Страница 174 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $A_1B$, $CD$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a=1$.

Сечение проходит через три точки:

• Середина ребра $A_1B_1$, обозначим ее $M_1$.
• Середина ребра $CD$, обозначим ее $M_2$.
• Точка на ребре $AB$, отстоящая от вершины $A$ на $0.25$, обозначим ее $P$.

Перевод в СИ:

Поскольку куб является "единичным", его сторона $a = 1$ (условная единица длины). Все расчеты будут производиться в этих условных единицах, без привязки к конкретным метрическим единицам.

Найти:

• Изобразить сечение.
• Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Ось $x$ направим вдоль ребра $AB$, ось $y$ вдоль ребра $AD$, и ось $z$ вдоль ребра $AA_1$. Так как куб единичный, длина каждого ребра равна 1.

Координаты вершин куба, важных для задачи:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $D=(0,1,0)$
• $C=(1,1,0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $D_1=(0,1,1)$
• $C_1=(1,1,1)$

Определим координаты заданных точек:

• Точка $P$ на ребре $AB$ отстоит от $A$ на $0.25$: $P=(0.25, 0, 0)$.
• Точка $M_1$ - середина ребра $A_1B_1$: $M_1 = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 0, 1)$.
• Точка $M_2$ - середина ребра $CD$: $M_2 = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 1, 0)$.

Изобразить сечение:

Построение сечения производится по следующим шагам:

1. На ребре $AB$ отметьте точку $P$ так, чтобы $AP=0.25$.
2. На ребре $A_1B_1$ отметьте точку $M_1$ как его середину.
3. На ребре $CD$ отметьте точку $M_2$ как его середину.
4. Проведите отрезок $PM_1$. Этот отрезок лежит в грани $ABB_1A_1$ и является частью искомого сечения.
5. Проведите отрезок $PM_2$. Этот отрезок лежит в грани $ABCD$ и является частью искомого сечения.
6. Так как грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$, то линия пересечения плоскости сечения с гранью $CDD_1C_1$ должна быть параллельна отрезку $PM_1$. Проведем через точку $M_2$ (которая принадлежит грани $CDD_1C_1$) прямую, параллельную $PM_1$. Эта прямая пересечет ребро $C_1D_1$ в некоторой точке $Q$.
   Для определения координат точки $Q$: Вектор $\vec{PM_1} = (0.5-0.25, 0-0, 1-0) = (0.25, 0, 1)$. Точка $M_2$ имеет координаты $(0.5, 1, 0)$. Пусть $Q=(x_Q, y_Q, z_Q)$. Поскольку $Q$ лежит на ребре $C_1D_1$, ее координаты будут $(x_Q, 1, 1)$, где $0 \le x_Q \le 1$. Вектор $\vec{M_2Q} = (x_Q-0.5, 1-1, 1-0) = (x_Q-0.5, 0, 1)$. Так как $\vec{M_2Q}$ должен быть параллелен $\vec{PM_1}$, то $\vec{M_2Q} = k \cdot \vec{PM_1}$ для некоторого скаляра $k$. Из этого следует: $(x_Q-0.5, 0, 1) = k(0.25, 0, 1)$. Сравнивая z-координаты, получаем $1 = k \cdot 1$, откуда $k=1$. Сравнивая x-координаты, получаем $x_Q-0.5 = 1 \cdot 0.25$, откуда $x_Q = 0.5 + 0.25 = 0.75$. Таким образом, координаты точки $Q=(0.75, 1, 1)$. Точка $Q$ действительно лежит на ребре $C_1D_1$.
7. Проведите отрезок $M_1Q$.
8. Проведите отрезок $M_2Q$.

Полученное сечение - это четырехугольник $PM_1QM_2$ с вершинами $P(0.25,0,0)$, $M_1(0.5,0,1)$, $Q(0.75,1,1)$, $M_2(0.5,1,0)$.

Найти его площадь:

Для нахождения площади сечения определим тип четырехугольника $PM_1QM_2$. Вычислим длины его сторон:

• $PM_1 = \sqrt{(0.5-0.25)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0.25^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.
• $M_1Q = \sqrt{(0.75-0.5)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0.25^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.
• $QM_2 = \sqrt{(0.5-0.75)^2 + (1-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(-0.25)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.
• $M_2P = \sqrt{(0.25-0.5)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-0.25)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.

Так как все стороны равны, четырехугольник $PM_1QM_2$ является ромбом (или квадратом). Площадь ромба можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины его диагоналей.

