Номер 50, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

50. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины A, $D_1$ и середину ребра BC. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $D_1$ и середину ребра $BC$. Обозначим середину ребра $BC$ как $M$.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение

Для удобства введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты других вершин куба (с ребром $a=1$) будут:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $C=(1,1,0)$
• $D=(0,1,0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $C_1=(1,1,1)$
• $D_1=(0,1,1)$

Данные точки сечения:

• Вершина $A = (0,0,0)$
• Вершина $D_1 = (0,1,1)$
• Середина ребра $BC$: $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0.5, 0)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $D_1(0,1,1)$ и $M(1,0.5,0)$.

Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Так как плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, то $D=0$. Уравнение примет вид: $Ax + By + Cz = 0$.

Подставим координаты точки $D_1(0,1,1)$:

$A(0) + B(1) + C(1) = 0 \Rightarrow B + C = 0 \Rightarrow B = -C$.

Подставим координаты точки $M(1,0.5,0)$:

$A(1) + B(0.5) + C(0) = 0 \Rightarrow A + 0.5B = 0 \Rightarrow A = -0.5B$.

Подставим $B=-C$ в выражение для $A$: $A = -0.5(-C) = 0.5C$.

Примем $C=2$ (для удобства, чтобы избавиться от дробей). Тогда $B=-2$ и $A=1$.

Уравнение плоскости сечения: $x - 2y + 2z = 0$.

Теперь найдем все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Точки $A(0,0,0)$, $D_1(0,1,1)$, $M(1,0.5,0)$ уже найдены и являются вершинами сечения.
• Рассмотрим ребро $CC_1$. Координаты точек на этом ребре имеют вид $(1,1,z)$ для $0 \le z \le 1$.

Подставим в уравнение плоскости: $1 - 2(1) + 2z = 0 \Rightarrow 1 - 2 + 2z = 0 \Rightarrow -1 + 2z = 0 \Rightarrow 2z = 1 \Rightarrow z = 0.5$.

Получаем точку $P_1 = (1,1,0.5)$. Эта точка лежит на ребре $CC_1$ (является его серединой).

Таким образом, сечение является четырехугольником с вершинами $A(0,0,0)$, $M(1,0.5,0)$, $P_1(1,1,0.5)$ и $D_1(0,1,1)$.

Изобразите сечение:

Для изображения сечения необходимо нарисовать единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Затем отметить следующие точки:

• Вершина $A$.
• Вершина $D_1$.
• Точка $M$ на ребре $BC$, которая является его серединой.
• Точка $P_1$ на ребре $CC_1$, которая является его серединой.

Соединить эти точки последовательно: $A-M-P_1-D_1-A$. Полученный четырехугольник $AMP_1D_1$ является искомым сечением. Его стороны лежат на гранях куба: $AM$ на грани $ABCD$, $MP_1$ на грани $BCC_1B_1$, $P_1D_1$ на грани $CDD_1C_1$, и $D_1A$ на грани $ADD_1A_1$.

Найдите его площадь:

Площадь четырехугольника $AMP_1D_1$ можно найти, разбив его на два треугольника. Возьмем диагональ $AD_1$ (или $AP_1$) и вычислим площади $\triangle AMD_1$ и $\triangle MP_1D_1$ (или $\triangle AP_1M$ и $\triangle AP_1D_1$) с помощью векторного произведения.

Рассмотрим $\triangle AMD_1$:

Векторы сторон: $\vec{AM} = M - A = (1, 0.5, 0)$, $\vec{AD_1} = D_1 - A = (0, 1, 1)$.

Площадь треугольника $S_{\triangle AMD_1} = \frac{1}{2} |\vec{AM} \times \vec{AD_1}|$.

Векторное произведение: $\vec{AM} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0) = (0.5, -1, 1)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{AM} \times \vec{AD_1}| = \sqrt{(0.5)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1 + 1} = \sqrt{2.25} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Площадь $\triangle AMD_1$: $S_{\triangle AMD_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

Рассмотрим $\triangle MP_1D_1$:

Векторы сторон: $\vec{MP_1} = P_1 - M = (1-1, 1-0.5, 0.5-0) = (0, 0.5, 0.5)$.

$\vec{MD_1} = D_1 - M = (0-1, 1-0.5, 1-0) = (-1, 0.5, 1)$.

Площадь треугольника $S_{\triangle MP_1D_1} = \frac{1}{2} |\vec{MP_1} \times \vec{MD_1}|$.

Векторное произведение: $\vec{MP_1} \times \vec{MD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0.5 & 0.5 \\ -1 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0.5 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot (-1))$

$= \mathbf{i}(0.5 - 0.25) - \mathbf{j}(0.5) + \mathbf{k}(0.5) = (0.25, -0.5, 0.5)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{MP_1} \times \vec{MD_1}| = \sqrt{(0.25)^2 + (-0.5)^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.0625 + 0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5625} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.

Площадь $\triangle MP_1D_1$: $S_{\triangle MP_1D_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Общая площадь сечения $S = S_{\triangle AMD_1} + S_{\triangle MP_1D_1} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $ \frac{9}{8} $.