Номер 43, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

43. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $D, C_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершины $D$, $C_1$ и середину ребра $AB$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

1. Изобразить сечение.

2. Найти площадь сечения.

Решение

Изображение сечения

Для удобства введем систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$. Тогда вершины куба будут:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Заданные точки:

Вершина $D(0,1,0)$.

Вершина $C_1(1,1,1)$.

Середина ребра $AB$. Обозначим ее $M$. Координаты точки $M$ находятся как среднее арифметическое координат $A$ и $B$: $M = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0.5,0,0)$.

Обозначим сечение плоскостью $\mathcal{P}$. Плоскость $\mathcal{P}$ проходит через точки $D(0,1,0)$, $C_1(1,1,1)$, и $M(0.5,0,0)$.

Найдем уравнение плоскости $\mathcal{P}: Ax+By+Cz=D_0$.

Подставим координаты точек в уравнение плоскости:

1. Для точки $D(0,1,0)$: $A(0)+B(1)+C(0)=D_0 \implies B=D_0$.

2. Для точки $M(0.5,0,0)$: $A(0.5)+B(0)+C(0)=D_0 \implies 0.5A=D_0 \implies A=2D_0$.

3. Для точки $C_1(1,1,1)$: $A(1)+B(1)+C(1)=D_0 \implies A+B+C=D_0$.

Подставим $A=2D_0$ и $B=D_0$ в третье уравнение:

$2D_0+D_0+C=D_0 \implies 3D_0+C=D_0 \implies C=-2D_0$.

Если выбрать $D_0=1$ (можно выбрать любое ненулевое значение), то $A=2, B=1, C=-2$.

Уравнение плоскости, проходящей через заданные точки: $2x+y-2z=1$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба (отрезками, лежащими между $0$ и $1$ по каждой координате):

• С ребром $AB$ ($y=0, z=0$): $2x=1 \implies x=0.5$. Это точка $M(0.5,0,0)$.
• С ребром $AD$ ($x=0, z=0$): $y=1$. Это точка $D(0,1,0)$.
• С ребром $CD$ ($y=1, z=0$): $2x+1=1 \implies x=0$. Это также точка $D(0,1,0)$.
• С ребром $AA_1$ ($x=0, y=0$): $-2z=1 \implies z=-0.5$. Пересечения нет, так как $z \notin [0,1]$.
• С ребром $BB_1$ ($x=1, y=0$): $2(1)+0-2z=1 \implies 2-2z=1 \implies 2z=1 \implies z=0.5$. Обозначим эту точку $K(1,0,0.5)$.
• С ребром $CC_1$ ($x=1, y=1$): $2(1)+1-2z=1 \implies 3-2z=1 \implies 2z=2 \implies z=1$. Это точка $C_1(1,1,1)$.
• С ребром $DD_1$ ($x=0, y=1$): $0+1-2z=1 \implies 2z=0 \implies z=0$. Это также точка $D(0,1,0)$.

Таким образом, вершины сечения: $M(0.5,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C_1(1,1,1)$, $K(1,0,0.5)$.

Сечение представляет собой четырехугольник $MDKC_1$.

Для изображения сечения, соединяем полученные точки на соответствующих гранях:

• Отрезок $MD$ лежит на нижней грани $ABCD$.
• Отрезок $DC_1$ лежит на задней грани $DCC_1D_1$.
• Отрезок $C_1K$ лежит на правой грани $BCC_1B_1$.
• Отрезок $KM$ лежит на передней грани $ABB_1A_1$.

(Примечание: Изображение не может быть сгенерировано в текстовом формате. Здесь должно быть визуальное представление куба с указанным сечением $MDKC_1$.)

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $MDKC_1$.

Найдите его площадь

Площадь четырехугольника $MDKC_1$ можно найти, разбив его на два треугольника одной из диагоналей, например, $MC_1$. Тогда площадь сечения будет равна сумме площадей треугольников $MDC_1$ и $MKC_1$.

Координаты вершин: $M(0.5,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C_1(1,1,1)$, $K(1,0,0.5)$.