Вычислим длины диагоналей:

• Диагональ $PQ = \sqrt{(0.75-0.25)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1 + 1} = \sqrt{2.25} = 1.5$.
• Диагональ $M_1M_2 = \sqrt{(0.5-0.5)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Поскольку диагонали не равны ($1.5 \ne \sqrt{2}$), четырехугольник является ромбом, но не квадратом.

Площадь ромба $S = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot M_1M_2 = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ квадратных единиц.

18. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $A_1B_1$, $CD$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на 0,75. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, длина ребра $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Точка $M$ - середина ребра $A_1 B_1$.
• Точка $N$ - середина ребра $CD$.
• Точка $P$ на ребре $AB$, отстоящая от вершины $A$ на $0,75$. То есть $AP = 0,75$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$. Тогда вершины куба будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Определим координаты заданных точек:

• Точка $M$ - середина ребра $A_1 B_1$. Координаты $A_1(0,0,1)$ и $B_1(1,0,1)$.
  $M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0,5, 0, 1)$
• Точка $N$ - середина ребра $CD$. Координаты $C(1,1,0)$ и $D(0,1,0)$.
  $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0,5, 1, 0)$
• Точка $P$ на ребре $AB$, $AP = 0,75$. Координаты $A(0,0,0)$ и $B(1,0,0)$.
  $P = (0,75, 0, 0)$

Изобразите сечение:

1. Отметим точки $M(0,5, 0, 1)$, $N(0,5, 1, 0)$ и $P(0,75, 0, 0)$.
2. Соединим точки $P$ и $N$. Это отрезок $PN$, лежащий в нижней грани куба $ABCD$.
3. Так как верхняя грань куба $A_1 B_1 C_1 D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$, то линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью будет параллельна отрезку $PN$.
4. Через точку $M$, лежащую на ребре $A_1 B_1$ верхней грани, проведем прямую, параллельную $PN$. Эта прямая пересечет ребро $C_1 D_1$ в точке $Q$.
5. Найдем координаты точки $Q$. Вектор $\vec{PN} = (0,5 - 0,75, 1 - 0, 0 - 0) = (-0,25, 1, 0)$.
   Так как $MQ \parallel PN$ и $M(0,5, 0, 1)$, то координаты точки $Q$ будут:
   $Q_x = M_x + (-0,25) = 0,5 - 0,25 = 0,25$
   $Q_y = M_y + 1 = 0 + 1 = 1$
   $Q_z = M_z + 0 = 1 + 0 = 1$
   Таким образом, $Q = (0,25, 1, 1)$. Точка $Q$ действительно лежит на ребре $C_1 D_1$ (так как $0 \le 0,25 \le 1$, $y=1$, $z=1$).
6. Соединим последовательно точки $P$, $N$, $Q$, $M$ и $P$. Полученное сечение является четырехугольником $PNQM$.
7. Проверим, является ли $PNQM$ параллелограммом. Для этого достаточно проверить равенство векторов $\vec{PN}$ и $\vec{MQ}$.
   $\vec{PN} = (-0,25, 1, 0)$.
   $\vec{MQ} = (0,25 - 0,5, 1 - 0, 1 - 1) = (-0,25, 1, 0)$.
   Так как $\vec{PN} = \vec{MQ}$, то $PNQM$ является параллелограммом.

Найдите его площадь:

Площадь параллелограмма, образованного двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, исходящими из одной вершины, равна модулю их векторного произведения $|\vec{a} \times \vec{b}|$.

Возьмем векторы $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$:

• $\vec{PM} = (M_x - P_x, M_y - P_y, M_z - P_z) = (0,5 - 0,75, 0 - 0, 1 - 0) = (-0,25, 0, 1)$
• $\vec{PN} = (N_x - P_x, N_y - P_y, N_z - P_z) = (0,5 - 0,75, 1 - 0, 0 - 0) = (-0,25, 1, 0)$

Вычислим векторное произведение $\vec{PM} \times \vec{PN}$:

$\vec{PM} \times \vec{PN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -0,25 & 0 & 1 \\ -0,25 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(-0,25 \cdot 0 - 1 \cdot (-0,25)) + \mathbf{k}(-0,25 \cdot 1 - 0 \cdot (-0,25))$

$= \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(0,25) + \mathbf{k}(-0,25)$

$= (-1, -0,25, -0,25)$

Найдем модуль этого вектора, чтобы получить площадь сечения:

$S = |\vec{PM} \times \vec{PN}| = \sqrt{(-1)^2 + (-0,25)^2 + (-0,25)^2}$

$S = \sqrt{1 + 0,0625 + 0,0625}$

$S = \sqrt{1 + 0,125}$

$S = \sqrt{1,125}$

Переведем десятичную дробь в обыкновенную:

$1,125 = \frac{1125}{1000} = \frac{9 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{9}{8}$

$S = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$S = \frac{3}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Вершины А на 0,75. Найдите его площадь.

19. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AB, C_1 D_1$ и точку на ребре $CD$, отстоящую от вершины $D$ на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a=1$.

Сечение проходит через три точки:

• $M$ - середина ребра $AB$.
• $N$ - середина ребра $C_1D_1$.
• $P$ - точка на ребре $CD$, такая что $DP = 0.25$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем декартову систему координат. Пусть вершина $D$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ребро $DC$ лежит вдоль оси $Ox$, ребро $DA$ вдоль оси $Oy$, а ребро $DD_1$ вдоль оси $Oz$. Поскольку куб единичный, длина каждого ребра равна $1$.

Координаты вершин куба:

• $D = (0,0,0)$
• $C = (1,0,0)$
• $A = (0,1,0)$
• $B = (1,1,0)$
• $D_1 = (0,0,1)$
• $C_1 = (1,0,1)$
• $A_1 = (0,1,1)$
• $B_1 = (1,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

• $M$ - середина ребра $AB$. Координаты $A(0,1,0)$ и $B(1,1,0)$.
  $M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$
• $N$ - середина ребра $C_1D_1$. Координаты $C_1(1,0,1)$ и $D_1(0,0,1)$.
  $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$
• $P$ - точка на ребре $CD$, отстоящая от $D$ на $0.25$. Ребро $CD$ лежит на оси $Ox$.
  $P = (0.25, 0, 0)$

Таким образом, точки, через которые проходит сечение, имеют координаты:

$M = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$

$N = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$

$P = \left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$

Для определения сечения найдем точки пересечения плоскости, проходящей через $M, N, P$, с ребрами куба.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через $M, N, P$.

Векторы, лежащие в плоскости:

$\vec{PM} = M - P = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}, 1 - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{1}{4}, 1, 0\right)$

$\vec{PN} = N - P = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}, 0 - 0, 1 - 0\right) = \left(\frac{1}{4}, 0, 1\right)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{PM} \times \vec{PN}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - \left(\frac{1}{4} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{4}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{1}{4} \cdot 0 - 1 \cdot \frac{1}{4}\right)\mathbf{k} = \mathbf{i} - \frac{1}{4}\mathbf{j} - \frac{1}{4}\mathbf{k}$

Таким образом, $\vec{n} = \left(1, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}\right)$. Для удобства умножим на 4: $\vec{n'} = (4, -1, -1)$.

Уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $A=4, B=-1, C=-1$.

$4x - y - z + D = 0$.

Используем точку $P\left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$ для нахождения $D$:

$4\left(\frac{1}{4}\right) - 0 - 0 + D = 0 \Rightarrow 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1$.

Уравнение плоскости сечения: $4x - y - z - 1 = 0$.

Изобразить сечение:

Найдем другие точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• На грани $ABCD$ ($z=0$): $4x - y - 1 = 0$.
  Точка $M\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$ находится на ребре $AB$. Точка $P\left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$ находится на ребре $CD$.
  Отрезок $MP$ является частью сечения.
• На грани $CDD_1C_1$ ($y=0$): $4x - z - 1 = 0$.
  Точка $P\left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$ находится на ребре $CD$. Точка $N\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$ находится на ребре $C_1D_1$.
  Отрезок $PN$ является частью сечения.
• На грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $4x - y - 1 - 1 = 0 \Rightarrow 4x - y - 2 = 0$.
  Точка $N\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$ находится на ребре $C_1D_1$.
  Найдем пересечение с ребром $A_1B_1$ ($y=1, 0 \le x \le 1$): $4x - 1 - 2 = 0 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$.
  Получаем точку $Q = \left(\frac{3}{4}, 1, 1\right)$. Эта точка лежит на ребре $A_1B_1$.
  Отрезок $NQ$ является частью сечения.
• На грани $ABB_1A_1$ ($y=1$): $4x - 1 - z - 1 = 0 \Rightarrow 4x - z - 2 = 0$.
  Точка $M\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$ находится на ребре $AB$. Точка $Q\left(\frac{3}{4}, 1, 1\right)$ находится на ребре $A_1B_1$.
  Отрезок $QM$ является частью сечения.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MPNQ$ с вершинами:

$P\left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$, $M\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$, $Q\left(\frac{3}{4}, 1, 1\right)$, $N\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Проверим тип четырехугольника. Найдем векторы противоположных сторон:

$\vec{PM} = \left(\frac{1}{4}, 1, 0\right)$

$\vec{QN} = N - Q = \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{4}, 0 - 1, 1 - 1\right) = \left(-\frac{1}{4}, -1, 0\right)$

Векторы $\vec{PM}$ и $\vec{QN}$ не параллельны и не равны.

