Номер 42, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

42. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $C, D_1$ и середину ребра $BB_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сечение проходит через точки $C$, $D_1$ и середину ребра $BB_1$.

Перевод в СИ

Поскольку куб единичный, его ребро равно $a=1$ (единица длины). Все расчеты будут в этих условных единицах.

Найти

Площадь сечения.

Решение

Поместим куб в декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежали на осях $x$, $y$, $z$ соответственно.

Тогда координаты вершин куба будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Заданные точки: Вершина $C(1,1,0)$. Вершина $D_1(0,1,1)$. Середина ребра $BB_1$. Координаты $B(1,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$. Пусть $M$ - середина $BB_1$. Тогда $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,1/2)$.

Итак, сечение проходит через точки $C(1,1,0)$, $D_1(0,1,1)$ и $M(1,0,1/2)$.

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $C$, $D_1$ и середину ребра $BB_1$

Сечение плоскостью представляет собой многоугольник, вершины которого лежат на ребрах куба.

1. Соединим точки $C$ и $M$. Этот отрезок лежит в грани $BCC_1B_1$. 2. Соединим точки $C$ и $D_1$. Этот отрезок лежит в грани $CDD_1C_1$. 3. Найдем уравнение плоскости, проходящей через $C(1,1,0)$, $D_1(0,1,1)$ и $M(1,0,1/2)$. Вектор $CD_1 = D_1 - C = (0-1, 1-1, 1-0) = (-1, 0, 1)$. Вектор $CM = M - C = (1-1, 0-1, 1/2-0) = (0, -1, 1/2)$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = CD_1 \times CM$: $ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1/2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1/2 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(-1 \cdot 1/2 - 1 \cdot 0) + \vec{k}(-1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = (1, 1/2, 1) $. Для удобства дальнейших вычислений можно взять нормаль, умноженную на 2: $2\vec{n} = (2, 1, 2)$. Уравнение плоскости: $2x + y + 2z = d$. Подставим координаты точки $C(1,1,0)$: $2(1) + 1(1) + 2(0) = d \Rightarrow d = 3$. Уравнение плоскости сечения: $2x + y + 2z = 3$.

4. Найдем точки пересечения плоскости с ребрами куба: * Точка $C(1,1,0)$ лежит на ребре $BC$ (или $CC_1$). * Точка $D_1(0,1,1)$ лежит на ребре $D_1C_1$ (или $AD_1$, $DD_1$). * Точка $M(1,0,1/2)$ лежит на ребре $BB_1$. * Найдем пересечение с ребром $A_1B_1$ (лежащим на плоскости $z=1$ и $y=0$, для $0 \le x \le 1$): Подставим $y=0, z=1$ в уравнение плоскости $2x + y + 2z = 3$: $2x + 0 + 2(1) = 3 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 1/2$. Эта точка $N(1/2,0,1)$ лежит на ребре $A_1B_1$.

Таким образом, вершины сечения: $C(1,1,0)$, $M(1,0,1/2)$, $N(1/2,0,1)$, $D_1(0,1,1)$. Сечение является четырехугольником $CMND_1$. Отрезки $CM$ (на грани $BCC_1B_1$), $MN$ (на грани $ABB_1A_1$), $ND_1$ (на грани $A_1B_1C_1D_1$), $D_1C$ (на грани $CDD_1C_1$) образуют периметр сечения. Визуально это можно представить, нарисовав куб и последовательно соединив эти четыре точки.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник с вершинами $C(1,1,0)$, $M(1,0,1/2)$, $N(1/2,0,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Найдите его площадь

Площадь четырехугольника $CMND_1$ можно найти, разбив его на два треугольника, например, $CMD_1$ и $NMD_1$.

Площадь треугольника $CMD_1$: Вектор $\vec{MC} = C - M = (1-1, 1-0, 0-1/2) = (0, 1, -1/2)$. Вектор $\vec{MD_1} = D_1 - M = (0-1, 1-0, 1-1/2) = (-1, 1, 1/2)$. Площадь $S_{CMD_1} = \frac{1}{2} |\vec{MC} \times \vec{MD_1}|$. $ \vec{MC} \times \vec{MD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -1/2 \\ -1 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot 1) - \vec{j}(0 \cdot 1/2 - (-1/2) \cdot (-1)) + \vec{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = (1/2 + 1/2, -(-1/2), 0 + 1) = (1, 1/2, 1) $. $ S_{CMD_1} = \frac{1}{2} |(1, 1/2, 1)| = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + (1/2)^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + 1/4 + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{9/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} $.

Площадь треугольника $NMD_1$: Вектор $\vec{MN} = N - M = (1/2-1, 0-0, 1-1/2) = (-1/2, 0, 1/2)$. Вектор $\vec{MD_1} = (-1, 1, 1/2)$ (использован ранее). Площадь $S_{NMD_1} = \frac{1}{2} |\vec{MN} \times \vec{MD_1}|$. $ \vec{MN} \times \vec{MD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1/2 & 0 & 1/2 \\ -1 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot 1) - \vec{j}(-1/2 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot (-1)) + \vec{k}(-1/2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) = (-1/2, -(-1/4 + 1/2), -1/2) = (-1/2, -1/4, -1/2) $. $ S_{NMD_1} = \frac{1}{2} |(-1/2, -1/4, -1/2)| = \frac{1}{2} \sqrt{(-1/2)^2 + (-1/4)^2 + (-1/2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1/4 + 1/16 + 1/4} = \frac{1}{2} \sqrt{4/16 + 1/16 + 4/16} = \frac{1}{2} \sqrt{9/16} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} $.

Общая площадь сечения $S = S_{CMD_1} + S_{NMD_1} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $9/8$ квадратных единиц.