Номер 29, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A, C$ и середину ребра $C_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.Длина ребра куба: $a = 1$.Сечение проходит через вершины $A$, $C$ и середину ребра $C_1D_1$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем декартову систему координат с началом в вершине $A=(0,0,0)$.

Координаты вершин куба:

$A=(0,0,0)$$B=(1,0,0)$$C=(1,1,0)$$D=(0,1,0)$

$A_1=(0,0,1)$$B_1=(1,0,1)$$C_1=(1,1,1)$$D_1=(0,1,1)$

Точки, через которые проходит сечение:

Вершина $A=(0,0,0)$.

Вершина $C=(1,1,0)$.

Середина ребра $C_1D_1$. Обозначим эту точку $M$.Координаты $M$ вычисляются как среднее арифметическое координат $C_1$ и $D_1$:$M = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$.

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $C$ и середину ребра $C_1D_1$.

1. Начнем с соединения точек $A$ и $C$, которые лежат в одной грани (нижней грани $ABCD$). Отрезок $AC$ является частью сечения.

2. Далее соединим точки $C$ и $M$. Отрезок $CM$ также является частью сечения. Он лежит в задней грани $CDD_1C_1$.

3. Так как верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$, то линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью должна быть параллельна линии пересечения с нижней гранью ($AC$). Эта параллельная линия должна проходить через точку $M$.

   Отрезок $AC$ находится в плоскости $z=0$ и соединяет $(0,0,0)$ и $(1,1,0)$. Его проекция на ось XY имеет уравнение $y=x$.
   Отрезок $A_1C_1$ в плоскости $z=1$ соединяет $(0,0,1)$ и $(1,1,1)$. Его проекция на ось XY также имеет уравнение $y=x$.
   Прямая, проходящая через $M(\frac{1}{2}, 1, 1)$ в плоскости $z=1$ и параллельная $A_1C_1$, имеет уравнение $y-1 = 1 \cdot (x - \frac{1}{2})$, что упрощается до $y = x + \frac{1}{2}$.

   Найдем точку пересечения этой прямой с ребром $A_1D_1$. Ребро $A_1D_1$ лежит в плоскости $x=0$ и имеет координаты $A_1=(0,0,1)$, $D_1=(0,1,1)$.
   Подставим $x=0$ в уравнение прямой $y = x + \frac{1}{2}$: $y = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
   Таким образом, точка пересечения $N$ имеет координаты $(0, \frac{1}{2}, 1)$. Эта точка является серединой ребра $A_1D_1$.

4. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

5. Наконец, соединим точки $N$ и $A$. Отрезок $NA$ лежит в левой грани $ADD_1A_1$.

Таким образом, сечение является четырехугольником $ACMN$.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $ACMN$, где $A$ и $C$ — вершины куба, $M$ — середина ребра $C_1D_1$, а $N$ — середина ребра $A_1D_1$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади четырехугольника $ACMN$ воспользуемся методом триангуляции, разбив его на два треугольника: $\triangle ACM$ и $\triangle ANM$.

Координаты вершин: $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$, $M(1/2,1,1)$, $N(0,1/2,1)$.

Площадь $\triangle ACM$:

Векторы сторон треугольника:
$\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$
$\vec{AM} = M - A = (1/2-0, 1-0, 1-0) = (1/2,1,1)$
Векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AM}$:
$\vec{AC} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1/2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1/2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1/2)$
$= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1/2) = (1, -1, 1/2)$
Модуль векторного произведения:
$|\vec{AC} \times \vec{AM}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1/4} = \sqrt{2 + 1/4} = \sqrt{9/4} = \frac{3}{2}$
Площадь $\triangle ACM = \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AM}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

Площадь $\triangle ANM$:

Векторы сторон треугольника:
$\vec{AN} = N - A = (0-0, 1/2-0, 1-0) = (0,1/2,1)$
$\vec{AM} = M - A = (1/2,1,1)$ (вектор $\vec{AM}$ уже вычислен ранее)
Векторное произведение $\vec{AN} \times \vec{AM}$:
$\vec{AN} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1/2 & 1 \\ 1/2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1/2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1/2) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1/2 \cdot 1/2)$
$= \mathbf{i}(1/2 - 1) - \mathbf{j}(-1/2) + \mathbf{k}(-1/4) = (-1/2, 1/2, -1/4)$
Модуль векторного произведения:
$|\vec{AN} \times \vec{AM}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (1/2)^2 + (-1/4)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4 + 1/16} = \sqrt{4/16 + 4/16 + 1/16} = \sqrt{9/16} = \frac{3}{4}$
Площадь $\triangle ANM = \frac{1}{2} |\vec{AN} \times \vec{AM}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Полная площадь сечения $S_{ACMN}$ равна сумме площадей треугольников $\triangle ACM$ и $\triangle ANM$:
$S_{ACMN} = S_{\triangle ACM} + S_{\triangle ANM} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$.