $A_1(0,0,1)$: $A(0) + B(0) + C(1) = D \Rightarrow C = D$. 2. Для $B(1,0,0)$: $A(1) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow A = D$. 3. Для $M(1,1,0.5)$: $A(1) + B(1) + C(0.5) = D \Rightarrow A + B + 0.5C = D$. Подставим $A=D$ и $C=D$ в третье уравнение: $D + B + 0.5D = D \Rightarrow B + 0.5D = 0 \Rightarrow B = -0.5D$. Тогда уравнение плоскости принимает вид: $Dx - 0.5Dy + Dz = D$. Если $D \neq 0$, можно разделить все члены уравнения на $D$: $x - 0.5y + z = 1$, или, умножив на 2, $2x - y + 2z = 2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Мы уже знаем $A_1$, $B$ и $M$. 1. Пересечение с верхним основанием $A_1B_1C_1D_1$ (плоскость $z=1$): Подставим $z=1$ в уравнение плоскости: $2x - y + 2(1) = 2 \Rightarrow 2x - y + 2 = 2 \Rightarrow 2x - y = 0 \Rightarrow y = 2x$. * Ребро $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $0 = 2x \Rightarrow x=0$. Это точка $A_1(0,0,1)$. * Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $1 = 2x \Rightarrow x=0.5$. Это точка $P(0.5,1,1)$. * Ребро $B_1C_1$ ($x=1, z=1$): $y = 2(1) \Rightarrow y=2$. Точка $(1,2,1)$ лежит вне ребра $B_1C_1$ (так как $y>1$). * Ребро $A_1D_1$ ($x=0, z=1$): $y = 2(0) \Rightarrow y=0$. Это точка $A_1(0,0,1)$. 2. Пересечение с ребром $DD_1$ (прямая $x=0, y=1$): $2(0) - 1 + 2z = 2 \Rightarrow -1 + 2z = 2 \Rightarrow 2z = 3 \Rightarrow z = 1.5$. Эта точка $(0,1,1.5)$ лежит вне ребра $DD_1$ (так как $z > 1$). Значит, сечение не пересекает ребро $DD_1$.

Таким образом, сечение куба проходит через четыре точки: $A_1(0,0,1)$, $B(1,0,0)$, $M(1,1,0.5)$ и $P(0.5,1,1)$. Это четырехугольник $A_1BMP$. Проверим, на каких гранях лежат его стороны: * Отрезок $A_1B$ соединяет вершины $A_1$ и $B$ на грани $ABB_1A_1$. * Отрезок $BM$ соединяет вершину $B$ и середину ребра $CC_1$ на грани $BCC_1B_1$. * Отрезок $MP$ соединяет точку $M(1,1,0.5)$ и точку $P(0.5,1,1)$. Обе точки имеют $y$-координату $1$, следовательно, отрезок $MP$ лежит на грани $CDD_1C_1$. * Отрезок $PA_1$ соединяет точку $P(0.5,1,1)$ и вершину $A_1(0,0,1)$. Обе точки имеют $z$-координату $1$, следовательно, отрезок $PA_1$ лежит на грани $A_1B_1C_1D_1$.

Определим тип четырехугольника $A_1BMP$. Найдем длины его сторон: $|A_1B| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. $|BM| = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1+0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. $|MP| = \sqrt{(0.5-1)^2 + (1-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $|PA_1| = \sqrt{(0-0.5)^2 + (0-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25+1} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Сравнивая длины сторон, видим, что $|A_1B| = \sqrt{2}$ и $|MP| = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти стороны не равны. Однако $|BM| = |PA_1| = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Проверим параллельность сторон $A_1B$ и $MP$: Вектор $\vec{A_1B} = (1-0, 0-0, 0-1) = (1, 0, -1)$. Вектор $\vec{MP} = (0.5-1, 1-1, 1-0.5) = (-0.5, 0, 0.5)$. Заметим, что $\vec{A_1B} = -2 \vec{MP}$. Так как векторы коллинеарны, стороны $A_1B$ и $MP$ параллельны. Следовательно, сечение $A_1BMP$ является равнобедренной трапецией с параллельными основаниями $A_1B$ и $MP$, и равными боковыми сторонами $BM$ и $PA_1$. Точка $P(0.5,1,1)$ является серединой ребра $C_1D_1$, так как $D_1=(0,1,1)$ и $C_1=(1,1,1)$.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $A_1BMP$, где $A_1$ и $B$ — вершины куба, $M$ — середина ребра $CC_1$, а $P$ — середина ребра $C_1D_1$.

Найдите его площадь

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$, где $b_1, b_2$ — длины параллельных оснований, а $h$ — высота трапеции. Длины оснований: $b_1 = |A_1B| = \sqrt{2}$, $b_2 = |MP| = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длины боковых сторон: $c = |BM| = |PA_1| = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из вершины короткого основания на длинное, она отсечет отрезок, длина которого $x = \frac{b_1 - b_2}{2}$. $x = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Высоту трапеции $h$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h$ и отрезком $x$: $h = \sqrt{c^2 - x^2}$ $h = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2}$ $h = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{1}{8}}$ $h = \sqrt{\frac{10}{8} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$. Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $h = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции $S$: $S = \frac{1}{2} \left(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$ $S = \frac{1}{2} \left(\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$ $S = \frac{1}{2} \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$ $S = \frac{(3\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2})}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$.

39. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $B_1$ и середину ребра $CD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A$, вершину $B_1$ и середину ребра $CD$ (обозначим ее $K$).

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1. Координаты вершин куба:$A=(0,0,0)$$B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$

2. Определим координаты заданных точек сечения:Вершина $A = (0,0,0)$.Вершина $B_1 = (1,0,1)$.Середина ребра $CD$. Координаты $C=(1,1,0)$ и $D=(0,1,0)$.Точка $K$, как середина ребра $CD$, имеет координаты: $K = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 1, 0)$.

3. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$, $K(0.5,1,0)$.Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz=D$.Поскольку плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, то $D=0$. Уравнение примет вид $Ax+By+Cz=0$.Подставим координаты $B_1(1,0,1)$: $A(1) + B(0) + C(1) = 0 \implies A+C=0 \implies C=-A$.Подставим координаты $K(0.5,1,0)$: $A(0.5) + B(1) + C(0) = 0 \implies 0.5A+B=0 \implies B=-0.5A$.Для простоты выберем $A=2$. Тогда $C=-2$, $B=-1$.Уравнение плоскости сечения: $2x - y - 2z = 0$.

4. Построение сечения и нахождение всех его вершин:a) Точки $A(0,0,0)$ и $K(0.5,1,0)$ лежат в плоскости основания $ABCD$. Отрезок $AK$ является частью сечения.b) Точки $A(0,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$ лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$. Отрезок $AB_1$ является частью сечения.c) Для нахождения остальных вершин сечения, пересечем плоскость $2x-y-2z=0$ с ребрами куба: * Пересечение с ребром $CC_1$. Ребро $CC_1$ имеет координаты $x=1, y=1$, при $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) - 1 - 2z = 0 \implies 1 - 2z = 0 \implies z = 0.5$. Точка $L=(1,1,0.5)$ лежит на ребре $CC_1$ (так как $0 \le 0.5 \le 1$). Отрезок $KL$ является частью сечения. * Пересечение с ребром $DD_1$. Ребро $DD_1$ имеет координаты $x=0, y=1$, при $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $2(0) - 1 - 2z = 0 \implies -1 - 2z = 0 \implies z = -0.5$. Эта точка лежит вне ребра $DD_1$ (так как $z < 0$), поэтому сечение не пересекает это ребро внутри куба. * Пересечение с ребром $C_1D_1$. Ребро $C_1D_1$ имеет координаты $0 \le x \le 1, y=1, z=1$. Подставим в уравнение плоскости: $2x - 1 - 2(1) = 0 \implies 2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$. Эта точка лежит вне ребра $C_1D_1$ (так как $x > 1$), поэтому сечение не пересекает это ребро внутри куба.Таким образом, вершины сечения: $A(0,0,0)$, $K(0.5,1,0)$, $L(1,1,0.5)$, $B_1(1,0,1)$.Соединяя эти точки последовательно, получаем многоугольник $AKLB_1$.Чтобы убедиться в параллельности сторон, рассмотрим векторы $\vec{KL}$ и $\vec{AB_1}$:$\vec{KL} = (1-0.5, 1-1, 0.5-0) = (0.5, 0, 0.5)$.$\vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)$.Видно, что $\vec{KL} = 0.5 \cdot \vec{AB_1}$. Это означает, что сторона $KL$ параллельна стороне $AB_1$.Следовательно, сечение $AKLB_1$ является трапецией.

5. Вычислим площадь трапеции $AKLB_1$.Площадь плоского многоугольника в трехмерном пространстве, заданного координатами вершин, можно вычислить, разбив его на треугольники, или используя формулу через векторное произведение диагоналей для выпуклого четырехугольника.Диагоналями трапеции $AKLB_1$ являются $AL$ и $KB_1$.Вычислим векторы диагоналей:$\vec{AL} = (1-0, 1-0, 0.5-0) = (1,1,0.5)$.$\vec{KB_1} = (1-0.5, 0-1, 1-0) = (0.5, -1, 1)$.Площадь сечения $S$ равна половине модуля векторного произведения этих диагоналей:$S = \frac{1}{2} |\vec{AL} \times \vec{KB_1}|$.Вычислим векторное произведение:$\vec{AL} \times \vec{KB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0.5 \\ 0.5 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 0.5)$$= \mathbf{i}(1 + 0.5) - \mathbf{j}(1 - 0.25) + \mathbf{k}(-1 - 0.5)$$= (1.5, -0.75, -1.5)$.Найдем модуль этого вектора:$|\vec{AL} \times \vec{KB_1}| = \sqrt{(1.5)^2 + (-0.75)^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{2.25 + 0.5625 + 2.25} = \sqrt{5.0625}$.Значение $\sqrt{5.0625} = 2.25$.Таким образом, площадь сечения $S = \frac{1}{2} \cdot 2.25 = 1.125$.

Ответ: $1.125$.

40. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $B_1$ и середину ребра $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a=1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B_1$ и середину ребра $DD_1$. Обозначим середину ребра $DD_1$ как точку $M$.

Найти:

Изобразите сечение: Описание геометрической фигуры сечения.

Найдите его площадь: Площадь полученного сечения.

Решение:

Для удобства введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребра куба $AB$, $AD$, $AA_1$ направим по осям $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Тогда координаты вершин куба будут:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $C=(1,1,0)$
• $D=(0,1,0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $C_1=(1,1,1)$
• $D_1=(0,1,1)$

Заданные точки для построения сечения:

• Вершина $A=(0,0,0)$.
• Вершина $B_1=(1,0,1)$.
• Точка $M$ — середина ребра $DD_1$. Координаты $D=(0,1,0)$ и $D_1=(0,1,1)$. Тогда $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

Изобразите сечение

Для определения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$ и $M(0,1,0.5)$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$.

Поскольку плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, свободный член $D=0$. Уравнение примет вид: $Ax+By+Cz=0$.

Подставим координаты точки $B_1(1,0,1)$: $A(1)+B(0)+C(1)=0 \Rightarrow A+C=0 \Rightarrow C=-A$.

Подставим координаты точки $M(0,1,0.5)$: $A(0)+B(1)+C(0.5)=0 \Rightarrow B+0.5C=0 \Rightarrow B=-0.5C$.

Теперь подставим $C=-A$ в выражение для $B$: $B=-0.5(-A) \Rightarrow B=0.5A$.

Для удобства выберем значение $A$, например $A=2$. Тогда $C=-2$ и $B=1$.

Уравнение плоскости сечения: $2x+y-2z=0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, чтобы определить все вершины сечения:

1. Плоскость сечения пересекает грань $ADD_1A_1$ (где $x=0$). Подставим $x=0$ в уравнение плоскости: $y-2z=0$. Эта линия проходит через точки $A(0,0,0)$ и $M(0,1,0.5)$. Следовательно, отрезок $AM$ является стороной сечения.