Площадь треугольника $MDC_1$:

Найдем векторы, исходящие из общей вершины $M$:

$\vec{MD} = D - M = (0-0.5, 1-0, 0-0) = (-0.5, 1, 0)$

$\vec{MC_1} = C_1 - M = (1-0.5, 1-0, 1-0) = (0.5, 1, 1)$

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

$\vec{MD} \times \vec{MC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -0.5 & 1 & 0 \\ 0.5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(-0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(-0.5 \cdot 1 - 1 \cdot 0.5)$

$= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-0.5) + \mathbf{k}(-0.5-0.5) = (1, 0.5, -1)$.

Площадь $S_{MDC_1} = \frac{1}{2} ||(1, 0.5, -1)|| = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + (0.5)^2 + (-1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + 0.25 + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{2.25} = \frac{1}{2} \cdot 1.5 = 0.75$.

В дробном виде: $S_{MDC_1} = \frac{3}{4}$.

Площадь треугольника $MKC_1$:

Найдем векторы, исходящие из общей вершины $M$:

$\vec{MK} = K - M = (1-0.5, 0-0, 0.5-0) = (0.5, 0, 0.5)$.

$\vec{MC_1} = C_1 - M = (0.5, 1, 1)$ (уже вычислен ранее).

Площадь треугольника $S_{MKC_1} = \frac{1}{2} ||\vec{MK} \times \vec{MC_1}||$:

$\vec{MK} \times \vec{MC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.5 & 0 & 0.5 \\ 0.5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0.5 \cdot 1) - \mathbf{j}(0.5 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5)$

$= \mathbf{i}(-0.5) - \mathbf{j}(0.5 - 0.25) + \mathbf{k}(0.5) = (-0.5, -0.25, 0.5)$.

Площадь $S_{MKC_1} = \frac{1}{2} ||(-0.5, -0.25, 0.5)|| = \frac{1}{2} \sqrt{(-0.5)^2 + (-0.25)^2 + 0.5^2} = \frac{1}{2} \sqrt{0.25 + 0.0625 + 0.25} = \frac{1}{2} \sqrt{0.5625}$.

Так как $\sqrt{0.5625} = 0.75$, то Площадь $S_{MKC_1} = \frac{1}{2} \cdot 0.75 = 0.375$.

В дробном виде: $S_{MKC_1} = \frac{3}{8}$.

Диагонали $MC_1$ и $DK$ пересекаются внутри четырехугольника, что свидетельствует о его выпуклости. Поэтому общая площадь сечения равна сумме площадей двух треугольников:

$S_{MDKC_1} = S_{MDC_1} + S_{MKC_1} = 0.75 + 0.375 = 1.125$.

В дробном виде: $S_{MDKC_1} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Альтернативный метод (метод проекций):

Нормальный вектор к плоскости сечения $2x+y-2z=1$ есть $\vec{N} = (2,1,-2)$. Его модуль $||\vec{N}|| = \sqrt{2^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.

Косинус угла $\theta$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ (на которой лежит проекция) равен $|\frac{\vec{N} \cdot \vec{k}}{||\vec{N}|| \cdot ||\vec{k}||}|$, где $\vec{k}=(0,0,1)$ - нормаль к плоскости $xy$.

$\cos \theta = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 1|}{3 \cdot 1} = \frac{|-2|}{3} = \frac{2}{3}$.

Проекция сечения на плоскость $xy$ - это четырехугольник $M'D'C_1'K'$ с координатами вершин:

$M'(0.5,0)$, $D'(0,1)$, $C_1'(1,1)$, $K'(1,0)$.

Этот четырехугольник является трапецией. Параллельные стороны - это отрезки $M'K'$ (длиной $1-0.5=0.5$) и $D'C_1'$ (длиной $1-0=1$). Высота трапеции - расстояние между линиями $y=0$ и $y=1$, то есть $1$.

Площадь проекции $S_{проект} = \frac{1}{2} (\text{длина } M'K' + \text{длина } D'C_1') \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} (0.5+1) \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot 1.5 = 0.75$.

Площадь сечения $S_{сеч} = \frac{S_{проект}}{\cos \theta} = \frac{0.75}{2/3} = \frac{3/4}{2/3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: Площадь сечения равна $1.125$ или $\frac{9}{8}$.