Номер 25, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$, $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$, $CC_1$.

Найти:

1. Изобразить сечение (описать его вершины и форму).

2. Найти площадь сечения.

Решение

1. Изображение сечения

Для определения сечения введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Так как куб единичный, координаты вершин будут принадлежать диапазону от 0 до 1.

Тогда координаты заданных середин ребер будут:

• Середина ребра $AB$: $M = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$
• Середина ребра $BC$: $N = \left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$
• Середина ребра $CC_1$: $P = \left(1, 1, \frac{1}{2}\right)$

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$. Подставляя координаты точек, получаем систему уравнений:

• $A\left(\frac{1}{2}\right) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow A = 2D$
• $A(1) + B\left(\frac{1}{2}\right) + C(0) = D \Rightarrow A + \frac{B}{2} = D$
• $A(1) + B(1) + C\left(\frac{1}{2}\right) = D \Rightarrow A + B + \frac{C}{2} = D$

Решая систему, получаем $A=2D$, $B=-2D$, $C=2D$. Разделив на $D$ (при $D \neq 0$), получаем уравнение плоскости: $2x - 2y + 2z = 1$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба ($0 \le x,y,z \le 1$):

• С ребром $AA_1$ ($x=0, y=0$): $2(0) - 2(0) + 2z = 1 \Rightarrow 2z = 1 \Rightarrow z = \frac{1}{2}$. Получаем точку $Q = \left(0, 0, \frac{1}{2}\right)$, которая является серединой ребра $AA_1$.
• С ребром $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x - 2(1) + 2(1) = 1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Получаем точку $R = \left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$, которая является серединой ребра $C_1D_1$.
• С ребром $D_1A_1$ ($x=0, z=1$): $2(0) - 2y + 2(1) = 1 \Rightarrow 2 - 2y = 1 \Rightarrow 2y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$. Получаем точку $S = \left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$, которая является серединой ребра $D_1A_1$.

Таким образом, сечение является шестиугольником, вершинами которого являются середины ребер куба: $M\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$, $N\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$, $P\left(1, 1, \frac{1}{2}\right)$, $R\left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$, $S\left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$, $Q\left(0, 0, \frac{1}{2}\right)$. Сечение $MNPRSQ$ является правильным шестиугольником, так как все его стороны равны, что будет показано в следующем пункте.

Ответ: Сечение представляет собой правильный шестиугольник $MNPRSQ$, где $M, N, P, R, S, Q$ - середины ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1, AA_1$ соответственно.

2. Нахождение площади сечения

Для нахождения площади правильного шестиугольника $MNPRSQ$ достаточно найти длину его стороны. Возьмем, например, сторону $MN$. Используем формулу расстояния между двумя точками:

$L = MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2}$

$L = \sqrt{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2}$

$L = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Площадь правильного шестиугольника со стороной $L$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} L^2$

Подставляем значение $L = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.