Номер 30, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $C$ и середину ребра $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a=1$.
Сечение проходит через вершины $A$, $C$ и середину ребра $B_1C_1$.

Перевод данных в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины). Поскольку это геометрическая задача, конкретные единицы измерения не требуются, расчеты проводятся в условных единицах.

Найти:

Форму сечения и его площадь.

Решение:

Для удобства размещения куба в декартовой системе координат, пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба равна $1$.

Тогда координаты вершин куба:$A=(0,0,0)$
$B=(1,0,0)$
$C=(1,1,0)$
$D=(0,1,0)$
$A_1=(0,0,1)$
$B_1=(1,0,1)$
$C_1=(1,1,1)$
$D_1=(0,1,1)$

Заданные точки сечения:1. Вершина $A = (0,0,0)$.2. Вершина $C = (1,1,0)$.3. Середина ребра $B_1C_1$. Обозначим эту точку $M$. Координаты $B_1(1,0,1)$ и $C_1(1,1,1)$.
$M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 0.5, 1)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$ и $M(1,0.5,1)$.Векторы, лежащие в этой плоскости, исходящие из $A$:$\vec{AC} = C - A = (1,1,0) - (0,0,0) = (1,1,0)$.
$\vec{AM} = M - A = (1,0.5,1) - (0,0,0) = (1,0.5,1)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{AC} \times \vec{AM}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - 1 \cdot 1) = \mathbf{i} - \mathbf{j} - 0.5\mathbf{k} = (1, -1, -0.5)$.
Для удобства расчетов можно использовать нормальный вектор, умноженный на $-2$: $\vec{n'} = (-2, 2, 1)$.Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя $\vec{n'} = (-2, 2, 1)$:$-2x + 2y + z + D = 0$.
Так как плоскость проходит через $A(0,0,0)$, подставим координаты $A$:$-2(0) + 2(0) + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.
Таким образом, уравнение плоскости сечения: $-2x + 2y + z = 0$ или $2x - 2y - z = 0$.

Определим все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, чтобы изобразить сечение:1. Пересечение с нижней гранью $ABCD$ ($z=0$): $2x - 2y = 0 \Rightarrow y=x$. На этой грани точки $A(0,0,0)$ и $C(1,1,0)$ удовлетворяют условию $y=x$. Следовательно, отрезок $AC$ является частью сечения.2. Пересечение с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $2x - 2y - 1 = 0 \Rightarrow 2x - 2y = 1$. - Ребро $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $2x - 2(0) - 1 = 0 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=0.5$. Это точка $N=(0.5,0,1)$, которая является серединой ребра $A_1B_1$. - Ребро $B_1C_1$ ($x=1, z=1$): $2(1) - 2y - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 2y = 0 \Rightarrow y=0.5$. Это точка $M=(1,0.5,1)$, которая является серединой ребра $B_1C_1$ (уже известна). - Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x - 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x - 3 = 0 \Rightarrow x=1.5$. Эта точка лежит вне ребра ($0 \le x \le 1$), поэтому пересечения нет. - Ребро $D_1A_1$ ($x=0, z=1$): $2(0) - 2y - 1 = 0 \Rightarrow -2y=1 \Rightarrow y=-0.5$. Эта точка лежит вне ребра ($0 \le y \le 1$), поэтому пересечения нет. Таким образом, на верхней грани сечение проходит через точки $N$ и $M$, образуя отрезок $NM$.3. Пересечение с боковыми ребрами: - Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$): $2(0) - 2(0) - z = 0 \Rightarrow z=0$. Точка $A(0,0,0)$. - Ребро $BB_1$ ($x=1, y=0$): $2(1) - 2(0) - z = 0 \Rightarrow z=2$. Эта точка лежит вне ребра ($0 \le z \le 1$), поэтому пересечения нет. - Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1$): $2(1) - 2(1) - z = 0 \Rightarrow z=0$. Точка $C(1,1,0)$. - Ребро $DD_1$ ($x=0, y=1$): $2(0) - 2(1) - z = 0 \Rightarrow z=-2$. Эта точка лежит вне ребра ($0 \le z \le 1$), поэтому пересечения нет.

Итак, вершины сечения: $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$, $M(1,0.5,1)$ и $N(0.5,0,1)$.Сечение представляет собой четырехугольник $ANMC$. Чтобы его представить, нужно соединить эти точки последовательно: $A$ с $N$, $N$ с $M$, $M$ с $C$, и $C$ с $A$.

Вычислим длины сторон полученного четырехугольника:$AN = \sqrt{(0.5-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0 + 1^2} = \sqrt{0.25+1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$NM = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0.5-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2 + 0} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$MC = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0.5)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0 + 0.5^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25+1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$CA = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Поскольку $AN = MC = \frac{\sqrt{5}}{2}$, две противоположные стороны равны.
Проверим параллельность сторон $NM$ и $CA$:Вектор $\vec{NM} = (1-0.5, 0.5-0, 1-1) = (0.5, 0.5, 0)$.
Вектор $\vec{CA} = (0-1, 0-1, 0-0) = (-1, -1, 0)$.
Заметим, что $\vec{CA} = -2 \cdot \vec{NM}$. Это означает, что векторы коллинеарны, а значит, стороны $NM$ и $CA$ параллельны.
Следовательно, сечение $ANMC$ является равнобедренной трапецией с основаниями $NM$ и $CA$.

Для нахождения площади сечения, воспользуемся формулой площади трапеции $S = \frac{b_1 + b_2}{2}h$, где $b_1$ и $b_2$ - длины оснований, $h$ - высота.

Длины оснований: $b_1 = MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $b_2 = AC = \sqrt{2}$.
Длина боковой стороны $c = AN = MC = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Высота $h$ равнобедренной трапеции находится из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и половиной разности оснований:$h^2 + \left(\frac{b_2 - b_1}{2}\right)^2 = c^2$.
$\frac{b_2 - b_1}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
$h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$.
$h^2 + \frac{2}{16} = \frac{5}{4}$.
$h^2 + \frac{1}{8} = \frac{10}{8}$.
$h^2 = \frac{9}{8}$.
$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:$S = \frac{MN + AC}{2} \cdot h = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.
Площадь сечения $S = 1.125$ квадратных единиц.

Ответ:

Сечение является равнобедренной трапецией $ANMC$, где $N$ - середина ребра $A_1B_1$, $M$ - середина ребра $B_1C_1$. Площадь сечения составляет $1.125$ или $\frac{9}{8}$ квадратных единиц.