Номер 21, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BC$, $A_1D_1$ и точку на ребре $AD$, отстоящую от вершины $A$ на $0.25$. Найдите его площадь.

Изобразите сечение

Для построения сечения, проходящего через точки $K$, $M$ и $N$, выполним следующие шаги. Точка $M$ является серединой ребра $BC$. Точка $N$ является серединой ребра $A_1D_1$. Точка $K$ лежит на ребре $AD$ так, что $AK = 0.25$ (что составляет одну четвертую длины ребра $AD$, если $A$ - начало ребра).

Соединим точки $K$ и $M$, лежащие в нижней грани куба $ABCD$. Этот отрезок $KM$ является одной из сторон сечения. Соединим точки $K$ и $N$, лежащие в левой грани куба $ADD_1A_1$. Этот отрезок $KN$ является второй стороной сечения.

Чтобы найти остальные вершины, используем свойство параллельных сечений или метод координат. В данном случае, четвертая точка сечения, назовем ее $P_1$, лежит на ребре $B_1C_1$. Из координатного анализа (см. далее в разделе "Найдите его площадь") $P_1$ имеет координаты $(1, 0.75, 1)$. Соединяем $M$ с $P_1$ отрезком $MP_1$ (на правой грани $BCC_1B_1$). Наконец, соединяем $P_1$ с $N$. Отрезок $P_1N$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

Сечением является четырехугольник $KMP_1N$.

Ответ: Изображение сечения представляет собой четырехугольник $KMP_1N$, где $K$ на $AD$ ($AK=0.25$), $M$ - середина $BC$, $N$ - середина $A_1D_1$, и $P_1$ - точка на $B_1C_1$ с координатами $(1, 0.75, 1)$.

Найдите его площадь

Для вычисления площади сечения используем метод координат.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a=1$.

Сечение проходит через:

1. Середину ребра $BC$, точка $M$.

2. Середину ребра $A_1D_1$, точка $N$.

3. Точку на ребре $AD$, точка $K$, такую, что $AK=0.25$.

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (усл. ед.).

Примем вершину $A$ куба за начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин куба:

$A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$

$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$.

Координаты заданных точек сечения:

$K = (0, 0.25, 0)$ (на $AD$, $AK=0.25$)

$M = (1, 0.5, 0)$ (середина $BC$)

$N = (0, 0.5, 1)$ (середина $A_1D_1$)

Найти: Площадь сечения $S$.

Решение

1.Уравнение плоскости сечения:

Найдем векторы $KM$ и $KN$:

$KM = M - K = (1, 0.5, 0) - (0, 0.25, 0) = (1, 0.25, 0)$.

$KN = N - K = (0, 0.5, 1) - (0, 0.25, 0) = (0, 0.25, 1)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = KM \times KN$ вычисляется как векторное произведение:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 & 1 \end{vmatrix} = (0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0.25)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot 0.25 - 0 \cdot 0.25)\mathbf{k} = (0.25, -1, 0.25)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя компоненты вектора нормали $\vec{n}=(0.25, -1, 0.25)$, получаем $0.25x - y + 0.25z + D = 0$.

Подставим координаты одной из известных точек, например $K(0, 0.25, 0)$, для нахождения $D$:

$0.25(0) - 0.25 + 0.25(0) + D = 0 \implies D = 0.25$.

Таким образом, уравнение плоскости: $0.25x - y + 0.25z + 0.25 = 0$. Умножим на 4 для упрощения: $x - 4y + z + 1 = 0$.

2.Нахождение вершин сечения:

Вершины сечения образуются пересечением плоскости с ребрами куба. Мы уже имеем точки $K(0, 0.25, 0)$, $M(1, 0.5, 0)$ и $N(0, 0.5, 1)$.

Найдем четвертую вершину, $P_1$. Она должна лежать на одном из ребер, не затронутых $K, M, N$. Плоскость сечения $x - 4y + z + 1 = 0$ пересекает правую грань куба $BCC_1B_1$, которая соответствует $x=1$. Подставим $x=1$ в уравнение плоскости: $1 - 4y + z + 1 = 0 \implies 4y - z = 2$.

Точка $P_1$ лежит на ребре $B_1C_1$, которое находится в верхней грани куба (т.е. $z=1$) и на правой грани (т.е. $x=1$). Подставим $z=1$ в уравнение $4y - z = 2$: $4y - 1 = 2 \implies 4y = 3 \implies y = 0.75$.

Значит, координаты четвертой вершины $P_1 = (1, 0.75, 1)$. (Эта точка лежит на ребре $B_1C_1$, поскольку ее $y$-координата $0.75$ находится между $0$ и $1$).

Таким образом, вершины сечения: $K(0, 0.25, 0)$, $M(1, 0.5, 0)$, $P_1(1, 0.75, 1)$, $N(0, 0.5, 1)$.

3.Определение типа сечения и вычисление его площади:

Сечение $KMP_1N$ является четырехугольником. Вычислим длины его сторон:

$|KM| = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0.25)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0.25^2} = \sqrt{1 + 0.0625} = \sqrt{1.0625}$.

$|NP_1| = \sqrt{(1-0)^2 + (0.75-0.5)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0.25^2} = \sqrt{1 + 0.0625} = \sqrt{1.0625}$.

$|KN| = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-0.25)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.25^2 + 1^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.

$|MP_1| = \sqrt{(1-1)^2 + (0.75-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.25^2 + 1^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.

Так как все четыре стороны равны, сечение $KMP_1N$ является ромбом.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей. Найдем длины диагоналей $KP_1$ и $MN$:

Диагональ $d_1 = |KP_1| = \sqrt{(1-0)^2 + (0.75-0.25)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0.5^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0.25 + 1} = \sqrt{2.25} = 1.5$.

Диагональ $d_2 = |MN| = \sqrt{(0-1)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Проверим перпендикулярность диагоналей (для ромба диагонали перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю):

Вектор $KP_1 = P_1 - K = (1, 0.75, 1) - (0, 0.25, 0) = (1, 0.5, 1)$.

Вектор $MN = N - M = (0, 0.5, 1) - (1, 0.5, 0) = (-1, 0, 1)$.

Скалярное произведение $KP_1 \cdot MN = (1)(-1) + (0.5)(0) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0$. Диагонали перпендикулярны, что подтверждает, что сечение является ромбом.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины диагоналей.

$S = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Площадь сечения равна $ \frac{3\sqrt{2}}{4} $.