Номер 38, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A_1$, $B$ и середину ребра $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a=1$. Сечение проходит через вершины $A_1$, $B$ и середину ребра $CC_1$.

Перевод в СИ: Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти: 1. Изобразить сечение. 2. Найти площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Для построения сечения введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$ Длина ребра куба $a=1$.

Заданные точки, через которые проходит сечение: Вершина $A_1$: $(0,0,1)$. Вершина $B$: $(1,0,0)$. Середина ребра $CC_1$: Пусть это будет точка $M$. Координаты $C(1,1,0)$, $C_1(1,1,1)$. $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,1,0.5)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки $A_1(0,0,1)$, $B(1,0,0)$, $M(1,1,0.5)$. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz = D$. Подставим координаты точек в уравнение: 1. Для $A_1(0,0,1)$: $A(0) + B(0) + C(1) = D \Rightarrow C = D$. 2. Для $B(1,0,0)$: $A(1) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow A = D$. 3. Для $M(1,1,0.5)$: $A(1) + B(1) + C(0.5) = D \Rightarrow A + B + 0.5C = D$. Подставим $A=D$ и $C=D$ в третье уравнение: $D + B + 0.5D = D \Rightarrow B + 0.5D = 0 \Rightarrow B = -0.5D$. Тогда уравнение плоскости принимает вид: $Dx - 0.5Dy + Dz = D$. Если $D \neq 0$, можно разделить все члены уравнения на $D$: $x - 0.5y + z = 1$, или, умножив на 2, $2x - y + 2z = 2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Мы уже знаем $A_1$, $B$ и $M$. 1. Пересечение с верхним основанием $A_1B_1C_1D_1$ (плоскость $z=1$): Подставим $z=1$ в уравнение плоскости: $2x - y + 2(1) = 2 \Rightarrow 2x - y + 2 = 2 \Rightarrow 2x - y = 0 \Rightarrow y = 2x$. * Ребро $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $0 = 2x \Rightarrow x=0$. Это точка $A_1(0,0,1)$. * Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $1 = 2x \Rightarrow x=0.5$. Это точка $P(0.5,1,1)$. * Ребро $B_1C_1$ ($x=1, z=1$): $y = 2(1) \Rightarrow y=2$. Точка $(1,2,1)$ лежит вне ребра $B_1C_1$ (так как $y>1$). * Ребро $A_1D_1$ ($x=0, z=1$): $y = 2(0) \Rightarrow y=0$. Это точка $A_1(0,0,1)$. 2. Пересечение с ребром $DD_1$ (прямая $x=0, y=1$): $2(0) - 1 + 2z = 2 \Rightarrow -1 + 2z = 2 \Rightarrow 2z = 3 \Rightarrow z = 1.5$. Эта точка $(0,1,1.5)$ лежит вне ребра $DD_1$ (так как $z > 1$). Значит, сечение не пересекает ребро $DD_1$.

Таким образом, сечение куба проходит через четыре точки: $A_1(0,0,1)$, $B(1,0,0)$, $M(1,1,0.5)$ и $P(0.5,1,1)$. Это четырехугольник $A_1BMP$. Проверим, на каких гранях лежат его стороны: * Отрезок $A_1B$ соединяет вершины $A_1$ и $B$ на грани $ABB_1A_1$. * Отрезок $BM$ соединяет вершину $B$ и середину ребра $CC_1$ на грани $BCC_1B_1$. * Отрезок $MP$ соединяет точку $M(1,1,0.5)$ и точку $P(0.5,1,1)$. Обе точки имеют $y$-координату $1$, следовательно, отрезок $MP$ лежит на грани $CDD_1C_1$. * Отрезок $PA_1$ соединяет точку $P(0.5,1,1)$ и вершину $A_1(0,0,1)$. Обе точки имеют $z$-координату $1$, следовательно, отрезок $PA_1$ лежит на грани $A_1B_1C_1D_1$.

Определим тип четырехугольника $A_1BMP$. Найдем длины его сторон: $|A_1B| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. $|BM| = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1+0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. $|MP| = \sqrt{(0.5-1)^2 + (1-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $|PA_1| = \sqrt{(0-0.5)^2 + (0-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25+1} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Сравнивая длины сторон, видим, что $|A_1B| = \sqrt{2}$ и $|MP| = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти стороны не равны. Однако $|BM| = |PA_1| = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Проверим параллельность сторон $A_1B$ и $MP$: Вектор $\vec{A_1B} = (1-0, 0-0, 0-1) = (1, 0, -1)$. Вектор $\vec{MP} = (0.5-1, 1-1, 1-0.5) = (-0.5, 0, 0.5)$. Заметим, что $\vec{A_1B} = -2 \vec{MP}$. Так как векторы коллинеарны, стороны $A_1B$ и $MP$ параллельны. Следовательно, сечение $A_1BMP$ является равнобедренной трапецией с параллельными основаниями $A_1B$ и $MP$, и равными боковыми сторонами $BM$ и $PA_1$. Точка $P(0.5,1,1)$ является серединой ребра $C_1D_1$, так как $D_1=(0,1,1)$ и $C_1=(1,1,1)$.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $A_1BMP$, где $A_1$ и $B$ — вершины куба, $M$ — середина ребра $CC_1$, а $P$ — середина ребра $C_1D_1$.

Найдите его площадь

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$, где $b_1, b_2$ — длины параллельных оснований, а $h$ — высота трапеции. Длины оснований: $b_1 = |A_1B| = \sqrt{2}$, $b_2 = |MP| = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длины боковых сторон: $c = |BM| = |PA_1| = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из вершины короткого основания на длинное, она отсечет отрезок, длина которого $x = \frac{b_1 - b_2}{2}$. $x = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Высоту трапеции $h$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной $c$, высотой $h$ и отрезком $x$: $h = \sqrt{c^2 - x^2}$ $h = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2}$ $h = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{1}{8}}$ $h = \sqrt{\frac{10}{8} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$. Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $h = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции $S$: $S = \frac{1}{2} \left(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$ $S = \frac{1}{2} \left(\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$ $S = \frac{1}{2} \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$ $S = \frac{(3\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2})}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$.