2. Плоскость сечения пересекает грань $ABB_1A_1$ (где $y=0$). Подставим $y=0$ в уравнение плоскости: $2x-2z=0 \Rightarrow x=z$. Эта линия проходит через точки $A(0,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$. Следовательно, отрезок $AB_1$ является стороной сечения.

3. Плоскость сечения пересекает грань $CDD_1C_1$ (где $y=1$). Подставим $y=1$ в уравнение плоскости: $2x+1-2z=0$. Найдем точки пересечения этой линии с ребрами грани $CDD_1C_1$:

• С ребром $DD_1$ ($x=0, y=1$): $1-2z=0 \Rightarrow z=0.5$. Это точка $M(0,1,0.5)$, уже найденная.
• С ребром $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x+1-2(1)=0 \Rightarrow 2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$. Это новая точка $K(0.5,1,1)$. Следовательно, отрезок $MK$ является стороной сечения.

4. Плоскость сечения пересекает грань $A_1B_1C_1D_1$ (где $z=1$). Подставим $z=1$ в уравнение плоскости: $2x+y-2=0$. Найдем точки пересечения этой линии с ребрами грани $A_1B_1C_1D_1$:

• С ребром $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x+1-2=0 \Rightarrow 2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$. Это точка $K(0.5,1,1)$, уже найденная.
• С ребром $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $2x+0-2=0 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1$. Это точка $B_1(1,0,1)$, уже найденная.

5. Отрезок, соединяющий точки $K(0.5,1,1)$ и $B_1(1,0,1)$, также является стороной сечения, поскольку обе точки лежат на грани $A_1B_1C_1D_1$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $AMKB_1$ с вершинами $A(0,0,0)$, $M(0,1,0.5)$, $K(0.5,1,1)$ и $B_1(1,0,1)$.

Определим вид этого четырехугольника, изучив его стороны:

• Вектор $\vec{AM} = (0-0, 1-0, 0.5-0) = (0,1,0.5)$.
• Вектор $\vec{MK} = (0.5-0, 1-1, 1-0.5) = (0.5,0,0.5)$.
• Вектор $\vec{KB_1} = (1-0.5, 0-1, 1-1) = (0.5,-1,0)$.
• Вектор $\vec{B_1A} = (0-1, 0-0, 0-1) = (-1,0,-1)$.

Сравним параллельность сторон:

• $\vec{AM}$ и $\vec{KB_1}$: $(0,1,0.5)$ и $(0.5,-1,0)$ — не параллельны.
• $\vec{MK}$ и $\vec{B_1A}$: $(0.5,0,0.5)$ и $(-1,0,-1)$ — параллельны, так как $\vec{B_1A} = -2 \vec{MK}$. Значит, стороны $MK$ и $AB_1$ (так как $\vec{AB_1}=-\vec{B_1A}=(1,0,1)$) параллельны.

Найдем длины сторон:

• Длина $AB_1 = |\vec{AB_1}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.
• Длина $MK = |\vec{MK}| = \sqrt{0.5^2+0^2+0.5^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Длина $AM = |\vec{AM}| = \sqrt{0^2+1^2+0.5^2} = \sqrt{1+0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• Длина $KB_1 = |\vec{KB_1}| = \sqrt{0.5^2+(-1)^2+0^2} = \sqrt{0.25+1} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку у четырехугольника $AMKB_1$ две стороны $AB_1$ и $MK$ параллельны, а две другие стороны $AM$ и $KB_1$ равны по длине, то это равнобочная трапеция.

Ответ: Сечение куба представляет собой равнобочную трапецию $AMKB_1$ с вершинами $A(0,0,0)$, $M(0,1,0.5)$, $K(0.5,1,1)$ и $B_1(1,0,1)$.

Найдите его площадь

Площадь трапеции можно вычислить по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$, где $b_1$ и $b_2$ — длины параллельных оснований, а $h$ — высота трапеции.

Параллельные основания: $b_1 = AB_1 = \sqrt{2}$ и $b_2 = MK = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Длина боковой стороны $l = AM = KB_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Найдем высоту $h$ равнобочной трапеции. Опустим перпендикуляр из точки $M$ на прямую, содержащую основание $AB_1$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $AM$, ее проекцией $AH$ на основание $AB_1$ и высотой $h$.

Длина проекции $AH$ вычисляется как $AH = \frac{|AB_1 - MK|}{2}$ для равнобочной трапеции, если $AH$ лежит на продолжении меньшего основания. Или можно использовать тригонометрию или векторную проекцию.

Удобнее вычислить высоту $h$ через проекцию боковой стороны на основание $AB_1$. Для равнобочной трапеции, если спроецировать вершины $M$ и $K$ на прямую, содержащую $AB_1$, то длина отрезка от $A$ до проекции $M$ будет равна $x = \frac{b_1-b_2}{2}$ (если $b_1>b_2$).

В нашем случае $AB_1=\sqrt{2}$ и $MK=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выступ за края меньшего основания относительно большего основания: $x = \frac{AB_1 - MK}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Теперь по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной $AM$, высотой $h$ и отрезком $x$:

$h^2 = AM^2 - x^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2$

$h^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.

Тогда высота $h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{3 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^2}{4 \cdot 4} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Площадь можно также найти, разбив трапецию на два треугольника диагональю $MB_1$ и суммировав их площади с использованием векторного произведения.

Площадь $\triangle AMB_1$: Векторы $\vec{AM}=(0,1,0.5)$ и $\vec{AB_1}=(1,0,1)$.

Векторное произведение $\vec{AM} \times \vec{AB_1} = (1\cdot 1 - 0.5\cdot 0, -(0\cdot 1 - 0.5\cdot 1), 0\cdot 0 - 1\cdot 1) = (1, 0.5, -1)$.

Площадь $\triangle AMB_1 = \frac{1}{2} ||(1, 0.5, -1)|| = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + 0.5^2 + (-1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + 0.25 + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{2.25} = \frac{1}{2} \cdot 1.5 = 0.75 = \frac{3}{4}$.

Площадь $\triangle MKB_1$: Векторы $\vec{MK}=(0.5,0,0.5)$ и $\vec{MB_1}=(1-0, 0-1, 1-0.5) = (1,-1,0.5)$.

Векторное произведение $\vec{MK} \times \vec{MB_1} = (0\cdot 0.5 - 0.5\cdot (-1), -(0.5\cdot 0.5 - 0.5\cdot 1), 0.5\cdot (-1) - 0\cdot 1) = (0.5, 0.25, -0.5)$.

Площадь $\triangle MKB_1 = \frac{1}{2} ||(0.5, 0.25, -0.5)|| = \frac{1}{2} \sqrt{0.5^2 + 0.25^2 + (-0.5)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{0.25 + 0.0625 + 0.25} = \frac{1}{2} \sqrt{0.5625} = \frac{1}{2} \cdot 0.75 = 0.375 = \frac{3}{8}$.

Общая площадь сечения $S = \text{Площадь } \triangle AMB_1 + \text{Площадь } \triangle MKB_1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.

41. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $C$, $D_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a=1$.

Сечение проходит через вершины $C$, $D_1$ и середину ребра $AB$, которую обозначим как $M$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для определения сечения и его площади используем метод координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежали соответственно на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$.

Тогда координаты вершин куба (при длине ребра $a=1$):$A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$

Заданные точки сечения:1. Вершина $C=(1,1,0)$.2. Вершина $D_1=(0,1,1)$.3. Середина ребра $AB$. Так как $A=(0,0,0)$ и $B=(1,0,0)$, середина $M$ имеет координаты $(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2},0,0)$.

Для нахождения полного сечения, определим уравнение плоскости, проходящей через точки $M(\frac{1}{2},0,0)$, $C(1,1,0)$, $D_1(0,1,1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:$\vec{MC} = C - M = (1 - \frac{1}{2}, 1 - 0, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, 1, 0)$$\vec{MD_1} = D_1 - M = (0 - \frac{1}{2}, 1 - 0, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, 1, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{MC}$ и $\vec{MD_1}$:$\vec{n} = \vec{MC} \times \vec{MD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot (-\frac{1}{2})) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = (1, -\frac{1}{2}, 1)$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя нормальный вектор $(1, -\frac{1}{2}, 1)$ и точку $M(\frac{1}{2},0,0)$:$1(x - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}(y - 0) + 1(z - 0) = 0$$x - \frac{1}{2} - \frac{y}{2} + z = 0$Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: $2x - y + 2z - 1 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Мы уже знаем три точки: $M$, $C$, $D_1$.1. Ребро $AB$: $y=0, z=0$. Подставим в уравнение плоскости: $2x - 0 + 0 - 1 = 0 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Это точка $M(\frac{1}{2},0,0)$.2. Ребро $BC$: $x=1, z=0$. Подставим: $2(1) - y + 0 - 1 = 0 \Rightarrow 1-y=0 \Rightarrow y=1$. Это точка $C(1,1,0)$.3. Ребро $DD_1$: $x=0, y=1$. Подставим: $2(0) - 1 + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2z=2 \Rightarrow z=1$. Это точка $D_1(0,1,1)$.4. Ребро $AA_1$: $x=0, y=0$. Подставим: $2(0) - 0 + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2z=1 \Rightarrow z=\frac{1}{2}$. Получаем новую точку $P(0,0,\frac{1}{2})$.

Другие ребра куба не пересекаются с данной плоскостью внутри своих отрезков.

Таким образом, сечение является четырехугольником $MCD_1P$ с вершинами:$M(\frac{1}{2},0,0)$$C(1,1,0)$$D_1(0,1,1)$$P(0,0,\frac{1}{2})$

Вычислим длины сторон этого четырехугольника:$MC = \sqrt{(1 - \frac{1}{2})^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$CD_1 = \sqrt{(0 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$D_1P = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 1)^2 + (\frac{1}{2} - 1)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$PM = \sqrt{(\frac{1}{2} - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - \frac{1}{2})^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Сравним векторы сторон $PM$ и $CD_1$:$\vec{PM} = M - P = (\frac{1}{2} - 0, 0 - 0, 0 - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2})$$\vec{D_1C} = C - D_1 = (1 - 0, 1 - 1, 0 - 1) = (1, 0, -1)$Замечаем, что $\vec{D_1C} = 2 \cdot \vec{PM}$. Это означает, что стороны $PM$ и $D_1C$ параллельны.Таким образом, четырехугольник $MCD_1P$ является трапецией с параллельными основаниями $PM$ и $D_1C$.Длины непараллельных сторон $MC = \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $D_1P = \frac{\sqrt{5}}{2}$ равны, следовательно, это равнобедренная трапеция.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} h$, где $b_1$ и $b_2$ - длины оснований, $h$ - высота.

Основания трапеции: $b_1 = PM = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $b_2 = CD_1 = \sqrt{2}$.

Высоту $h$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и половиной разности оснований.Длина боковой стороны $l = MC = \frac{\sqrt{5}}{2}$.Разность оснований $b_2 - b_1 = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Половина разности оснований $x = \frac{b_2 - b_1}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

По теореме Пифагора: $h^2 = l^2 - x^2$$h^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

Площадь сечения $S$:$S = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$.

42. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $C, D_1$ и середину ребра $BB_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сечение проходит через точки $C$, $D_1$ и середину ребра $BB_1$.

Перевод в СИ

Поскольку куб единичный, его ребро равно $a=1$ (единица длины). Все расчеты будут в этих условных единицах.

Найти

Площадь сечения.

Решение

Поместим куб в декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежали на осях $x$, $y$, $z$ соответственно.

Тогда координаты вершин куба будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Заданные точки: Вершина $C(1,1,0)$. Вершина $D_1(0,1,1)$. Середина ребра $BB_1$. Координаты $B(1,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$. Пусть $M$ - середина $BB_1$. Тогда $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,1/2)$.

Итак, сечение проходит через точки $C(1,1,0)$, $D_1(0,1,1)$ и $M(1,0,1/2)$.

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $C$, $D_1$ и середину ребра $BB_1$

Сечение плоскостью представляет собой многоугольник, вершины которого лежат на ребрах куба.