$\vec{PN} = \left(\frac{1}{4}, 0, 1\right)$

$\vec{MQ} = Q - M = \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}, 1 - 1, 1 - 0\right) = \left(\frac{1}{4}, 0, 1\right)$

Поскольку $\vec{PN} = \vec{MQ}$, четырехугольник $MPNQ$ является параллелограммом.

Ответ: Сечение представляет собой параллелограмм $MPNQ$ с вершинами $P\left(\frac{1}{4}, 0, 0\right)$, $M\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$, $Q\left(\frac{3}{4}, 1, 1\right)$, $N\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Найти его площадь:

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов, образующих его смежные стороны. Используем векторы $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$.

Площадь $S = |\vec{PM} \times \vec{PN}|$

Мы уже вычислили $\vec{PM} \times \vec{PN} = \left(1, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}\right)$.

$S = \left|\left(1, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}\right)\right| = \sqrt{1^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2}$

$S = \sqrt{1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{1 + \frac{2}{16}} = \sqrt{1 + \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{8+1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ квадратных единиц.

20. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AB$, $C_1D_1$ и точку на ребре $CD$, отстоящую от вершины $D$ на $0,75$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Точку $M$ - середину ребра $AB$.

• Точку $N$ - середину ребра $C_1D_1$.

• Точку $P$ на ребре $CD$, такую что расстояние $DP = 0.75$.

Найти:

• Изобразите сечение

• Найдите его площадь

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ будет началом координат $(0,0,0)$, ребро $AB$ направлено вдоль оси $Ox$, ребро $AD$ вдоль оси $Oy$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$

• $B(1,0,0)$

• $C(1,1,0)$

• $D(0,1,0)$

• $A_1(0,0,1)$

• $B_1(1,0,1)$

• $C_1(1,1,1)$

• $D_1(0,1,1)$

Определим координаты заданных точек сечения:

• Точка $M$ - середина ребра $AB$. Ее координаты $M\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 0, 0)$.

• Точка $N$ - середина ребра $C_1D_1$. Ее координаты $N\left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 1, 1)$.

• Точка $P$ на ребре $CD$, отстоящая от вершины $D$ на $0.75$. Ребро $CD$ соединяет $D(0,1,0)$ и $C(1,1,0)$. Вектор $\vec{DC} = C-D = (1,1,0)-(0,1,0) = (1,0,0)$. Тогда точка $P$ имеет координаты $P = D + 0.75 \cdot \vec{DC} = (0,1,0) + 0.75 \cdot (1,0,0) = (0.75, 1, 0)$.

Изобразите сечение

Для построения сечения воспользуемся методом следов и свойством параллельности граней куба:

1. Точки $M(0.5,0,0)$ и $P(0.75,1,0)$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$ ($z=0$). Соединим эти точки отрезком $MP$. Этот отрезок является первой стороной сечения.

2. Точки $N(0.5,1,1)$ и $P(0.75,1,0)$ лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$ ($y=1$). Соединим эти точки отрезком $NP$. Этот отрезок является второй стороной сечения.

3. Плоскости нижней грани $ABCD$ и верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$) параллельны. Плоскость сечения, пересекающая эти параллельные плоскости, образует параллельные линии пересечения. Поскольку отрезок $MP$ лежит в нижней грани, а точка $N$ - в верхней грани, через точку $N$ должна проходить сторона сечения, параллельная $MP$.

4. Найдем вектор $\vec{MP} = (0.75-0.5, 1-0, 0-0) = (0.25, 1, 0)$.

5. Через точку $N(0.5,1,1)$ проведем прямую, параллельную вектору $\vec{MP}$. Эта прямая пересечет ребро $A_1B_1$ в некоторой точке $Q$. Ребро $A_1B_1$ находится в плоскости $y=0$ и $z=1$, поэтому координаты точки $Q$ будут $(x_Q, 0, 1)$. Вектор $\vec{NQ} = (x_Q-0.5, 0-1, 1-1) = (x_Q-0.5, -1, 0)$.

