Номер 28, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD, AB, BB_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AD$, $AB$, $BB_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ м (или просто 1, так как в задаче не указаны единицы измерения, площадь будет в квадратных единицах).

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Расположим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат вдоль положительных направлений осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$.

Определим координаты вершин, через которые проходит сечение:

• Середина ребра $AD$. Вершина $A=(0,0,0)$, вершина $D=(0,1,0)$. Середина $K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 1/2, 0)$.
• Середина ребра $AB$. Вершина $A=(0,0,0)$, вершина $B=(1,0,0)$. Середина $L = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1/2, 0, 0)$.
• Середина ребра $BB_1$. Вершина $B=(1,0,0)$, вершина $B_1=(1,0,1)$. Середина $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, 1/2)$.

Эти три точки $K, L, M$ определяют плоскость сечения. Найдем уравнение этой плоскости. Для этого сначала вычислим два вектора, лежащих в плоскости:

Вектор $\vec{KL} = L - K = (1/2 - 0, 0 - 1/2, 0 - 0) = (1/2, -1/2, 0)$.

Вектор $\vec{LM} = M - L = (1 - 1/2, 0 - 0, 1/2 - 0) = (1/2, 0, 1/2)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{KL} \times \vec{LM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot 0 - (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}) = (-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$.

Для удобства дальнейших вычислений можем использовать пропорциональный нормальный вектор, например, $\vec{n'} = (1, 1, -1)$ (умножив $\vec{n}$ на $-4$).

Уравнение плоскости, проходящей через точку $L(1/2, 0, 0)$ с нормальным вектором $(1, 1, -1)$, имеет вид:

$1 \cdot (x - 1/2) + 1 \cdot (y - 0) - 1 \cdot (z - 0) = 0$

$x - 1/2 + y - z = 0$

$x + y - z = 1/2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Координаты вершин куба для справки: $A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A_1(0,0,1), B_1(1,0,1), C_1(1,1,1), D_1(0,1,1)$.

• Пересечение с ребром $DD_1$: Точки на $DD_1$ имеют координаты $(0,1,z)$ при $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $0 + 1 - z = 1/2 \implies z = 1/2$. Точка пересечения $N = (0, 1, 1/2)$. Это середина ребра $DD_1$.
• Пересечение с ребром $C_1D_1$: Точки на $C_1D_1$ имеют координаты $(x,1,1)$ при $0 \le x \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $x + 1 - 1 = 1/2 \implies x = 1/2$. Точка пересечения $Q = (1/2, 1, 1)$. Это середина ребра $C_1D_1$.
• Пересечение с ребром $B_1C_1$: Точки на $B_1C_1$ имеют координаты $(1,y,1)$ при $0 \le y \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $1 + y - 1 = 1/2 \implies y = 1/2$. Точка пересечения $P = (1, 1/2, 1)$. Это середина ребра $B_1C_1$.

Таким образом, сечение является шестиугольником $KLMPQN$ с вершинами:

$K(0, 1/2, 0)$

$L(1/2, 0, 0)$

$M(1, 0, 1/2)$

$P(1, 1/2, 1)$

$Q(1/2, 1, 1)$

$N(0, 1, 1/2)$

Теперь найдем длины сторон этого шестиугольника. Поскольку длина ребра куба $a=1$:

• $KL = \sqrt{(1/2-0)^2 + (0-1/2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $LM = \sqrt{(1-1/2)^2 + (0-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $MP = \sqrt{(1-1)^2 + (1/2-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{0 + 1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $PQ = \sqrt{(1/2-1)^2 + (1-1/2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4 + 0} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $QN = \sqrt{(0-1/2)^2 + (1-1)^2 + (1/2-1)^2} = \sqrt{1/4 + 0 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $NK = \sqrt{(0-0)^2 + (1/2-1)^2 + (0-1/2)^2} = \sqrt{0 + 1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Все стороны шестиугольника равны $s = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку все стороны равны и углы равны (это следует из симметрии расположения вершин относительно центра куба), шестиугольник является правильным.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.

Подставим значение $s = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в формулу площади:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.