Номер 41, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

41. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $C$, $D_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a=1$.

Сечение проходит через вершины $C$, $D_1$ и середину ребра $AB$, которую обозначим как $M$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для определения сечения и его площади используем метод координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежали соответственно на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$.

Тогда координаты вершин куба (при длине ребра $a=1$):$A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$

Заданные точки сечения:1. Вершина $C=(1,1,0)$.2. Вершина $D_1=(0,1,1)$.3. Середина ребра $AB$. Так как $A=(0,0,0)$ и $B=(1,0,0)$, середина $M$ имеет координаты $(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2},0,0)$.

Для нахождения полного сечения, определим уравнение плоскости, проходящей через точки $M(\frac{1}{2},0,0)$, $C(1,1,0)$, $D_1(0,1,1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:$\vec{MC} = C - M = (1 - \frac{1}{2}, 1 - 0, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, 1, 0)$$\vec{MD_1} = D_1 - M = (0 - \frac{1}{2}, 1 - 0, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, 1, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{MC}$ и $\vec{MD_1}$:$\vec{n} = \vec{MC} \times \vec{MD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot (-\frac{1}{2})) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = (1, -\frac{1}{2}, 1)$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя нормальный вектор $(1, -\frac{1}{2}, 1)$ и точку $M(\frac{1}{2},0,0)$:$1(x - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}(y - 0) + 1(z - 0) = 0$$x - \frac{1}{2} - \frac{y}{2} + z = 0$Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: $2x - y + 2z - 1 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Мы уже знаем три точки: $M$, $C$, $D_1$.1. Ребро $AB$: $y=0, z=0$. Подставим в уравнение плоскости: $2x - 0 + 0 - 1 = 0 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Это точка $M(\frac{1}{2},0,0)$.2. Ребро $BC$: $x=1, z=0$. Подставим: $2(1) - y + 0 - 1 = 0 \Rightarrow 1-y=0 \Rightarrow y=1$. Это точка $C(1,1,0)$.3. Ребро $DD_1$: $x=0, y=1$. Подставим: $2(0) - 1 + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2z=2 \Rightarrow z=1$. Это точка $D_1(0,1,1)$.4. Ребро $AA_1$: $x=0, y=0$. Подставим: $2(0) - 0 + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2z=1 \Rightarrow z=\frac{1}{2}$. Получаем новую точку $P(0,0,\frac{1}{2})$.

Другие ребра куба не пересекаются с данной плоскостью внутри своих отрезков.

Таким образом, сечение является четырехугольником $MCD_1P$ с вершинами:$M(\frac{1}{2},0,0)$$C(1,1,0)$$D_1(0,1,1)$$P(0,0,\frac{1}{2})$

Вычислим длины сторон этого четырехугольника:$MC = \sqrt{(1 - \frac{1}{2})^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$CD_1 = \sqrt{(0 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$D_1P = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 1)^2 + (\frac{1}{2} - 1)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$PM = \sqrt{(\frac{1}{2} - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - \frac{1}{2})^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Сравним векторы сторон $PM$ и $CD_1$:$\vec{PM} = M - P = (\frac{1}{2} - 0, 0 - 0, 0 - \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2})$$\vec{D_1C} = C - D_1 = (1 - 0, 1 - 1, 0 - 1) = (1, 0, -1)$Замечаем, что $\vec{D_1C} = 2 \cdot \vec{PM}$. Это означает, что стороны $PM$ и $D_1C$ параллельны.Таким образом, четырехугольник $MCD_1P$ является трапецией с параллельными основаниями $PM$ и $D_1C$.Длины непараллельных сторон $MC = \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $D_1P = \frac{\sqrt{5}}{2}$ равны, следовательно, это равнобедренная трапеция.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} h$, где $b_1$ и $b_2$ - длины оснований, $h$ - высота.

Основания трапеции: $b_1 = PM = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $b_2 = CD_1 = \sqrt{2}$.

Высоту $h$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и половиной разности оснований.Длина боковой стороны $l = MC = \frac{\sqrt{5}}{2}$.Разность оснований $b_2 - b_1 = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Половина разности оснований $x = \frac{b_2 - b_1}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

По теореме Пифагора: $h^2 = l^2 - x^2$$h^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

Площадь сечения $S$:$S = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$.