Номер 44, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

44. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $D$, $C_1$ и середину ребра $AA_1$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Сечение проходит через вершины $D$, $C_1$ и середину ребра $AA_1$.

Перевод в СИ:
Для единичного куба длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:
Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $D$, $C_1$ и середину ребра $AA_1$.

Обозначим координаты вершин куба следующим образом, пусть $A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$, $A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1,1,1)$, $D_1 = (0,1,1)$. Длина ребра куба $a = 1$.

Заданные точки сечения:

• Вершина $D = (0,1,0)$.

• Вершина $C_1 = (1,1,1)$.

• Середина ребра $AA_1$. Так как $A=(0,0,0)$ и $A_1=(0,0,1)$, то $M = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0,0,0.5)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $D(0,1,0)$, $C_1(1,1,1)$ и $M(0,0,0.5)$. Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+E=0$. Подставим координаты точек:

• Для $D(0,1,0)$: $A(0)+B(1)+C(0)+E=0 \Rightarrow B+E=0 \Rightarrow E=-B$.

• Для $C_1(1,1,1)$: $A(1)+B(1)+C(1)+E=0 \Rightarrow A+B+C+E=0$. Подставим $E=-B$: $A+B+C-B=0 \Rightarrow A+C=0 \Rightarrow C=-A$.

• Для $M(0,0,0.5)$: $A(0)+B(0)+C(0.5)+E=0 \Rightarrow 0.5C+E=0$. Подставим $E=-B$: $0.5C-B=0 \Rightarrow B=0.5C$.

Выразим $B$ и $E$ через $A$:

• $C=-A$

• $B=0.5C = 0.5(-A) = -0.5A$

• $E=-B = -(-0.5A) = 0.5A$

Подставим $A, B, C, E$ в уравнение плоскости $Ax+By+Cz+E=0$: $Ax + (-0.5A)y + (-A)z + 0.5A = 0$. Разделим на $A$ (предполагая $A \ne 0$): $x - 0.5y - z + 0.5 = 0$. Умножим на 2 для удобства: $2x - y - 2z + 1 = 0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• С ребром $AA_1$ (прямая $x=0, y=0$, $0 \le z \le 1$): $2(0)-0-2z+1=0 \Rightarrow -2z+1=0 \Rightarrow z=0.5$. Это точка $M(0,0,0.5)$.

• С ребром $CC_1$ (прямая $x=1, y=1$, $0 \le z \le 1$): $2(1)-1-2z+1=0 \Rightarrow 2-2z=0 \Rightarrow z=1$. Это точка $C_1(1,1,1)$.

• С ребром $DD_1$ (прямая $x=0, y=1$, $0 \le z \le 1$): $2(0)-1-2z+1=0 \Rightarrow -2z=0 \Rightarrow z=0$. Это точка $D(0,1,0)$.

• С ребром $A_1B_1$ (прямая $y=0, z=1$, $0 \le x \le 1$): $2x-0-2(1)+1=0 \Rightarrow 2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$. Это точка $N(0.5,0,1)$, которая является серединой ребра $A_1B_1$.

• Других точек пересечения с ребрами куба нет (например, с $BB_1$: $2(1)-0-2z+1=0 \Rightarrow z=1.5$, что за пределами ребра).

Таким образом, сечение является четырехугольником $DMNC_1$ с вершинами:

• $D(0,1,0)$

• $M(0,0,0.5)$ - середина ребра $AA_1$

• $N(0.5,0,1)$ - середина ребра $A_1B_1$

• $C_1(1,1,1)$

Ребра сечения:

• $DM$ (лежит на грани $ADD_1A_1$)

• $MN$ (лежит на грани $AA_1B_1B$)

• $NC_1$ (лежит на грани $A_1B_1C_1D_1$)

• $C_1D$ (лежит на грани $CDD_1C_1$)

Для изображения необходимо нарисовать куб и отметить эти четыре точки ($D, M, N, C_1$), а затем соединить их отрезками.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $DMNC_1$, где $M$ - середина $AA_1$, $N$ - середина $A_1B_1$.

Найдите его площадь.

Вычислим длины сторон четырехугольника $DMNC_1$:

• $DM = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0.5^2} = \sqrt{0 + 1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

• $MN = \sqrt{(0.5-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.25 + 0 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• $NC_1 = \sqrt{(1-0.5)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 1 + 0} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

• $C_1D = \sqrt{(0-1)^2 + (1-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Мы видим, что $DM = NC_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Проверим параллельность сторон:

• Вектор $\vec{MN} = (0.5-0, 0-0, 1-0.5) = (0.5, 0, 0.5)$.

• Вектор $\vec{DC_1} = (1-0, 1-1, 1-0) = (1, 0, 1)$.

Так как $\vec{DC_1} = 2 \cdot \vec{MN}$, то стороны $MN$ и $DC_1$ параллельны. Следовательно, четырехугольник $DMNC_1$ является равнобедренной трапецией с основаниями $MN$ и $DC_1$ и боковыми сторонами $DM$ и $NC_1$.

Длины оснований: $b_1 = MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $b_2 = DC_1 = \sqrt{2}$. Длина боковой стороны: $c = DM = NC_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h$, где $h$ - высота трапеции. Для равнобедренной трапеции высота $h$ может быть найдена по теореме Пифагора, используя проекцию боковой стороны на основание: $h^2 + \left(\frac{b_2-b_1}{2}\right)^2 = c^2$. $\frac{b_2-b_1}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. $h^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$. $h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Теперь вычислим площадь: $S = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения $S = \frac{9}{8}$.