1. Соединим точки $C$ и $M$. Этот отрезок лежит в грани $BCC_1B_1$. 2. Соединим точки $C$ и $D_1$. Этот отрезок лежит в грани $CDD_1C_1$. 3. Найдем уравнение плоскости, проходящей через $C(1,1,0)$, $D_1(0,1,1)$ и $M(1,0,1/2)$. Вектор $CD_1 = D_1 - C = (0-1, 1-1, 1-0) = (-1, 0, 1)$. Вектор $CM = M - C = (1-1, 0-1, 1/2-0) = (0, -1, 1/2)$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = CD_1 \times CM$: $ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1/2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1/2 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(-1 \cdot 1/2 - 1 \cdot 0) + \vec{k}(-1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = (1, 1/2, 1) $. Для удобства дальнейших вычислений можно взять нормаль, умноженную на 2: $2\vec{n} = (2, 1, 2)$. Уравнение плоскости: $2x + y + 2z = d$. Подставим координаты точки $C(1,1,0)$: $2(1) + 1(1) + 2(0) = d \Rightarrow d = 3$. Уравнение плоскости сечения: $2x + y + 2z = 3$.

4. Найдем точки пересечения плоскости с ребрами куба: * Точка $C(1,1,0)$ лежит на ребре $BC$ (или $CC_1$). * Точка $D_1(0,1,1)$ лежит на ребре $D_1C_1$ (или $AD_1$, $DD_1$). * Точка $M(1,0,1/2)$ лежит на ребре $BB_1$. * Найдем пересечение с ребром $A_1B_1$ (лежащим на плоскости $z=1$ и $y=0$, для $0 \le x \le 1$): Подставим $y=0, z=1$ в уравнение плоскости $2x + y + 2z = 3$: $2x + 0 + 2(1) = 3 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 1/2$. Эта точка $N(1/2,0,1)$ лежит на ребре $A_1B_1$.

Таким образом, вершины сечения: $C(1,1,0)$, $M(1,0,1/2)$, $N(1/2,0,1)$, $D_1(0,1,1)$. Сечение является четырехугольником $CMND_1$. Отрезки $CM$ (на грани $BCC_1B_1$), $MN$ (на грани $ABB_1A_1$), $ND_1$ (на грани $A_1B_1C_1D_1$), $D_1C$ (на грани $CDD_1C_1$) образуют периметр сечения. Визуально это можно представить, нарисовав куб и последовательно соединив эти четыре точки.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник с вершинами $C(1,1,0)$, $M(1,0,1/2)$, $N(1/2,0,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Найдите его площадь

Площадь четырехугольника $CMND_1$ можно найти, разбив его на два треугольника, например, $CMD_1$ и $NMD_1$.

Площадь треугольника $CMD_1$: Вектор $\vec{MC} = C - M = (1-1, 1-0, 0-1/2) = (0, 1, -1/2)$. Вектор $\vec{MD_1} = D_1 - M = (0-1, 1-0, 1-1/2) = (-1, 1, 1/2)$. Площадь $S_{CMD_1} = \frac{1}{2} |\vec{MC} \times \vec{MD_1}|$. $ \vec{MC} \times \vec{MD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -1/2 \\ -1 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot 1) - \vec{j}(0 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot (-1)) + \vec{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = (1/2 + 1/2, -(-1/2), 0 + 1) = (1, 1/2, 1) $. $ S_{CMD_1} = \frac{1}{2} |(1, 1/2, 1)| = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + (1/2)^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + 1/4 + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{9/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} $.

Площадь треугольника $NMD_1$: Вектор $\vec{MN} = N - M = (1/2-1, 0-0, 1-1/2) = (-1/2, 0, 1/2)$. Вектор $\vec{MD_1} = (-1, 1, 1/2)$ (использован ранее). Площадь $S_{NMD_1} = \frac{1}{2} |\vec{MN} \times \vec{MD_1}|$. $ \vec{MN} \times \vec{MD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1/2 & 0 & 1/2 \\ -1 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot 1) - \vec{j}(-1/2 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot (-1)) + \vec{k}(-1/2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) = (-1/2, -(-1/4 + 1/2), -1/2) = (-1/2, -1/4, -1/2) $. $ S_{NMD_1} = \frac{1}{2} |(-1/2, -1/4, -1/2)| = \frac{1}{2} \sqrt{(-1/2)^2 + (-1/4)^2 + (-1/2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1/4 + 1/16 + 1/4} = \frac{1}{2} \sqrt{4/16 + 1/16 + 4/16} = \frac{1}{2} \sqrt{9/16} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} $.

Общая площадь сечения $S = S_{CMD_1} + S_{NMD_1} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $9/8$ квадратных единиц.

43. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $D, C_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершины $D$, $C_1$ и середину ребра $AB$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

1. Изобразить сечение.

2. Найти площадь сечения.

Решение

Изображение сечения

Для удобства введем систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$. Тогда вершины куба будут:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Заданные точки:

Вершина $D(0,1,0)$.

Вершина $C_1(1,1,1)$.

Середина ребра $AB$. Обозначим ее $M$. Координаты точки $M$ находятся как среднее арифметическое координат $A$ и $B$: $M = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0.5,0,0)$.

Обозначим сечение плоскостью $\mathcal{P}$. Плоскость $\mathcal{P}$ проходит через точки $D(0,1,0)$, $C_1(1,1,1)$, и $M(0.5,0,0)$.

Найдем уравнение плоскости $\mathcal{P}: Ax+By+Cz=D_0$.

Подставим координаты точек в уравнение плоскости:

1. Для точки $D(0,1,0)$: $A(0)+B(1)+C(0)=D_0 \implies B=D_0$.

2. Для точки $M(0.5,0,0)$: $A(0.5)+B(0)+C(0)=D_0 \implies 0.5A=D_0 \implies A=2D_0$.

3. Для точки $C_1(1,1,1)$: $A(1)+B(1)+C(1)=D_0 \implies A+B+C=D_0$.

Подставим $A=2D_0$ и $B=D_0$ в третье уравнение:

$2D_0+D_0+C=D_0 \implies 3D_0+C=D_0 \implies C=-2D_0$.

Если выбрать $D_0=1$ (можно выбрать любое ненулевое значение), то $A=2, B=1, C=-2$.

Уравнение плоскости, проходящей через заданные точки: $2x+y-2z=1$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба (отрезками, лежащими между $0$ и $1$ по каждой координате):

• С ребром $AB$ ($y=0, z=0$): $2x=1 \implies x=0.5$. Это точка $M(0.5,0,0)$.
• С ребром $AD$ ($x=0, z=0$): $y=1$. Это точка $D(0,1,0)$.
• С ребром $CD$ ($y=1, z=0$): $2x+1=1 \implies x=0$. Это также точка $D(0,1,0)$.
• С ребром $AA_1$ ($x=0, y=0$): $-2z=1 \implies z=-0.5$. Пересечения нет, так как $z \notin [0,1]$.
• С ребром $BB_1$ ($x=1, y=0$): $2(1)+0-2z=1 \implies 2-2z=1 \implies 2z=1 \implies z=0.5$. Обозначим эту точку $K(1,0,0.5)$.
• С ребром $CC_1$ ($x=1, y=1$): $2(1)+1-2z=1 \implies 3-2z=1 \implies 2z=2 \implies z=1$. Это точка $C_1(1,1,1)$.
• С ребром $DD_1$ ($x=0, y=1$): $0+1-2z=1 \implies 2z=0 \implies z=0$. Это также точка $D(0,1,0)$.

Таким образом, вершины сечения: $M(0.5,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C_1(1,1,1)$, $K(1,0,0.5)$.

Сечение представляет собой четырехугольник $MDKC_1$.

Для изображения сечения, соединяем полученные точки на соответствующих гранях:

• Отрезок $MD$ лежит на нижней грани $ABCD$.
• Отрезок $DC_1$ лежит на задней грани $DCC_1D_1$.
• Отрезок $C_1K$ лежит на правой грани $BCC_1B_1$.
• Отрезок $KM$ лежит на передней грани $ABB_1A_1$.

(Примечание: Изображение не может быть сгенерировано в текстовом формате. Здесь должно быть визуальное представление куба с указанным сечением $MDKC_1$.)

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $MDKC_1$.

Найдите его площадь

Площадь четырехугольника $MDKC_1$ можно найти, разбив его на два треугольника одной из диагоналей, например, $MC_1$. Тогда площадь сечения будет равна сумме площадей треугольников $MDC_1$ и $MKC_1$.

Координаты вершин: $M(0.5,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C_1(1,1,1)$, $K(1,0,0.5)$.

Площадь треугольника $MDC_1$:

Найдем векторы, исходящие из общей вершины $M$:

$\vec{MD} = D - M = (0-0.5, 1-0, 0-0) = (-0.5, 1, 0)$

$\vec{MC_1} = C_1 - M = (1-0.5, 1-0, 1-0) = (0.5, 1, 1)$

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

$\vec{MD} \times \vec{MC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -0.5 & 1 & 0 \\ 0.5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(-0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(-0.5 \cdot 1 - 1 \cdot 0.5)$

$= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-0.5) + \mathbf{k}(-0.5-0.5) = (1, 0.5, -1)$.

Площадь $S_{MDC_1} = \frac{1}{2} ||(1, 0.5, -1)|| = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + (0.5)^2 + (-1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + 0.25 + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{2.25} = \frac{1}{2} \cdot 1.5 = 0.75$.

В дробном виде: $S_{MDC_1} = \frac{3}{4}$.

Площадь треугольника $MKC_1$:

Найдем векторы, исходящие из общей вершины $M$:

$\vec{MK} = K - M = (1-0.5, 0-0, 0.5-0) = (0.5, 0, 0.5)$.

$\vec{MC_1} = C_1 - M = (0.5, 1, 1)$ (уже вычислен ранее).

Площадь треугольника $S_{MKC_1} = \frac{1}{2} ||\vec{MK} \times \vec{MC_1}||$:

$\vec{MK} \times \vec{MC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.5 & 0 & 0.5 \\ 0.5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0.5 \cdot 1) - \mathbf{j}(0.5 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5)$

$= \mathbf{i}(-0.5) - \mathbf{j}(0.5 - 0.25) + \mathbf{k}(0.5) = (-0.5, -0.25, 0.5)$.

Площадь $S_{MKC_1} = \frac{1}{2} ||(-0.5, -0.25, 0.5)|| = \frac{1}{2} \sqrt{(-0.5)^2 + (-0.25)^2 + 0.5^2} = \frac{1}{2} \sqrt{0.25 + 0.0625 + 0.25} = \frac{1}{2} \sqrt{0.5625}$.

Так как $\sqrt{0.5625} = 0.75$, то Площадь $S_{MKC_1} = \frac{1}{2} \cdot 0.75 = 0.375$.

В дробном виде: $S_{MKC_1} = \frac{3}{8}$.

Диагонали $MC_1$ и $DK$ пересекаются внутри четырехугольника, что свидетельствует о его выпуклости. Поэтому общая площадь сечения равна сумме площадей двух треугольников:

$S_{MDKC_1} = S_{MDC_1} + S_{MKC_1} = 0.75 + 0.375 = 1.125$.

В дробном виде: $S_{MDKC_1} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Альтернативный метод (метод проекций):

Нормальный вектор к плоскости сечения $2x+y-2z=1$ есть $\vec{N} = (2,1,-2)$. Его модуль $||\vec{N}|| = \sqrt{2^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.

Косинус угла $\theta$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ (на которой лежит проекция) равен $|\frac{\vec{N} \cdot \vec{k}}{||\vec{N}|| \cdot ||\vec{k}||}|$, где $\vec{k}=(0,0,1)$ - нормаль к плоскости $xy$.

$\cos \theta = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 1|}{3 \cdot 1} = \frac{|-2|}{3} = \frac{2}{3}$.

Проекция сечения на плоскость $xy$ - это четырехугольник $M'D'C_1'K'$ с координатами вершин:

$M'(0.5,0)$, $D'(0,1)$, $C_1'(1,1)$, $K'(1,0)$.

Этот четырехугольник является трапецией. Параллельные стороны - это отрезки $M'K'$ (длиной $1-0.5=0.5$) и $D'C_1'$ (длиной $1-0=1$). Высота трапеции - расстояние между линиями $y=0$ и $y=1$, то есть $1$.

