Номер 22, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $BC, A_1 D_1$ и точку на ребре $AD$, отстоящую от вершины $D$ на $0,75$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Середину ребра $BC$. Обозначим эту точку $M$.

• Середину ребра $A_1D_1$. Обозначим эту точку $N$.

• Точку на ребре $AD$, отстоящую от вершины $D$ на $0.75$. Обозначим эту точку $K$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ (нижняя грань)

• $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$ (верхняя грань)

Определим координаты заданных точек сечения:

• Точка $M$ - середина ребра $BC$. Координаты $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$. Тогда $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0.5, 0)$.

• Точка $N$ - середина ребра $A_1D_1$. Координаты $A_1(0,0,1)$ и $D_1(0,1,1)$. Тогда $N = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (0, 0.5, 1)$.

• Точка $K$ на ребре $AD$, отстоящая от вершины $D$ на $0.75$. Ребро $AD$ лежит на оси Oy. Координаты $A(0,0,0)$ и $D(0,1,0)$. Расстояние $DK=0.75$. Тогда $K = (0, 1-0.75, 0) = (0, 0.25, 0)$.

Таким образом, сечение проходит через точки $M(1, 0.5, 0)$, $N(0, 0.5, 1)$ и $K(0, 0.25, 0)$.

Изобразить сечение:

Для построения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$.

Вычислим два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$:

$\vec{KM} = M - K = (1-0, 0.5-0.25, 0-0) = (1, 0.25, 0)$

$\vec{KN} = N - K = (0-0, 0.5-0.25, 1-0) = (0, 0.25, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n} = \vec{KM} \times \vec{KN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 & 1 \end{vmatrix} = (0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0.25)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot 0.25 - 0 \cdot 0.25)\mathbf{k} = (0.25, -1, 0.25)$

Для удобства вычислений умножим нормальный вектор на 4: $\vec{n'} = (1, -4, 1)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $K(0, 0.25, 0)$ с нормальным вектором $\vec{n'}=(1, -4, 1)$:

$1(x-0) - 4(y-0.25) + 1(z-0) = 0$

$x - 4y + 1 + z = 0$, или $x - 4y + z + 1 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Сечение представляет собой многоугольник, стороны которого лежат на гранях куба.

• На нижней грани $ABCD$ ($z=0$): $x - 4y + 1 = 0$. Эта прямая проходит через $K(0, 0.25, 0)$ на ребре $AD$ и $M(1, 0.5, 0)$ на ребре $BC$. Отрезок $KM$ является одной из сторон сечения.

• На верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $x - 4y + 1 + 1 = 0 \Rightarrow x - 4y + 2 = 0$. Эта прямая проходит через $N(0, 0.5, 1)$ на ребре $A_1D_1$. Найдем ее пересечение с ребром $B_1C_1$ (уравнения $x=1, z=1$): $1 - 4y + 2 = 0 \Rightarrow 4y = 3 \Rightarrow y = 0.75$. Обозначим эту точку $P_1(1, 0.75, 1)$. Отрезок $NP_1$ является стороной сечения.

• На грани $ADD_1A_1$ ($x=0$): $-4y + z + 1 = 0$. Эта прямая проходит через $K(0, 0.25, 0)$ на ребре $AD$ и $N(0, 0.5, 1)$ на ребре $A_1D_1$. Отрезок $KN$ является стороной сечения.

• На грани $BCC_1B_1$ ($x=1$): $1 - 4y + z + 1 = 0 \Rightarrow -4y + z + 2 = 0$. Эта прямая проходит через $M(1, 0.5, 0)$ на ребре $BC$. Найдем ее пересечение с ребром $B_1C_1$ (уравнения $z=1, x=1$): $-4y + 1 + 2 = 0 \Rightarrow 4y = 3 \Rightarrow y = 0.75$. Это уже найденная точка $P_1(1, 0.75, 1)$. Отрезок $MP_1$ является стороной сечения.

Таким образом, сечение является четырехугольником с вершинами $K(0, 0.25, 0)$, $M(1, 0.5, 0)$, $P_1(1, 0.75, 1)$, $N(0, 0.5, 1)$.

Проверим тип этого четырехугольника. Найдем векторы его сторон:

• $\vec{KM} = (1, 0.25, 0)$

• $\vec{NP_1} = (1-0, 0.75-0.5, 1-1) = (1, 0.25, 0)$

• $\vec{KN} = (0, 0.25, 1)$

• $\vec{MP_1} = (1-1, 0.75-0.5, 1-0) = (0, 0.25, 1)$

Так как $\vec{KM} = \vec{NP_1}$ и $\vec{KN} = \vec{MP_1}$, то четырехугольник $KMP_1N$ является параллелограммом.

Вычислим длины смежных сторон:

$|\vec{KM}| = \sqrt{1^2 + (0.25)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + (1/4)^2} = \sqrt{1 + 1/16} = \sqrt{17/16} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

$|\vec{KN}| = \sqrt{0^2 + (0.25)^2 + 1^2} = \sqrt{(1/4)^2 + 1} = \sqrt{1/16 + 1} = \sqrt{17/16} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

Поскольку длины смежных сторон равны ($|\vec{KM}| = |\vec{KN}|$), то параллелограмм $KMP_1N$ является ромбом.

Найти его площадь:

Площадь параллелограмма (или ромба) можно найти как модуль векторного произведения двух его смежных сторон.

$S = |\vec{KM} \times \vec{KN}|$. Мы уже вычислили $\vec{KM} \times \vec{KN} = (0.25, -1, 0.25)$.

$S = \sqrt{(0.25)^2 + (-1)^2 + (0.25)^2} = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (-1)^2 + (\frac{1}{4})^2}$

$S = \sqrt{\frac{1}{16} + 1 + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{1+16+1}{16}} = \sqrt{\frac{18}{16}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$

Для удаления иррациональности из знаменателя, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

$\frac{3\sqrt{2}}{4}$.