Номер 36, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

36. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее
через вершины $B_1$, $D_1$ и середину ребра $BC$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает, что длина его ребра $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $B_1$, $D_1$ и точку $M$, которая является серединой ребра $BC$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Построение сечения:

1. Отметим заданные точки: $B_1$, $D_1$ и $M$ (середина ребра $BC$).

2. Соединим точки $B_1$ и $D_1$. Этот отрезок является диагональю верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

3. Соединим точки $B_1$ и $M$. Этот отрезок лежит в боковой грани $BB_1C_1C$.

4. Плоскость сечения содержит отрезок $B_1D_1$, который лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

5. Таким образом, линия пересечения секущей плоскости с нижней гранью $ABCD$ должна быть параллельна отрезку $B_1D_1$. Эта линия должна проходить через точку $M$.

6. Проекция отрезка $B_1D_1$ на нижнюю грань $ABCD$ - это диагональ $BD$. Значит, искомая линия пересечения $MP$ должна быть параллельна $BD$ и проходить через $M$.

7. Точка $M$ - середина ребра $BC$. Если провести прямую через $M$ параллельно $BD$ в плоскости грани $ABCD$, то она пересечет ребро $CD$. Пусть точка пересечения будет $P$. Поскольку $M$ - середина $BC$, и $MP \parallel BD$, то по теореме Фалеса (или подобию треугольников), $P$ также будет серединой ребра $CD$.

8. Соединим точки $D_1$ и $P$. Этот отрезок лежит в боковой грани $DD_1C_1C$.

9. Полученное сечение - это четырехугольник $B_1MPD_1$. Так как $B_1D_1 \parallel MP$ (обе параллельны диагонали $BD$ или $B_1D_1$), этот четырехугольник является трапецией. Из-за симметрии куба и расположения точек $M$ и $P$ (как середин ребер), эта трапеция является равнобокой.

Нахождение площади сечения:

Обозначим длину ребра куба $a=1$.

1.Длины оснований трапеции:

* Длина верхнего основания $B_1D_1$: Это диагональ квадрата со стороной $a=1$.

$|B_1D_1| = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

* Длина нижнего основания $MP$: $M$ - середина $BC$, $P$ - середина $CD$. Треугольник $MCP$ подобен треугольнику $BCD$ с коэффициентом $1/2$. Значит, $MP$ - средняя линия треугольника $BCD$ (если бы $M$ была серединой $BC$ и $P$ была серединой $CD$). Более точно, $MP$ - это отрезок, соединяющий середины двух смежных сторон квадрата. Его длина равна половине диагонали квадрата. Или, используя координаты: $M(a, a/2, 0)$ и $P(a/2, a, 0)$ при $A=(0,0,0), B=(a,0,0), C=(a,a,0), D=(0,a,0)$. В нашем случае $M=(1, 0.5, 0)$ и $P=(0.5, 1, 0)$ для $a=1$.

$|MP| = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0.5-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2.Длина боковых сторон трапеции:

* Рассмотрим отрезок $B_1M$. Координаты: $B_1(1,0,1)$, $M(1,0.5,0)$ (при $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$).

$|B_1M| = \sqrt{(1-1)^2 + (0.5-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

* Длина $D_1P$: Координаты: $D_1(0,1,1)$, $P(0.5,1,0)$.

$|D_1P| = \sqrt{(0.5-0)^2 + (1-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку боковые стороны равны, трапеция действительно равнобокая.

3.Высота трапеции:

Для равнобокой трапеции высоту можно найти, опустив перпендикуляр из вершины верхнего основания на нижнее основание. Или найти расстояние между серединами оснований.

* Найдем середину $L$ отрезка $B_1D_1$: $L = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 0.5, 1)$.

* Найдем середину $K$ отрезка $MP$: $K = \left(\frac{1+0.5}{2}, \frac{0.5+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.75, 0.75, 0)$.

* Высота $h$ трапеции - это расстояние между точками $L$ и $K$.

$h = |LK| = \sqrt{(0.75-0.5)^2 + (0.75-0.5)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0.25^2 + 0.25^2 + (-1)^2}$

$h = \sqrt{0.0625 + 0.0625 + 1} = \sqrt{1.125} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

4.Площадь трапеции:

Площадь трапеции $S = \frac{1}{2}(b_1 + b_2)h$, где $b_1$ и $b_2$ - длины оснований, а $h$ - высота.

$S = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ:

$\frac{9}{8}$