Площадь проекции $S_{проект} = \frac{1}{2} (\text{длина } M'K' + \text{длина } D'C_1') \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} (0.5+1) \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot 1.5 = 0.75$.

Площадь сечения $S_{сеч} = \frac{S_{проект}}{\cos \theta} = \frac{0.75}{2/3} = \frac{3/4}{2/3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: Площадь сечения равна $1.125$ или $\frac{9}{8}$.

44. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $D$, $C_1$ и середину ребра $AA_1$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Сечение проходит через вершины $D$, $C_1$ и середину ребра $AA_1$.

Перевод в СИ:
Для единичного куба длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:
Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $D$, $C_1$ и середину ребра $AA_1$.

Обозначим координаты вершин куба следующим образом, пусть $A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$, $A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1,1,1)$, $D_1 = (0,1,1)$. Длина ребра куба $a = 1$.

Заданные точки сечения:

• Вершина $D = (0,1,0)$.

• Вершина $C_1 = (1,1,1)$.

• Середина ребра $AA_1$. Так как $A=(0,0,0)$ и $A_1=(0,0,1)$, то $M = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0,0,0.5)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $D(0,1,0)$, $C_1(1,1,1)$ и $M(0,0,0.5)$. Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+E=0$. Подставим координаты точек:

• Для $D(0,1,0)$: $A(0)+B(1)+C(0)+E=0 \Rightarrow B+E=0 \Rightarrow E=-B$.

• Для $C_1(1,1,1)$: $A(1)+B(1)+C(1)+E=0 \Rightarrow A+B+C+E=0$. Подставим $E=-B$: $A+B+C-B=0 \Rightarrow A+C=0 \Rightarrow C=-A$.

• Для $M(0,0,0.5)$: $A(0)+B(0)+C(0.5)+E=0 \Rightarrow 0.5C+E=0$. Подставим $E=-B$: $0.5C-B=0 \Rightarrow B=0.5C$.

Выразим $B$ и $E$ через $A$:

• $C=-A$

• $B=0.5C = 0.5(-A) = -0.5A$

• $E=-B = -(-0.5A) = 0.5A$

Подставим $A, B, C, E$ в уравнение плоскости $Ax+By+Cz+E=0$: $Ax + (-0.5A)y + (-A)z + 0.5A = 0$. Разделим на $A$ (предполагая $A \ne 0$): $x - 0.5y - z + 0.5 = 0$. Умножим на 2 для удобства: $2x - y - 2z + 1 = 0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• С ребром $AA_1$ (прямая $x=0, y=0$, $0 \le z \le 1$): $2(0)-0-2z+1=0 \Rightarrow -2z+1=0 \Rightarrow z=0.5$. Это точка $M(0,0,0.5)$.

• С ребром $CC_1$ (прямая $x=1, y=1$, $0 \le z \le 1$): $2(1)-1-2z+1=0 \Rightarrow 2-2z=0 \Rightarrow z=1$. Это точка $C_1(1,1,1)$.

• С ребром $DD_1$ (прямая $x=0, y=1$, $0 \le z \le 1$): $2(0)-1-2z+1=0 \Rightarrow -2z=0 \Rightarrow z=0$. Это точка $D(0,1,0)$.

• С ребром $A_1B_1$ (прямая $y=0, z=1$, $0 \le x \le 1$): $2x-0-2(1)+1=0 \Rightarrow 2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$. Это точка $N(0.5,0,1)$, которая является серединой ребра $A_1B_1$.

• Других точек пересечения с ребрами куба нет (например, с $BB_1$: $2(1)-0-2z+1=0 \Rightarrow z=1.5$, что за пределами ребра).

Таким образом, сечение является четырехугольником $DMNC_1$ с вершинами:

• $D(0,1,0)$

• $M(0,0,0.5)$ - середина ребра $AA_1$

• $N(0.5,0,1)$ - середина ребра $A_1B_1$

• $C_1(1,1,1)$

Ребра сечения:

• $DM$ (лежит на грани $ADD_1A_1$)

• $MN$ (лежит на грани $AA_1B_1B$)

• $NC_1$ (лежит на грани $A_1B_1C_1D_1$)

• $C_1D$ (лежит на грани $CDD_1C_1$)

Для изображения необходимо нарисовать куб и отметить эти четыре точки ($D, M, N, C_1$), а затем соединить их отрезками.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $DMNC_1$, где $M$ - середина $AA_1$, $N$ - середина $A_1B_1$.

Найдите его площадь.

Вычислим длины сторон четырехугольника $DMNC_1$:

• $DM = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0.5^2} = \sqrt{0 + 1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

• $MN = \sqrt{(0.5-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.25 + 0 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• $NC_1 = \sqrt{(1-0.5)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 1 + 0} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

• $C_1D = \sqrt{(0-1)^2 + (1-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Мы видим, что $DM = NC_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Проверим параллельность сторон:

• Вектор $\vec{MN} = (0.5-0, 0-0, 1-0.5) = (0.5, 0, 0.5)$.

• Вектор $\vec{DC_1} = (1-0, 1-1, 1-0) = (1, 0, 1)$.

Так как $\vec{DC_1} = 2 \cdot \vec{MN}$, то стороны $MN$ и $DC_1$ параллельны. Следовательно, четырехугольник $DMNC_1$ является равнобедренной трапецией с основаниями $MN$ и $DC_1$ и боковыми сторонами $DM$ и $NC_1$.

Длины оснований: $b_1 = MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $b_2 = DC_1 = \sqrt{2}$. Длина боковой стороны: $c = DM = NC_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h$, где $h$ - высота трапеции. Для равнобедренной трапеции высота $h$ может быть найдена по теореме Пифагора, используя проекцию боковой стороны на основание: $h^2 + \left(\frac{b_2-b_1}{2}\right)^2 = c^2$. $\frac{b_2-b_1}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. $h^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$. $h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Теперь вычислим площадь: $S = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения $S = \frac{9}{8}$.

45. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B$, $C_1$ и середину ребра $AA_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является единичным, что означает, что длина его ребра $a = 1$.

Сечение проходит через три точки: вершину $B$, вершину $C_1$ и середину ребра $AA_1$. Обозначим середину ребра $AA_1$ как точку $M$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ у.е. (единица длины). Поскольку задача является геометрической и не содержит физических величин, требующих конкретных единиц измерения, перевод в систему СИ не применяется.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Для изображения (построения) сечения единичного куба, проходящего через заданные точки $B$, $C_1$ и $M$ (середину ребра $AA_1$), выполним следующие шаги:

1. Определите вершины куба. Пусть $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.
2. Найдите заданные точки:
   • Вершина $B$ находится по координатам $(1,0,0)$.
   • Вершина $C_1$ находится по координатам $(1,1,1)$.
   • Середина ребра $AA_1$: $A(0,0,0)$, $A_1(0,0,1)$. Следовательно, точка $M$ имеет координаты $(0,0,0.5)$.
3. Соедините точки $B$ и $C_1$. Отрезок $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$ и лежит в её плоскости.
4. Соедините точки $B$ и $M$. Отрезок $BM$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$.
5. Соедините точки $C_1$ и $M$. Отрезок $C_1M$ проходит через внутреннюю часть куба.

Таким образом, искомое сечение представляет собой треугольник $BMC_1$.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $BMC_1$, вершины которого $B$, $C_1$ и $M$ (середина ребра $AA_1$).

Найдите его площадь

Для вычисления площади треугольника $BMC_1$ воспользуемся методом координат и формулой площади треугольника через векторное произведение.

Координаты вершин треугольника $BMC_1$:

• $B(1,0,0)$
• $C_1(1,1,1)$
• $M(0,0,0.5)$

Выберем точку $M$ как общую начальную точку для двух векторов, образующих треугольник:

• Вектор $\vec{MB} = B - M = (1-0, 0-0, 0-0.5) = (1, 0, -0.5)$
• Вектор $\vec{MC_1} = C_1 - M = (1-0, 1-0, 1-0.5) = (1, 1, 0.5)$

Площадь треугольника $S_{BMC_1}$ равна половине модуля векторного произведения векторов $\vec{MB}$ и $\vec{MC_1}$:

$S_{BMC_1} = \frac{1}{2} |\vec{MB} \times \vec{MC_1}|$

Вычислим векторное произведение $\vec{MB} \times \vec{MC_1}$:

$\vec{MB} \times \vec{MC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -0.5 \\ 1 & 1 & 0.5 \end{vmatrix}$

$ = \mathbf{i}(0 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)$

$ = \mathbf{i}(0 + 0.5) - \mathbf{j}(0.5 + 0.5) + \mathbf{k}(1 - 0)$

$ = 0.5\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0.5, -1, 1)$

Найдем модуль полученного вектора:

$|\vec{MB} \times \vec{MC_1}| = \sqrt{(0.5)^2 + (-1)^2 + (1)^2}$

$ = \sqrt{0.25 + 1 + 1} = \sqrt{2.25}$

$ = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

Теперь вычислим площадь сечения:

$S_{BMC_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

Ответ: Площадь сечения составляет $3/4$ квадратных единиц.

46. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B, C_1$ и середину ребра $AD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$. Сечение проходит через вершины $B$, $C_1$ и середину ребра $AD$. Пусть середина ребра $AD$ будет точкой $M$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины). Поскольку в задаче не указаны конкретные единицы измерения, площадь будет выражена в квадратных единицах длины. Перевод в стандартные единицы СИ не требуется.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Тогда координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Точка $M$ является серединой ребра $AD$. Координаты $A(0,0,0)$ и $D(0,1,0)$. Следовательно, координаты точки $M$: $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.

Таким образом, сечение проходит через три заданные точки: $B(1,0,0)$, $C_1(1,1,1)$ и $M(0,0.5,0)$.

Определим уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости: $\vec{MB} = B - M = (1-0, 0-0.5, 0-0) = (1, -0.5, 0)$ $\vec{MC_1} = C_1 - M = (1-0, 1-0.5, 1-0) = (1, 0.5, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости найдем как векторное произведение $\vec{MB} \times \vec{MC_1}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.5 & 0 \\ 1 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 1)$ $\vec{n} = -0.5\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + (0.5 + 0.5)\mathbf{k} = (-0.5, -1, 1)$. Для удобства расчетов умножим нормальный вектор на $-2$, чтобы получить целые коэффициенты: $\vec{n'} = (1, 2, -2)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $A=1, B=2, C=-2$: $x + 2y - 2z + D = 0$. Для нахождения $D$ подставим координаты одной из точек, например, $B(1,0,0)$: $1 + 2(0) - 2(0) + D = 0 \Rightarrow 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1$. Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x + 2y - 2z - 1 = 0$.

Найдем остальные точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Рассмотрим ребро $DD_1$, которое является частью задней грани куба ($x=0, y=1, z \in [0,1]$). Подставим $x=0$ и $y=1$ в уравнение плоскости: $0 + 2(1) - 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2z - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 2z = 0 \Rightarrow z = 0.5$. Получаем точку $N(0,1,0.5)$. Эта точка лежит на ребре $DD_1$, так как $0.5 \in [0,1]$.

Сечением куба является четырехугольник $BMNC_1$ с вершинами: $B = (1,0,0)$ $M = (0,0.5,0)$ $N = (0,1,0.5)$ $C_1 = (1,1,1)$

Вычислим длины сторон этого четырехугольника: Длина $BM = \sqrt{(0-1)^2 + (0.5-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0.5^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Длина $MN = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0.5)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина $NC_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Длина $C_1B = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Сравним векторы $MN$ и $BC_1$: $\vec{MN} = (0-0, 1-0.5, 0.5-0) = (0, 0.5, 0.5)$. $\vec{BC_1} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$. Так как $\vec{BC_1} = 2 \cdot \vec{MN}$, стороны $MN$ и $BC_1$ параллельны. Также $BM = NC_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Следовательно, четырехугольник $BMNC_1$ является равнобедренной трапецией с основаниями $MN$ и $BC_1$.

