Номер 51, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

51. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $D$, $A_1$ и середину ребра $BC$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (сторона $a=1$).
Сечение проходит через вершины $D$, $A_1$ и середину ребра $BC$.

Перевод в СИ:
Поскольку куб является единичным, его ребро равно $a=1$ условной единице длины. Перевод в систему СИ не требуется, так как ответ будет также в условных единицах площади.

Найти:
1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение:

Изобразить сечение:
Пусть вершина $D$ куба находится в начале координат, т.е. $D=(0,0,0)$. Так как куб единичный, длины его ребер равны 1. Координаты вершин куба: $D=(0,0,0)$
$A=(1,0,0)$
$C=(0,1,0)$
$B=(1,1,0)$
$D_1=(0,0,1)$
$A_1=(1,0,1)$
$C_1=(0,1,1)$
$B_1=(1,1,1)$

Пусть $M$ - середина ребра $BC$. Координаты $B=(1,1,0)$ и $C=(0,1,0)$. Следовательно, $M = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.

Сечение проходит через точки $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$ и $M(1/2,1,0)$. Для определения полного сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{DA_1} = A_1 - D = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$
$\vec{DM} = M - D = (1/2-0, 1-0, 0-0) = (1/2,1,0)$ Нормальный вектор к плоскости $\vec{n}$ перпендикулярен этим двум векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{DA_1} \times \vec{DM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1/2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-1) - \mathbf{j}(0-1/2) + \mathbf{k}(1-0) = (-1, 1/2, 1)$. Для удобства умножим нормальный вектор на $-2$, чтобы получить целые коэффициенты: $\vec{n} = (2, -1, -2)$. Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz=0$ (так как плоскость проходит через начало координат $D(0,0,0)$). Следовательно, $2x - y - 2z = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, кроме уже известных $D$, $A_1$, $M$. 1. Пересечение с ребром $BB_1$: $x=1, y=1, z \in [0,1]$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) - 1 - 2z = 0 \Rightarrow 1 - 2z = 0 \Rightarrow 2z = 1 \Rightarrow z = 1/2$. Получаем точку $N(1,1,1/2)$. Эта точка лежит на ребре $BB_1$, так как $0 \le 1/2 \le 1$. 2. Путем проверки других ребер убеждаемся, что других точек пересечения с ребрами, кроме $D$, $A_1$, $M$, $N$, нет в пределах куба.

Таким образом, сечение является четырехугольником $DMA_1N$ с вершинами: $D=(0,0,0)$
$M=(1/2,1,0)$
$N=(1,1,1/2)$
$A_1=(1,0,1)$ Чтобы изобразить сечение, следует соединить эти вершины в следующем порядке: $D$ с $M$ (на нижней грани $ABCD$), $M$ с $N$ (на грани $BCC_1B_1$), $N$ с $A_1$ (на грани $ABB_1A_1$), и $A_1$ с $D$ (на грани $ADD_1A_1$). На чертеже куба это будет выглядеть как четырехугольник, пересекающий соответствующие грани.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $DMA_1N$.

Найти его площадь:
Площадь четырехугольника $DMA_1N$ можно найти, разбив его на два треугольника, например, $DMA_1$ и $MA_1N$, и сложив их площади. Площадь треугольника, образованного векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, равна $\frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$.

1. Площадь треугольника $DMA_1$: Векторы: $\vec{DM} = (1/2, 1, 0)$ и $\vec{DA_1} = (1, 0, 1)$. Векторное произведение: $\vec{DM} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1-0) - \mathbf{j}(1/2-0) + \mathbf{k}(0-1) = (1, -1/2, -1)$. Модуль векторного произведения: $|\vec{DM} \times \vec{DA_1}| = \sqrt{1^2 + (-1/2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1/4 + 1} = \sqrt{9/4} = 3/2$. Площадь $S_{DMA_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

2. Площадь треугольника $MA_1N$: Векторы: $\vec{A_1M} = M - A_1 = (1/2-1, 1-0, 0-1) = (-1/2, 1, -1)$ и $\vec{A_1N} = N - A_1 = (1-1, 1-0, 1/2-1) = (0, 1, -1/2)$. Векторное произведение: $\vec{A_1M} \times \vec{A_1N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1/2 - (-1)) - \mathbf{j}(1/4 - 0) + \mathbf{k}(-1/2 - 0) = (1/2, -1/4, -1/2)$. Модуль векторного произведения: $|\vec{A_1M} \times \vec{A_1N}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-1/4)^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/16 + 1/4} = \sqrt{4/16 + 1/16 + 4/16} = \sqrt{9/16} = 3/4$. Площадь $S_{MA_1N} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Общая площадь сечения $S = S_{DMA_1} + S_{MA_1N} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Альтернативный способ (через проекцию): Проекция четырехугольника $DMA_1N$ на координатную плоскость $xy$ будет иметь вершины: $D'=(0,0)$
$M'=(1/2,1)$
$N'=(1,1)$
$A_1'=(1,0)$ Это трапеция с параллельными сторонами $D'A_1'$ (лежащей на оси $x$) и $M'N'$ (лежащей на линии $y=1$). Длина стороны $D'A_1' = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2} = 1$. Длина стороны $M'N' = \sqrt{(1-1/2)^2 + (1-1)^2} = 1/2$. Высота трапеции $h = 1$ (расстояние между линиями $y=0$ и $y=1$). Площадь проекции $S_{xy} = \frac{1}{2} (|D'A_1'| + |M'N'|) h = \frac{1}{2} (1 + 1/2) \cdot 1 = \frac{1}{2} (3/2) = 3/4$. Угол $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ определяется косинусом угла между их нормальными векторами. Нормаль к плоскости $xy$ это $\vec{k}=(0,0,1)$. Нормаль к плоскости сечения $\vec{n}=(2,-1,-2)$. $\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|} = \frac{|2 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + (-2) \cdot 1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{4+1+4} \cdot \sqrt{1}} = \frac{2}{\sqrt{9} \cdot 1} = \frac{2}{3}$. Площадь сечения $S = \frac{S_{xy}}{\cos \gamma} = \frac{3/4}{2/3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.