6. Так как $\vec{NQ}$ параллелен $\vec{MP}$, их координаты пропорциональны. Из равенства $y$-координат имеем $k \cdot 1 = -1 \Rightarrow k = -1$. Тогда $x_Q-0.5 = -1 \cdot 0.25 \Rightarrow x_Q = 0.5 - 0.25 = 0.25$. Таким образом, точка $Q$ имеет координаты $(0.25, 0, 1)$. Эта точка лежит на ребре $A_1B_1$, так как $0 \le 0.25 \le 1$.

7. Соединим точки $N$ и $Q$ отрезком $NQ$. Это третья сторона сечения.

8. Соединим точки $Q$ и $M$ отрезком $QM$. Этот отрезок лежит в плоскости передней грани $ABA_1B_1$ ($y=0$) и является четвертой стороной сечения.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MPNQ$ с вершинами $M(0.5,0,0)$, $P(0.75,1,0)$, $N(0.5,1,1)$, $Q(0.25,0,1)$.

Для определения типа четырехугольника проверим векторы $\vec{MP}$ и $\vec{QN}$. Мы уже нашли $\vec{MP} = (0.25, 1, 0)$. Вычислим $\vec{QN} = N-Q = (0.5-0.25, 1-0, 1-1) = (0.25, 1, 0)$. Так как $\vec{MP} = \vec{QN}$, стороны $MP$ и $QN$ не только параллельны, но и равны по длине. Следовательно, четырехугольник $MPNQ$ является параллелограммом.

Ответ: Сечение куба является параллелограммом $MPNQ$, где $M$ - середина ребра $AB$, $P$ - точка на ребре $CD$ на расстоянии 0.75 от $D$, $N$ - середина ребра $C_1D_1$, а $Q$ - точка на ребре $A_1B_1$ на расстоянии 0.25 от $A_1$.

Найдите его площадь

Площадь параллелограмма можно найти как модуль векторного произведения двух векторов, исходящих из одной вершины и образующих его стороны. Возьмем векторы $\vec{MP}$ и $\vec{MQ}$.

Координаты точек: $M(0.5,0,0)$, $P(0.75,1,0)$, $Q(0.25,0,1)$.

Вектор $\vec{MP} = (0.75-0.5, 1-0, 0-0) = (0.25, 1, 0)$.

Вектор $\vec{MQ} = (0.25-0.5, 0-0, 1-0) = (-0.25, 0, 1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{MP} \times \vec{MQ}$:

$\vec{MP} \times \vec{MQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.25 & 1 & 0 \\ -0.25 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0.25 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.25)) + \mathbf{k}(0.25 \cdot 0 - 1 \cdot (-0.25))$

$= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(0.25) + \mathbf{k}(0.25) = (1, -0.25, 0.25)$.

Площадь параллелограмма $S$ равна модулю этого векторного произведения:

$S = |\vec{MP} \times \vec{MQ}| = \sqrt{1^2 + (-0.25)^2 + 0.25^2}$

$S = \sqrt{1 + 0.0625 + 0.0625}$

$S = \sqrt{1 + 0.125}$

Преобразуем десятичную дробь $1.125$ в обыкновенную:

$1.125 = 1 \frac{125}{1000} = 1 \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.

Тогда $S = \sqrt{\frac{9}{8}}$.

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

21. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BC$, $A_1D_1$ и точку на ребре $AD$, отстоящую от вершины $A$ на $0.25$. Найдите его площадь.

Изобразите сечение

Для построения сечения, проходящего через точки $K$, $M$ и $N$, выполним следующие шаги. Точка $M$ является серединой ребра $BC$. Точка $N$ является серединой ребра $A_1D_1$. Точка $K$ лежит на ребре $AD$ так, что $AK = 0.25$ (что составляет одну четвертую длины ребра $AD$, если $A$ - начало ребра).

Соединим точки $K$ и $M$, лежащие в нижней грани куба $ABCD$. Этот отрезок $KM$ является одной из сторон сечения. Соединим точки $K$ и $N$, лежащие в левой грани куба $ADD_1A_1$. Этот отрезок $KN$ является второй стороной сечения.

Чтобы найти остальные вершины, используем свойство параллельных сечений или метод координат. В данном случае, четвертая точка сечения, назовем ее $P_1$, лежит на ребре $B_1C_1$. Из координатного анализа (см. далее в разделе "Найдите его площадь") $P_1$ имеет координаты $(1, 0.75, 1)$. Соединяем $M$ с $P_1$ отрезком $MP_1$ (на правой грани $BCC_1B_1$). Наконец, соединяем $P_1$ с $N$. Отрезок $P_1N$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

Сечением является четырехугольник $KMP_1N$.