Площадь трапеции $S = \frac{1}{2}(a+b)h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, $h$ - высота. Длины оснований: $a = |BC_1| = \sqrt{2}$, $b = |MN| = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина боковых сторон: $c = |BM| = |NC_1| = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Для равнобедренной трапеции, высота $h$ может быть найдена по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и отрезком на большем основании. Длина этого отрезка равна $\frac{a-b}{2}$. $x = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. Высота $h^2 = c^2 - x^2$: $h^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$. $h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Теперь вычислим площадь сечения $S$: $S = \frac{1}{2} \left(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$ $S = \frac{1}{2} \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$ $S = \frac{1}{2} \frac{3 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^2}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \frac{9 \cdot 2}{8} = \frac{1}{2} \frac{18}{8} = \frac{1}{2} \frac{9}{4} = \frac{9}{8}$.

Для проверки можно использовать метод проекции. Площадь сечения $S$ связана с площадью ее проекции $S_{пр}$ на координатную плоскость формулой $S = S_{пр} / |\cos \gamma|$, где $\gamma$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции. Нормальный вектор плоскости сечения $\vec{n} = (1, 2, -2)$. Его модуль $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$. Вектор нормали к плоскости $xy$ равен $\vec{k} = (0,0,1)$. $|\cos \gamma| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(1,2,-2) \cdot (0,0,1)|}{3 \cdot 1} = \frac{|-2|}{3} = \frac{2}{3}$.

Проекция вершин сечения на плоскость $xy$ (координаты $(x,y)$): $B_{xy} = (1,0)$ $M_{xy} = (0,0.5)$ $N_{xy} = (0,1)$ $C_{1xy} = (1,1)$ Проекция является трапецией с параллельными сторонами $M_{xy}N_{xy}$ (на линии $x=0$) и $B_{xy}C_{1xy}$ (на линии $x=1$). Длины параллельных сторон в плоскости $xy$: $|M_{xy}N_{xy}| = |1 - 0.5| = 0.5$. $|B_{xy}C_{1xy}| = |1 - 0| = 1$. Высота этой трапеции в плоскости $xy$ - это расстояние между линиями $x=0$ и $x=1$, которое равно $1$. Площадь проекции $S_{xy} = \frac{1}{2}(0.5 + 1) \cdot 1 = \frac{1}{2}(1.5) = 0.75 = \frac{3}{4}$.

Тогда площадь сечения $S = S_{xy} / |\cos \gamma| = \frac{3}{4} / \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$. Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: $9/8$.

47. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершины $C$, $B_1$ и середину ребра $AD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.
Сечение проходит через вершину $C$, вершину $B_1$ и середину ребра $AD$, обозначим ее $M$.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь $S_{сеч}$.

Решение:

Для удобства расчетов введем систему координат с началом в точке $A$. Ось $x$ направим по $AB$, ось $y$ по $AD$, ось $z$ по $AA_1$. Так как куб единичный, координаты вершин будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Точки, через которые проходит сечение: $C(1,1,0)$
$B_1(1,0,1)$
$M$ - середина ребра $AD$. Координаты $A(0,0,0)$ и $D(0,1,0)$, поэтому $M(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(0, 0.5, 0)$.

Изображение сечения:

Сечение плоскостью, проходящей через три точки, является многоугольником. Для построения сечения в кубе, необходимо найти все точки пересечения плоскости сечения с ребрами куба.

Используем координатный метод для нахождения всех вершин сечения. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M(0, 0.5, 0)$, $C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$. Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{MC} = C - M = (1-0, 1-0.5, 0-0) = (1, 0.5, 0)$
$\vec{MB_1} = B_1 - M = (1-0, 0-0.5, 1-0) = (1, -0.5, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{MC} \times \vec{MB_1}$: $ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.5 & 0 \\ 1 & -0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.5)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot (-0.5) - 0.5 \cdot 1) = (0.5, -1, -1) $ Для удобства можно взять вектор нормали $2\vec{n} = (1, -2, -2)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим координаты вектора нормали: $x - 2y - 2z + D = 0$. Для нахождения $D$ подставим координаты одной из точек, например $M(0, 0.5, 0)$: $0 - 2(0.5) - 2(0) + D = 0$
$-1 + D = 0 \implies D = 1$.

Уравнение плоскости сечения: $x - 2y - 2z + 1 = 0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Уже известны $M(0, 0.5, 0)$ на $AD$ и $C(1,1,0)$ на $BC$. Также $B_1(1,0,1)$ на $A_1B_1$. Рассмотрим другие ребра куба:

• Ребро $AA_1$: $x=0, y=0, z \in [0,1]$. Подставляем в уравнение плоскости: $0 - 2(0) - 2z + 1 = 0 \implies -2z + 1 = 0 \implies z = 0.5$. Получаем точку $P(0,0,0.5)$. Эта точка лежит на ребре $AA_1$.
• Другие ребра: $CD$, $D_1D$, $A_1D_1$ и т.д. не дают новых точек, лежащих внутри ребер куба.

Таким образом, вершины сечения: $M(0, 0.5, 0)$, $C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$ и $P(0,0,0.5)$. Сечение является четырехугольником $MCB_1P$.

Для изображения сечения: 1. Начертите куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. 2. Отметьте вершину $C$ на основании $ABCD$. 3. Отметьте вершину $B_1$ на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. 4. Отметьте точку $M$ как середину ребра $AD$. 5. Отметьте точку $P$ как середину ребра $AA_1$. 6. Соедините последовательно точки $M$, $C$, $B_1$, $P$ и $M$. Полученный четырехугольник $MCB_1P$ является искомым сечением. Отрезки $MC$ и $MP$ лежат на гранях куба $ABCD$ и $ADD_1A_1$ соответственно. Отрезок $CB_1$ лежит на грани $BCC_1B_1$. Отрезок $PB_1$ соединяет точки $P$ на $AA_1$ и $B_1$ на $A_1B_1$.

Ответ: Описание построения сечения приведено выше.

Найдите его площадь:

Найдем длины сторон четырехугольника $MCB_1P$: $|MC| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
$|CB_1| = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$
$|B_1P| = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0)^2 + (0.5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
$|PM| = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-0)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Четырехугольник $MCB_1P$ имеет стороны $MC = PB_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $CB_1 = \sqrt{2}$, $PM = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Заметим, что $\vec{PM} = M - P = (0, 0.5, -0.5)$ и $\vec{B_1C} = C - B_1 = (0, 1, -1)$. Так как $\vec{B_1C} = 2 \vec{PM}$, то стороны $PM$ и $B_1C$ параллельны. Следовательно, четырехугольник $MCB_1P$ является равнобедренной трапецией с основаниями $PM$ и $CB_1$. Длины оснований: $b_1 = |CB_1| = \sqrt{2}$, $b_2 = |PM| = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина боковых сторон: $c = |MC| = |PB_1| = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Для нахождения площади трапеции $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$, где $h$ - высота трапеции. В равнобедренной трапеции высота $h$ может быть найдена по теореме Пифагора. Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на большее. Длина отрезка на большем основании, отсекаемого высотой, равна $\frac{b_1 - b_2}{2}$. $x = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному боковой стороной, высотой и отрезком $x$: $h^2 + x^2 = c^2$
$h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$
$h^2 + \frac{2}{16} = \frac{5}{4}$
$h^2 + \frac{1}{8} = \frac{10}{8}$
$h^2 = \frac{9}{8}$
$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции: $S_{сеч} = \frac{|CB_1| + |PM|}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$
$S_{сеч} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$
$S_{сеч} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$ квадратных единиц.

Ответ:

Площадь сечения составляет $9/8$.

48. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $C, B_1$ и середину ребра $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a=1$.Сечение проходит через вершины $C$, $B_1$ и середину ребра $DD_1$, обозначим эту точку $M$.

(Перевод в систему СИ не требуется, так как куб единичный, то есть его ребро равно 1 условной единице длины.)

Найти:

1. Описание сечения.2. Площадь сечения.

Решение

Для удобства введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребра куба направлены вдоль осей координат. Тогда координаты вершин куба:$A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$
$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$

Заданные точки, через которые проходит сечение:

• Вершина $C=(1,1,0)$.
• Вершина $B_1=(1,0,1)$.
• Середина ребра $DD_1$: $D=(0,1,0)$, $D_1=(0,1,1)$. Координаты точки $M$ как середины отрезка $DD_1$ будут: $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

Три точки $C$, $B_1$, $M$ не лежат на одной прямой, поэтому они однозначно определяют плоскость, которая пересекает куб, образуя искомое сечение.

Изобразите сечение

Сечением является треугольник $MCB_1$.
Вершина $C=(1,1,0)$ лежит на нижнем основании куба $ABCD$.
Вершина $B_1=(1,0,1)$ лежит на верхнем основании куба $A_1B_1C_1D_1$.
Точка $M=(0,1,0.5)$ является серединой ребра $DD_1$, которое соединяет нижнее основание с верхним.
Отрезок $CM$ соединяет точку $M(0,1,0.5)$ с точкой $C(1,1,0)$. Обе эти точки имеют координату $y=1$, следовательно, отрезок $CM$ лежит в задней грани куба $DCC_1D_1$.
Отрезок $CB_1$ соединяет точку $C(1,1,0)$ с точкой $B_1(1,0,1)$. Обе эти точки имеют координату $x=1$, следовательно, отрезок $CB_1$ лежит в правой грани куба $BCC_1B_1$.
Отрезок $MB_1$ соединяет точку $M(0,1,0.5)$ с точкой $B_1(1,0,1)$ и проходит через внутреннюю часть куба.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $MCB_1$, где $M$ – середина $DD_1$, $C$ – вершина куба, $B_1$ – вершина куба. Стороны $CM$ и $CB_1$ лежат на гранях куба, а сторона $MB_1$ проходит через его внутреннюю часть.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади треугольника $MCB_1$ воспользуемся формулой площади треугольника через векторное произведение. Площадь $S$ треугольника, построенного на векторах $\vec{u}$ и $\vec{v}$, равна $S = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$.
Возьмем два вектора, исходящие из одной вершины треугольника, например, из вершины $C$:
Вектор $\vec{CM} = M - C = (0,1,0.5) - (1,1,0) = (-1, 0, 0.5)$.
Вектор $\vec{CB_1} = B_1 - C = (1,0,1) - (1,1,0) = (0, -1, 1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{CM} \times \vec{CB_1}$:
$\vec{CM} \times \vec{CB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0.5 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$ = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0.5 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0)$
$ = \mathbf{i}(0.5) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(1)$
$ = (0.5, 1, 1)$

Найдем модуль полученного вектора:
$|\vec{CM} \times \vec{CB_1}| = \sqrt{(0.5)^2 + 1^2 + 1^2}$
$ = \sqrt{0.25 + 1 + 1}$
$ = \sqrt{2.25}$
$ = \sqrt{\frac{9}{4}}$
$ = \frac{3}{2}$

Теперь вычислим площадь сечения:
$S = \frac{1}{2} |\vec{CM} \times \vec{CB_1}|$
$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$
$S = \frac{3}{4}$

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3}{4}$ квадратных единиц.

49. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A, D_1$ и середину ребра $BB_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра куба $a = 1$.

Пусть $A$ - начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба:$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Точки, через которые проходит сечение:Вершина $A(0,0,0)$.Вершина $D_1(0,1,1)$.Середина ребра $BB_1$. Обозначим эту точку $M$. Координаты $M$: $x_M = (x_B+x_{B_1})/2 = (1+1)/2 = 1$, $y_M = (y_B+y_{B_1})/2 = (0+0)/2 = 0$, $z_M = (z_B+z_{B_1})/2 = (0+1)/2 = 1/2$. Таким образом, $M(1,0,1/2)$.

Найти

1. Изобразить сечение.

2. Площадь сечения.

Решение

1. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A, D_1$ и середину ребра $BB_1$.

Определим плоскость сечения, используя заданные точки $A(0,0,0)$, $D_1(0,1,1)$ и $M(1,0,1/2)$.

Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz+D=0$.

Так как $A(0,0,0)$ лежит в плоскости, то $D=0$. Уравнение становится $Ax+By+Cz=0$.

Подставим координаты $D_1(0,1,1)$: $A \cdot 0 + B \cdot 1 + C \cdot 1 = 0 \Rightarrow B+C=0 \Rightarrow C=-B$.

