Номер 48, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

48. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $C, B_1$ и середину ребра $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a=1$.Сечение проходит через вершины $C$, $B_1$ и середину ребра $DD_1$, обозначим эту точку $M$.

(Перевод в систему СИ не требуется, так как куб единичный, то есть его ребро равно 1 условной единице длины.)

Найти:

1. Описание сечения.2. Площадь сечения.

Решение

Для удобства введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребра куба направлены вдоль осей координат. Тогда координаты вершин куба:$A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$
$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$

Заданные точки, через которые проходит сечение:

• Вершина $C=(1,1,0)$.
• Вершина $B_1=(1,0,1)$.
• Середина ребра $DD_1$: $D=(0,1,0)$, $D_1=(0,1,1)$. Координаты точки $M$ как середины отрезка $DD_1$ будут: $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

Три точки $C$, $B_1$, $M$ не лежат на одной прямой, поэтому они однозначно определяют плоскость, которая пересекает куб, образуя искомое сечение.

Изобразите сечение

Сечением является треугольник $MCB_1$.
Вершина $C=(1,1,0)$ лежит на нижнем основании куба $ABCD$.
Вершина $B_1=(1,0,1)$ лежит на верхнем основании куба $A_1B_1C_1D_1$.
Точка $M=(0,1,0.5)$ является серединой ребра $DD_1$, которое соединяет нижнее основание с верхним.
Отрезок $CM$ соединяет точку $M(0,1,0.5)$ с точкой $C(1,1,0)$. Обе эти точки имеют координату $y=1$, следовательно, отрезок $CM$ лежит в задней грани куба $DCC_1D_1$.
Отрезок $CB_1$ соединяет точку $C(1,1,0)$ с точкой $B_1(1,0,1)$. Обе эти точки имеют координату $x=1$, следовательно, отрезок $CB_1$ лежит в правой грани куба $BCC_1B_1$.
Отрезок $MB_1$ соединяет точку $M(0,1,0.5)$ с точкой $B_1(1,0,1)$ и проходит через внутреннюю часть куба.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $MCB_1$, где $M$ – середина $DD_1$, $C$ – вершина куба, $B_1$ – вершина куба. Стороны $CM$ и $CB_1$ лежат на гранях куба, а сторона $MB_1$ проходит через его внутреннюю часть.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади треугольника $MCB_1$ воспользуемся формулой площади треугольника через векторное произведение. Площадь $S$ треугольника, построенного на векторах $\vec{u}$ и $\vec{v}$, равна $S = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$.
Возьмем два вектора, исходящие из одной вершины треугольника, например, из вершины $C$:
Вектор $\vec{CM} = M - C = (0,1,0.5) - (1,1,0) = (-1, 0, 0.5)$.
Вектор $\vec{CB_1} = B_1 - C = (1,0,1) - (1,1,0) = (0, -1, 1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{CM} \times \vec{CB_1}$:
$\vec{CM} \times \vec{CB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0.5 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$ = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0.5 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0)$
$ = \mathbf{i}(0.5) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(1)$
$ = (0.5, 1, 1)$

Найдем модуль полученного вектора:
$|\vec{CM} \times \vec{CB_1}| = \sqrt{(0.5)^2 + 1^2 + 1^2}$
$ = \sqrt{0.25 + 1 + 1}$
$ = \sqrt{2.25}$
$ = \sqrt{\frac{9}{4}}$
$ = \frac{3}{2}$

Теперь вычислим площадь сечения:
$S = \frac{1}{2} |\vec{CM} \times \vec{CB_1}|$
$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$
$S = \frac{3}{4}$

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3}{4}$ квадратных единиц.