Подставим координаты $M(1,0,1/2)$: $A \cdot 1 + B \cdot 0 + C \cdot (1/2) = 0 \Rightarrow A+C/2=0 \Rightarrow A=-C/2$.

Заменим $C$ на $-B$: $A = -(-B)/2 = B/2$.

Подставим $A$ и $C$ в уравнение плоскости через $B$: $(B/2)x + By - Bz = 0$.

Разделим на $B$ (предполагая $B \neq 0$): $x/2 + y - z = 0$, или $x+2y-2z=0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0, 0 \le z \le 1$): $0+0-2z=0 \Rightarrow z=0$. Точка $A(0,0,0)$.

• Ребро $BB_1$ ($x=1, y=0, 0 \le z \le 1$): $1+0-2z=0 \Rightarrow 2z=1 \Rightarrow z=1/2$. Точка $M(1,0,1/2)$.

• Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1, 0 \le z \le 1$): $1+2(1)-2z=0 \Rightarrow 3-2z=0 \Rightarrow z=3/2$. Эта точка находится вне куба, так как $z > 1$. Сечение не пересекает ребро $CC_1$.

• Ребро $DD_1$ ($x=0, y=1, 0 \le z \le 1$): $0+2(1)-2z=0 \Rightarrow 2-2z=0 \Rightarrow z=1$. Точка $D_1(0,1,1)$.

• Ребро $A_1B_1$ ($z=1, y=0, 0 \le x \le 1$): $x+0-2(1)=0 \Rightarrow x=2$. Эта точка находится вне куба, так как $x > 1$. Сечение не пересекает ребро $A_1B_1$.

• Ребро $B_1C_1$ ($z=1, x=1, 0 \le y \le 1$): $1+2y-2(1)=0 \Rightarrow 2y-1=0 \Rightarrow y=1/2$. Точка $N(1,1/2,1)$.

• Ребро $C_1D_1$ ($z=1, y=1, 0 \le x \le 1$): $x+2(1)-2(1)=0 \Rightarrow x=0$. Точка $D_1(0,1,1)$.

• Другие ребра ($AB, BC, CD, DA$) лежат в плоскости $z=0$. Уравнение сечения $x+2y-2z=0$. При $z=0$ получаем $x+2y=0$. Единственная точка, удовлетворяющая этому условию на лице $ABCD$, это $A(0,0,0)$.

Таким образом, сечение куба представляет собой четырехугольник $AMND_1$ с вершинами:$A(0,0,0)$$M(1,0,1/2)$$N(1,1/2,1)$$D_1(0,1,1)$

Для изображения сечения необходимо построить эти точки и соединить их в указанном порядке.Отрезок $AM$ лежит на грани $ABB_1A_1$.Отрезок $ND_1$ лежит на грани $A_1B_1C_1D_1$.Отрезок $D_1A$ лежит на грани $ADD_1A_1$.Отрезок $MN$ соединяет точки на ребрах $BB_1$ и $B_1C_1$.Сечение $AMND_1$ — это четырехугольник, образованный соединением точек $A$, $M$, $N$ и $D_1$.
Изображение сечения: представьте куб, обозначьте вершины. Отметьте $A$, $D_1$ и середину $M$ ребра $BB_1$. Соедините $A$ с $M$, $A$ с $D_1$. Найдите точку $N$ на $B_1C_1$ (она находится на середине $B_1C_1$). Затем соедините $M$ с $N$ и $N$ с $D_1$. Полученный четырехугольник $AMND_1$ - это искомое сечение.

2. Найдите его площадь.

Найдем длины сторон четырехугольника $AMND_1$:

• $AM = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

• $MN = \sqrt{(1-1)^2 + (1/2-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{0^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• $ND_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (1-1/2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (1/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

• $D_1A = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Заметим, что $AM = ND_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Проверим параллельность сторон:

• Вектор $\vec{MN} = (1-1, 1/2-0, 1-1/2) = (0, 1/2, 1/2)$.

• Вектор $\vec{AD_1} = (0-0, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$.

Поскольку $\vec{AD_1} = 2 \vec{MN}$, стороны $MN$ и $AD_1$ параллельны. Следовательно, четырехугольник $AMND_1$ является равнобедренной трапецией.

Длины параллельных оснований: $b_1 = MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $b_2 = AD_1 = \sqrt{2}$.

Высота трапеции $h$ - это расстояние между параллельными линиями, содержащими $MN$ и $AD_1$.Найдем середину $MN$: $P_1 = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1/2}{2}, \frac{1/2+1}{2}) = (1, 1/4, 3/4)$.Найдем середину $AD_1$: $P_2 = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0, 1/2, 1/2)$.

Высота трапеции $h = P_1P_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (1/4-1/2)^2 + (3/4-1/2)^2}$$h = \sqrt{1^2 + (-1/4)^2 + (1/4)^2} = \sqrt{1 + 1/16 + 1/16} = \sqrt{1 + 2/16} = \sqrt{1 + 1/8} = \sqrt{9/8} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$.

$S = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$ квадратных единиц.

50. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины A, $D_1$ и середину ребра BC. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $D_1$ и середину ребра $BC$. Обозначим середину ребра $BC$ как $M$.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение

Для удобства введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты других вершин куба (с ребром $a=1$) будут:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $C=(1,1,0)$
• $D=(0,1,0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $C_1=(1,1,1)$
• $D_1=(0,1,1)$

Данные точки сечения:

• Вершина $A = (0,0,0)$
• Вершина $D_1 = (0,1,1)$
• Середина ребра $BC$: $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0.5, 0)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $D_1(0,1,1)$ и $M(1,0.5,0)$.

Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Так как плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, то $D=0$. Уравнение примет вид: $Ax + By + Cz = 0$.

Подставим координаты точки $D_1(0,1,1)$:

$A(0) + B(1) + C(1) = 0 \Rightarrow B + C = 0 \Rightarrow B = -C$.

Подставим координаты точки $M(1,0.5,0)$:

$A(1) + B(0.5) + C(0) = 0 \Rightarrow A + 0.5B = 0 \Rightarrow A = -0.5B$.

Подставим $B=-C$ в выражение для $A$: $A = -0.5(-C) = 0.5C$.

Примем $C=2$ (для удобства, чтобы избавиться от дробей). Тогда $B=-2$ и $A=1$.

Уравнение плоскости сечения: $x - 2y + 2z = 0$.

Теперь найдем все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Точки $A(0,0,0)$, $D_1(0,1,1)$, $M(1,0.5,0)$ уже найдены и являются вершинами сечения.
• Рассмотрим ребро $CC_1$. Координаты точек на этом ребре имеют вид $(1,1,z)$ для $0 \le z \le 1$.

Подставим в уравнение плоскости: $1 - 2(1) + 2z = 0 \Rightarrow 1 - 2 + 2z = 0 \Rightarrow -1 + 2z = 0 \Rightarrow 2z = 1 \Rightarrow z = 0.5$.

Получаем точку $P_1 = (1,1,0.5)$. Эта точка лежит на ребре $CC_1$ (является его серединой).

Таким образом, сечение является четырехугольником с вершинами $A(0,0,0)$, $M(1,0.5,0)$, $P_1(1,1,0.5)$ и $D_1(0,1,1)$.

Изобразите сечение:

Для изображения сечения необходимо нарисовать единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Затем отметить следующие точки:

• Вершина $A$.
• Вершина $D_1$.
• Точка $M$ на ребре $BC$, которая является его серединой.
• Точка $P_1$ на ребре $CC_1$, которая является его серединой.

Соединить эти точки последовательно: $A-M-P_1-D_1-A$. Полученный четырехугольник $AMP_1D_1$ является искомым сечением. Его стороны лежат на гранях куба: $AM$ на грани $ABCD$, $MP_1$ на грани $BCC_1B_1$, $P_1D_1$ на грани $CDD_1C_1$, и $D_1A$ на грани $ADD_1A_1$.

Найдите его площадь:

Площадь четырехугольника $AMP_1D_1$ можно найти, разбив его на два треугольника. Возьмем диагональ $AD_1$ (или $AP_1$) и вычислим площади $\triangle AMD_1$ и $\triangle MP_1D_1$ (или $\triangle AP_1M$ и $\triangle AP_1D_1$) с помощью векторного произведения.

Рассмотрим $\triangle AMD_1$:

Векторы сторон: $\vec{AM} = M - A = (1, 0.5, 0)$, $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0, 1, 1)$.

Площадь треугольника $S_{\triangle AMD_1} = \frac{1}{2} |\vec{AM} \times \vec{AD_1}|$.

Векторное произведение: $\vec{AM} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0) = (0.5, -1, 1)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{AM} \times \vec{AD_1}| = \sqrt{(0.5)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1 + 1} = \sqrt{2.25} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Площадь $\triangle AMD_1$: $S_{\triangle AMD_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

Рассмотрим $\triangle MP_1D_1$:

Векторы сторон: $\vec{MP_1} = P_1 - M = (1-1, 1-0.5, 0.5-0) = (0, 0.5, 0.5)$.

$\vec{MD_1} = D_1 - M = (0-1, 1-0.5, 1-0) = (-1, 0.5, 1)$.

Площадь треугольника $S_{\triangle MP_1D_1} = \frac{1}{2} |\vec{MP_1} \times \vec{MD_1}|$.

Векторное произведение: $\vec{MP_1} \times \vec{MD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0.5 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot (-1))$

$= \mathbf{i}(0.5 - 0.25) - \mathbf{j}(0.5) + \mathbf{k}(0.5) = (0.25, -0.5, 0.5)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{MP_1} \times \vec{MD_1}| = \sqrt{(0.25)^2 + (-0.5)^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.0625 + 0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5625} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.

Площадь $\triangle MP_1D_1$: $S_{\triangle MP_1D_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Общая площадь сечения $S = S_{\triangle AMD_1} + S_{\triangle MP_1D_1} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $ \frac{9}{8} $.

51. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $D$, $A_1$ и середину ребра $BC$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (сторона $a=1$).
Сечение проходит через вершины $D$, $A_1$ и середину ребра $BC$.

Перевод в СИ:
Поскольку куб является единичным, его ребро равно $a=1$ условной единице длины. Перевод в систему СИ не требуется, так как ответ будет также в условных единицах площади.

Найти:
1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение:

Изобразить сечение:
Пусть вершина $D$ куба находится в начале координат, т.е. $D=(0,0,0)$. Так как куб единичный, длины его ребер равны 1. Координаты вершин куба: $D=(0,0,0)$
$A=(1,0,0)$
$C=(0,1,0)$
$B=(1,1,0)$
$D_1=(0,0,1)$
$A_1=(1,0,1)$
$C_1=(0,1,1)$
$B_1=(1,1,1)$

Пусть $M$ - середина ребра $BC$. Координаты $B=(1,1,0)$ и $C=(0,1,0)$. Следовательно, $M = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.

Сечение проходит через точки $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$ и $M(1/2,1,0)$. Для определения полного сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{DA_1} = A_1 - D = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$
$\vec{DM} = M - D = (1/2-0, 1-0, 0-0) = (1/2,1,0)$ Нормальный вектор к плоскости $\vec{n}$ перпендикулярен этим двум векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{DA_1} \times \vec{DM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1/2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-1) - \mathbf{j}(0-1/2) + \mathbf{k}(1-0) = (-1, 1/2, 1)$. Для удобства умножим нормальный вектор на $-2$, чтобы получить целые коэффициенты: $\vec{n} = (2, -1, -2)$. Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz=0$ (так как плоскость проходит через начало координат $D(0,0,0)$). Следовательно, $2x - y - 2z = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, кроме уже известных $D$, $A_1$, $M$. 1. Пересечение с ребром $BB_1$: $x=1, y=1, z \in [0,1]$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) - 1 - 2z = 0 \Rightarrow 1 - 2z = 0 \Rightarrow 2z = 1 \Rightarrow z = 1/2$. Получаем точку $N(1,1,1/2)$. Эта точка лежит на ребре $BB_1$, так как $0 \le 1/2 \le 1$. 2. Путем проверки других ребер убеждаемся, что других точек пересечения с ребрами, кроме $D$, $A_1$, $M$, $N$, нет в пределах куба.

Таким образом, сечение является четырехугольником $DMA_1N$ с вершинами: $D=(0,0,0)$
$M=(1/2,1,0)$
$N=(1,1,1/2)$
$A_1=(1,0,1)$ Чтобы изобразить сечение, следует соединить эти вершины в следующем порядке: $D$ с $M$ (на нижней грани $ABCD$), $M$ с $N$ (на грани $BCC_1B_1$), $N$ с $A_1$ (на грани $ABB_1A_1$), и $A_1$ с $D$ (на грани $ADD_1A_1$). На чертеже куба это будет выглядеть как четырехугольник, пересекающий соответствующие грани.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $DMA_1N$.

Найти его площадь:
Площадь четырехугольника $DMA_1N$ можно найти, разбив его на два треугольника, например, $DMA_1$ и $MA_1N$, и сложив их площади. Площадь треугольника, образованного векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, равна $\frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$.

1. Площадь треугольника $DMA_1$: Векторы: $\vec{DM} = (1/2, 1, 0)$ и $\vec{DA_1} = (1, 0, 1)$. Векторное произведение: $\vec{DM} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1-0) - \mathbf{j}(1/2-0) + \mathbf{k}(0-1) = (1, -1/2, -1)$. Модуль векторного произведения: $|\vec{DM} \times \vec{DA_1}| = \sqrt{1^2 + (-1/2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1/4 + 1} = \sqrt{9/4} = 3/2$. Площадь $S_{DMA_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

2. Площадь треугольника $MA_1N$: Векторы: $\vec{A_1M} = M - A_1 = (1/2-1, 1-0, 0-1) = (-1/2, 1, -1)$ и $\vec{A_1N} = N - A_1 = (1-1, 1-0, 1/2-1) = (0, 1, -1/2)$. Векторное произведение: $\vec{A_1M} \times \vec{A_1N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1/2 - (-1)) - \mathbf{j}(1/4 - 0) + \mathbf{k}(-1/2 - 0) = (1/2, -1/4, -1/2)$. Модуль векторного произведения: $|\vec{A_1M} \times \vec{A_1N}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-1/4)^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/16 + 1/4} = \sqrt{4/16 + 1/16 + 4/16} = \sqrt{9/16} = 3/4$. Площадь $S_{MA_1N} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Общая площадь сечения $S = S_{DMA_1} + S_{MA_1N} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Альтернативный способ (через проекцию): Проекция четырехугольника $DMA_1N$ на координатную плоскость $xy$ будет иметь вершины: $D'=(0,0)$
$M'=(1/2,1)$
$N'=(1,1)$
$A_1'=(1,0)$ Это трапеция с параллельными сторонами $D'A_1'$ (лежащей на оси $x$) и $M'N'$ (лежащей на линии $y=1$). Длина стороны $D'A_1' = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2} = 1$. Длина стороны $M'N' = \sqrt{(1-1/2)^2 + (1-1)^2} = 1/2$. Высота трапеции $h = 1$ (расстояние между линиями $y=0$ и $y=1$). Площадь проекции $S_{xy} = \frac{1}{2} (|D'A_1'| + |M'N'|) h = \frac{1}{2} (1 + 1/2) \cdot 1 = \frac{1}{2} (3/2) = 3/4$. Угол $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ определяется косинусом угла между их нормальными векторами. Нормаль к плоскости $xy$ это $\vec{k}=(0,0,1)$. Нормаль к плоскости сечения $\vec{n}=(2,-1,-2)$. $\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|} = \frac{|2 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + (-2) \cdot 1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{4+1+4} \cdot \sqrt{1}} = \frac{2}{\sqrt{9} \cdot 1} = \frac{2}{3}$. Площадь сечения $S = \frac{S_{xy}}{\cos \gamma} = \frac{3/4}{2/3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.

52. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $D, A_1$ и середину ребра $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

• Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a = 1$.
• Сечение проходит через вершины $D$, $A_1$.
• Сечение проходит через середину ребра $CC_1$, обозначим эту точку $M$.

Перевод в СИ:

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как куб является единичным, и его размеры выражены в относительных единицах длины.

Найти:

Изобразить сечение.

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение

Для построения сечения куба, проходящего через заданные точки $D$, $A_1$ и $M$ (середину ребра $CC_1$), удобно использовать метод координат.

Пусть вершина $D$ куба находится в начале координат, то есть $D=(0,0,0)$. Тогда координаты других вершин куба (с ребром $a=1$) будут:

• $A=(1,0,0)$
• $B=(1,1,0)$
• $C=(0,1,0)$
• $D=(0,0,0)$
• $A_1=(1,0,1)$
• $B_1=(1,1,1)$
• $C_1=(0,1,1)$
• $D_1=(0,0,1)$

Заданные точки, через которые проходит сечение:

• $D=(0,0,0)$
• $A_1=(1,0,1)$
• $M$ — середина ребра $CC_1$. Координаты $C=(0,1,0)$ и $C_1=(0,1,1)$. Соответственно, $M=(0, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0,1,1/2)$.

Итак, сечение проходит через точки $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $M(0,1,1/2)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Векторы, лежащие в этой плоскости: $\vec{DA_1} = A_1 - D = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$ $\vec{DM} = M - D = (0-0, 1-0, 1/2-0) = (0,1,1/2)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{DA_1} \times \vec{DM}$ находится как: $\vec{n} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1/2 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1/2 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$ $\vec{n} = (-1, -1/2, 1)$. Для удобства можно взять нормаль, умноженную на $-2$: $\vec{n'} = (2,1,-2)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_0 = 0$. Подставим $\vec{n'} = (2,1,-2)$: $2x + y - 2z + D_0 = 0$. Поскольку точка $D(0,0,0)$ лежит в плоскости, подставим ее координаты: $2(0) + 0 - 2(0) + D_0 = 0 \Rightarrow D_0 = 0$. Уравнение плоскости сечения: $2x + y - 2z = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $A_1D_1$ (прямая $y=0, z=1$): $2x + 0 - 2(1) = 0 \Rightarrow 2x - 2 = 0 \Rightarrow x=1$. Это точка $A_1(1,0,1)$, уже известная.
• Ребро $D_1C_1$ (прямая $x=0, z=1$): $2(0) + y - 2(1) = 0 \Rightarrow y - 2 = 0 \Rightarrow y=2$. Эта точка $(0,2,1)$ лежит вне куба, так как $y$-координата превышает 1.
• Ребро $B_1C_1$ (прямая $y=1, z=1$): $2x + 1 - 2(1) = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x=1/2$. Это точка $N(1/2,1,1)$. Эта точка лежит на ребре $B_1C_1$.
• Ребро $BB_1$ (прямая $x=1, y=1$): $2(1) + 1 - 2z = 0 \Rightarrow 3 - 2z = 0 \Rightarrow z=3/2$. Эта точка $(1,1,3/2)$ лежит вне куба, так как $z$-координата превышает 1.

Таким образом, вершины сечения внутри куба — это $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $M(0,1,1/2)$ и $N(1/2,1,1)$. Сечение является четырехугольником $DA_1NM$.

Для изображения сечения необходимо соединить эти вершины:

• Отрезок $DA_1$ находится на грани $ADD_1A_1$.
• Отрезок $A_1N$ находится на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
• Отрезок $NM$ находится на грани $BCC_1B_1$.
• Отрезок $MD$ находится внутри куба, соединяя вершину $D$ с точкой $M$.

Сечение $DA_1NM$ — это плоский четырехугольник.

Ответ:
Сечение представляет собой четырехугольник $DA_1NM$ с вершинами $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $N(1/2,1,1)$ и $M(0,1,1/2)$.

Найдите его площадь

Найдем длины сторон четырехугольника $DA_1NM$:

• $DA_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.
• $A_1N = \sqrt{(1/2-1)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-1/2)^2+1^2+0^2} = \sqrt{1/4+1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $NM = \sqrt{(0-1/2)^2 + (1-1)^2 + (1/2-1)^2} = \sqrt{(-1/2)^2+0^2+(-1/2)^2} = \sqrt{1/4+1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $MD = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (0-1/2)^2} = \sqrt{0^2+(-1)^2+(-1/2)^2} = \sqrt{1+1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Замечаем, что $DA_1 = \sqrt{2}$ и $NM = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а $A_1N = MD = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Проверим параллельность сторон $DA_1$ и $NM$: Вектор $\vec{DA_1} = (1,0,1)$. Вектор $\vec{NM} = (0-1/2, 1-1, 1/2-1) = (-1/2, 0, -1/2)$. Так как $\vec{DA_1} = -2 \vec{NM}$, то $DA_1$ параллелен $NM$. Следовательно, четырехугольник $DA_1NM$ является равнобедренной трапецией с основаниями $DA_1$ и $NM$.

Длины оснований: $b_1 = DA_1 = \sqrt{2}$, $b_2 = NM = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина боковой стороны: $c = MD = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Высота $h$ равнобедренной трапеции определяется по формуле: $h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{b_1-b_2}{2}\right)^2}$. Вычислим $\frac{b_1-b_2}{2}$: $\frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. Теперь вычислим высоту $h$: $h = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{10}{8} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$. $h = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h$. $S = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$. $S = \frac{3 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^2}{4 \cdot 4} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ:
Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$ или $1.125$ квадратных единиц.

53. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $BC, A_1 B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A$, середину ребра $BC$ (обозначим ее $M$), и середину ребра $A_1B_1$ (обозначим ее $N$).

Перевод в СИ:

Поскольку куб единичный, все измерения выражены в "единицах длины". Площадь будет в "единицах площади", поэтому дополнительного перевода в систему СИ не требуется.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1.Определение координат вершин куба и заданных точек.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Середина ребра $BC$, точка $M$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.

Середина ребра $A_1B_1$, точка $N$: $N = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 0, 1)$.

Сечение проходит через точки $A(0,0,0)$, $M(1, 0.5, 0)$, $N(0.5, 0, 1)$.

2.Нахождение уравнения плоскости сечения.

Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Поскольку плоскость проходит через $A(0,0,0)$, то $D=0$. Уравнение становится $Ax + By + Cz = 0$.

Подставим координаты точки $M(1, 0.5, 0)$: $A(1) + B(0.5) + C(0) = 0 \Rightarrow A + 0.5B = 0 \Rightarrow B = -2A$.

Подставим координаты точки $N(0.5, 0, 1)$: $A(0.5) + B(0) + C(1) = 0 \Rightarrow 0.5A + C = 0 \Rightarrow C = -0.5A$.

Для удобства выберем $A=2$. Тогда $B = -4$, $C = -1$.

Уравнение плоскости сечения: $2x - 4y - z = 0$.

3.Определение всех вершин сечения.

Найдем точки пересечения плоскости $2x - 4y - z = 0$ с ребрами куба:

• С ребрами, исходящими из $A$ (лежащими на осях координат):

  • Ребро $AB$ ($y=0, z=0$): $2x - 0 - 0 = 0 \Rightarrow x=0$. Это точка $A(0,0,0)$.

  • Ребро $AD$ ($x=0, z=0$): $0 - 4y - 0 = 0 \Rightarrow y=0$. Это точка $A(0,0,0)$.

  • Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$): $0 - 0 - z = 0 \Rightarrow z=0$. Это точка $A(0,0,0)$.

• С ребрами на грани $z=0$ (нижнее основание):

  • Ребро $BC$ ($x=1, z=0$): $2(1) - 4y - 0 = 0 \Rightarrow 2 - 4y = 0 \Rightarrow y = 0.5$. Это точка $M(1, 0.5, 0)$.

  • Ребро $CD$ ($y=1, z=0$): $2x - 4(1) - 0 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. Точка $(2,1,0)$ лежит вне куба ($0 \le x \le 1$).

• С ребрами на грани $x=1$ (правая грань $BB_1C_1C$):

  • Ребро $BB_1$ ($y=0, x=1$): $2(1) - 0 - z = 0 \Rightarrow z = 2$. Точка $(1,0,2)$ лежит вне куба ($0 \le z \le 1$).

  • Ребро $CC_1$ ($y=1, x=1$): $2(1) - 4(1) - z = 0 \Rightarrow -2 - z = 0 \Rightarrow z = -2$. Точка $(1,1,-2)$ лежит вне куба ($0 \le z \le 1$).

  • Ребро $B_1C_1$ ($z=1, x=1$): $2(1) - 4y - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 4y = 0 \Rightarrow y = 0.25$. Это точка $P(1, 0.25, 1)$.

• С ребрами на грани $z=1$ (верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$):

  • Ребро $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $2x - 0 - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0.5$. Это точка $N(0.5, 0, 1)$.

  • Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x - 4(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$. Точка $(2.5,1,1)$ лежит вне куба.

• С ребрами на грани $y=0$ (передняя грань $AA_1D_1D$):

  • Ребро $A_1D_1$ ($x=0, z=1$): $0 - 4y - 1 = 0 \Rightarrow y = -0.25$. Точка $(0,-0.25,1)$ лежит вне куба ($0 \le y \le 1$).

Таким образом, вершины сечения: $A(0,0,0)$, $M(1, 0.5, 0)$, $P(1, 0.25, 1)$, $N(0.5, 0, 1)$. Сечение является четырехугольником $AMNP$.

Для изображения сечения необходимо соединить эти точки: отрезок $AM$ лежит на нижней грани, $MP$ на правой грани, $PN$ на верхней грани, и $NA$ на передней грани куба.

4.Определение типа четырехугольника и расчет его площади.

Рассмотрим векторы сторон: $\vec{AM} = (1, 0.5, 0)$ и $\vec{NP} = (1-0.5, 0.25-0, 1-1) = (0.5, 0.25, 0)$.

Заметим, что $\vec{AM} = 2 \cdot \vec{NP}$. Это означает, что сторона $AM$ параллельна стороне $NP$. Следовательно, сечение $AMNP$ является трапецией с основаниями $AM$ и $NP$.

Длины оснований:

$AM = |\vec{AM}| = \sqrt{1^2 + (0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

$NP = |\vec{NP}| = \sqrt{(0.5)^2 + (0.25)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.0625} = \sqrt{0.3125} = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.

Для вычисления площади трапеции воспользуемся методом проекции. Площадь сечения $S$ связана с площадью ее проекции $S_{xy}$ на плоскость $xy$ по формуле $S = \frac{S_{xy}}{\cos \gamma}$, где $\gamma$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью $xy$.

Нормальный вектор плоскости сечения $2x - 4y - z = 0$ есть $\vec{n} = (2, -4, -1)$.

Модуль нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+16+1} = \sqrt{21}$.

Нормальный вектор к плоскости $xy$ есть $\vec{k} = (0,0,1)$.

Косинус угла $\gamma$: $\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|2 \cdot 0 + (-4) \cdot 0 + (-1) \cdot 1|}{\sqrt{21} \cdot 1} = \frac{|-1|}{\sqrt{21}} = \frac{1}{\sqrt{21}}$.

Проекции вершин сечения на плоскость $xy$:

$A'(0,0)$, $M'(1, 0.5)$, $P'(1, 0.25)$, $N'(0.5, 0)$.

Вычислим площадь проекции $A'N'P'M'$ с помощью формулы Гаусса (правило землемера). Вершины в порядке обхода: $A'(0,0)$, $N'(0.5,0)$, $P'(1, 0.25)$, $M'(1, 0.5)$.

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(x_{A'}y_{N'} + x_{N'}y_{P'} + x_{P'}y_{M'} + x_{M'}y_{A'}) - (y_{A'}x_{N'} + y_{N'}x_{P'} + y_{P'}x_{M'} + y_{M'}x_{A'})|$

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(0 \cdot 0 + 0.5 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0) - (0 \cdot 0.5 + 0 \cdot 1 + 0.25 \cdot 1 + 0.5 \cdot 0)|$

$S_{xy} = \frac{1}{2} |(0 + 0.125 + 0.5 + 0) - (0 + 0 + 0.25 + 0)|$

$S_{xy} = \frac{1}{2} |0.625 - 0.25| = \frac{1}{2} |0.375| = 0.1875$.

Площадь сечения $S = \frac{S_{xy}}{\cos \gamma} = \frac{0.1875}{1/\sqrt{21}} = 0.1875 \cdot \sqrt{21}$.

Переведем $0.1875$ в дробь: $0.1875 = \frac{1875}{10000} = \frac{3 \cdot 625}{16 \cdot 625} = \frac{3}{16}$.

Таким образом, $S = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$.

54. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A$ и середины ребер $CD$, $A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a=1$.
Сечение проходит через следующие точки:

• Вершина $A$.
• Середина ребра $CD$. Обозначим эту точку как $M_{CD}$.
• Середина ребра $A_1D_1$. Обозначим эту точку как $M_{A_1D_1}$.

Введем систему координат с началом в вершине $A(0,0,0)$, осью $Ox$ вдоль $AB$, осью $Oy$ вдоль $AD$ и осью $Oz$ вдоль $AA_1$.
Тогда координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

Координаты заданных точек сечения:

• $A(0,0,0)$
• $M_{CD}$: середина ребра $CD$. Координаты $C(1,1,0)$ и $D(0,1,0)$.
  $M_{CD} = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.
• $M_{A_1D_1}$: середина ребра $A_1D_1$. Координаты $A_1(0,0,1)$ и $D_1(0,1,1)$.
  $M_{A_1D_1} = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$.

Найти

• Изобразите сечение (описание сечения).
• Найдите его площадь.

Решение

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $M_{CD}(\frac{1}{2}, 1, 0)$ и $M_{A_1D_1}(0, \frac{1}{2}, 1)$.
Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.
Поскольку точка $A(0,0,0)$ лежит в плоскости, $A(0) + B(0) + C(0) + D = 0$, что означает $D=0$.
Уравнение плоскости упрощается до $Ax + By + Cz = 0$.

Подставим координаты точки $M_{CD}(\frac{1}{2}, 1, 0)$ в уравнение плоскости:
$A\left(\frac{1}{2}\right) + B(1) + C(0) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}A + B = 0 \Rightarrow B = -\frac{1}{2}A$.

Подставим координаты точки $M_{A_1D_1}(0, \frac{1}{2}, 1)$ в уравнение плоскости:
$A(0) + B\left(\frac{1}{2}\right) + C(1) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}B + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{1}{2}B$.

Теперь подставим выражение для $B$ в уравнение для $C$:
$C = -\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}A\right) = \frac{1}{4}A$.

Для удобства, выберем значение $A$. Пусть $A=4$. Тогда:
$B = -\frac{1}{2}(4) = -2$
$C = \frac{1}{4}(4) = 1$
Уравнение плоскости сечения: $4x - 2y + z = 0$.

Теперь найдем все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба.

• Ребро $AB$ (ось $Ox$, $y=0, z=0$): $4x - 2(0) + 0 = 0 \Rightarrow 4x=0 \Rightarrow x=0$. Это точка $A(0,0,0)$.
• Ребро $AD$ (ось $Oy$, $x=0, z=0$): $4(0) - 2y + 0 = 0 \Rightarrow -2y=0 \Rightarrow y=0$. Это точка $A(0,0,0)$.
• Ребро $AA_1$ (ось $Oz$, $x=0, y=0$): $4(0) - 2(0) + z = 0 \Rightarrow z=0$. Это точка $A(0,0,0)$.
• Ребро $CD$ ($y=1, z=0$): $4x - 2(1) + 0 = 0 \Rightarrow 4x-2=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Это точка $M_{CD}(\frac{1}{2}, 1, 0)$, как и было дано.
• Ребро $A_1D_1$ ($x=0, z=1$): $4(0) - 2y + 1 = 0 \Rightarrow -2y+1=0 \Rightarrow y=\frac{1}{2}$. Это точка $M_{A_1D_1}(0, \frac{1}{2}, 1)$, как и было дано.
• Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $4x - 2(1) + 1 = 0 \Rightarrow 4x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{4}$. Эта точка $P_{C_1D_1}(\frac{1}{4}, 1, 1)$ является новой точкой сечения.
• Для остальных ребер (например, $BC$ ($x=1, z=0$): $4(1) - 2y + 0 = 0 \Rightarrow y=2$, что вне диапазона $[0,1]$) пересечений с плоскостью в пределах ребра нет.

Изобразите сечение

Сечение является многоугольником, вершинами которого являются найденные точки пересечения плоскости с ребрами куба. Эти точки: $A(0,0,0)$, $M_{CD}(\frac{1}{2}, 1, 0)$, $P_{C_1D_1}(\frac{1}{4}, 1, 1)$, и $M_{A_1D_1}(0, \frac{1}{2}, 1)$.
Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $A M_{CD} P_{C_1D_1} M_{A_1D_1}$.

Для визуализации сечения:

1. Отметьте вершину $A$.
2. Найдите середину $M_{CD}$ ребра $CD$. Отрезок $AM_{CD}$ лежит на нижней грани $ABCD$.
3. Найдите середину $M_{A_1D_1}$ ребра $A_1D_1$. Отрезок $AM_{A_1D_1}$ лежит на боковой грани $ADD_1A_1$.
4. Найдите точку $P_{C_1D_1}$ на ребре $C_1D_1$ (она находится на расстоянии $1/4$ от $D_1$ или $3/4$ от $C_1$). Отрезок $M_{CD}P_{C_1D_1}$ лежит на задней грани $CDD_1C_1$.
5. Отрезок $P_{C_1D_1}M_{A_1D_1}$ лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

Соединив эти точки в указанном порядке ($A \to M_{CD} \to P_{C_1D_1} \to M_{A_1D_1} \to A$), получим искомый четырехугольник.

Ответ: Сечение является четырехугольником $A M_{CD} P_{C_1D_1} M_{A_1D_1}$, где $M_{CD}$ - середина ребра $CD$, $M_{A_1D_1}$ - середина ребра $A_1D_1$, а $P_{C_1D_1}$ - точка на ребре $C_1D_1$ с координатами $(\frac{1}{4}, 1, 1)$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади четырехугольника $A M_{CD} P_{C_1D_1} M_{A_1D_1}$ с вершинами $V_1=A(0,0,0)$, $V_2=M_{CD}(\frac{1}{2}, 1, 0)$, $V_3=P_{C_1D_1}(\frac{1}{4}, 1, 1)$ и $V_4=M_{A_1D_1}(0, \frac{1}{2}, 1)$, разделим его на два треугольника: $V_1V_2V_3$ и $V_1V_3V_4$. Площадь каждого треугольника можно найти как половину модуля векторного произведения двух его сторон.

1. Площадь треугольника $V_1V_2V_3$ (треугольник $A M_{CD} P_{C_1D_1}$):
Векторы, исходящие из вершины $A$ ($V_1$):
$\vec{V_1V_2} = \vec{AM_{CD}} = (\frac{1}{2}, 1, 0)$
$\vec{V_1V_3} = \vec{AP_{C_1D_1}} = (\frac{1}{4}, 1, 1)$
Векторное произведение $\vec{N_1} = \vec{V_1V_2} \times \vec{V_1V_3}$:

$\vec{N_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{1}{4} & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{4}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{4})$

$\vec{N_1} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \left(1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$.

2. Площадь треугольника $V_1V_3V_4$ (треугольник $A P_{C_1D_1} M_{A_1D_1}$):
Векторы, исходящие из вершины $A$ ($V_1$):
$\vec{V_1V_3} = \vec{AP_{C_1D_1}} = (\frac{1}{4}, 1, 1)$
$\vec{V_1V_4} = \vec{AM_{A_1D_1}} = (0, \frac{1}{2}, 1)$
Векторное произведение $\vec{N_2} = \vec{V_1V_3} \times \vec{V_1V_4}$:

$\vec{N_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{4} & 1 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}) - \mathbf{j}(\frac{1}{4} \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot 0)$

$\vec{N_2} = \mathbf{i}(1 - \frac{1}{2}) - \mathbf{j}(\frac{1}{4}) + \mathbf{k}(\frac{1}{8}) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}\right)$.

Общая площадь сечения $S$ равна сумме площадей этих двух треугольников:
$S = S_{V_1V_2V_3} + S_{V_1V_3V_4} = \frac{\sqrt{21}}{8} + \frac{\sqrt{21}}{16} = \frac{2\sqrt{21}}{16} + \frac{\sqrt{21}}{16} = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$.