Ответ: Изображение сечения представляет собой четырехугольник $KMP_1N$, где $K$ на $AD$ ($AK=0.25$), $M$ - середина $BC$, $N$ - середина $A_1D_1$, и $P_1$ - точка на $B_1C_1$ с координатами $(1, 0.75, 1)$.

Найдите его площадь

Для вычисления площади сечения используем метод координат.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a=1$.

Сечение проходит через:

1. Середину ребра $BC$, точка $M$.

2. Середину ребра $A_1D_1$, точка $N$.

3. Точку на ребре $AD$, точка $K$, такую, что $AK=0.25$.

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (усл. ед.).

Примем вершину $A$ куба за начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин куба:

$A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$

$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$.

Координаты заданных точек сечения:

$K = (0, 0.25, 0)$ (на $AD$, $AK=0.25$)

$M = (1, 0.5, 0)$ (середина $BC$)

$N = (0, 0.5, 1)$ (середина $A_1D_1$)

Найти: Площадь сечения $S$.

Решение

1.Уравнение плоскости сечения:

Найдем векторы $KM$ и $KN$:

$KM = M - K = (1, 0.5, 0) - (0, 0.25, 0) = (1, 0.25, 0)$.

$KN = N - K = (0, 0.5, 1) - (0, 0.25, 0) = (0, 0.25, 1)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = KM \times KN$ вычисляется как векторное произведение:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 & 1 \end{vmatrix} = (0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0.25)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot 0.25 - 0 \cdot 0.25)\mathbf{k} = (0.25, -1, 0.25)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя компоненты вектора нормали $\vec{n}=(0.25, -1, 0.25)$, получаем $0.25x - y + 0.25z + D = 0$.

Подставим координаты одной из известных точек, например $K(0, 0.25, 0)$, для нахождения $D$:

$0.25(0) - 0.25 + 0.25(0) + D = 0 \implies D = 0.25$.

Таким образом, уравнение плоскости: $0.25x - y + 0.25z + 0.25 = 0$. Умножим на 4 для упрощения: $x - 4y + z + 1 = 0$.

2.Нахождение вершин сечения:

Вершины сечения образуются пересечением плоскости с ребрами куба. Мы уже имеем точки $K(0, 0.25, 0)$, $M(1, 0.5, 0)$ и $N(0, 0.5, 1)$.

Найдем четвертую вершину, $P_1$. Она должна лежать на одном из ребер, не затронутых $K, M, N$. Плоскость сечения $x - 4y + z + 1 = 0$ пересекает правую грань куба $BCC_1B_1$, которая соответствует $x=1$. Подставим $x=1$ в уравнение плоскости: $1 - 4y + z + 1 = 0 \implies 4y - z = 2$.

Точка $P_1$ лежит на ребре $B_1C_1$, которое находится в верхней грани куба (т.е. $z=1$) и на правой грани (т.е. $x=1$). Подставим $z=1$ в уравнение $4y - z = 2$: $4y - 1 = 2 \implies 4y = 3 \implies y = 0.75$.

Значит, координаты четвертой вершины $P_1 = (1, 0.75, 1)$. (Эта точка лежит на ребре $B_1C_1$, поскольку ее $y$-координата $0.75$ находится между $0$ и $1$).

Таким образом, вершины сечения: $K(0, 0.25, 0)$, $M(1, 0.5, 0)$, $P_1(1, 0.75, 1)$, $N(0, 0.5, 1)$.

3.Определение типа сечения и вычисление его площади:

Сечение $KMP_1N$ является четырехугольником. Вычислим длины его сторон:

$|KM| = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0.25)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0.25^2} = \sqrt{1 + 0.0625} = \sqrt{1.0625}$.

$|NP_1| = \sqrt{(1-0)^2 + (0.75-0.5)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0.25^2} = \sqrt{1 + 0.0625} = \sqrt{1.0625}$.

$|KN| = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-0.25)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.25^2 + 1^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.

$|MP_1| = \sqrt{(1-1)^2 + (0.75-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.25^2 + 1^2} = \sqrt{0.0625 + 1} = \sqrt{1.0625}$.

Так как все четыре стороны равны, сечение $KMP_1N$ является ромбом.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей. Найдем длины диагоналей $KP_1$ и $MN$:

Диагональ $d_1 = |KP_1| = \sqrt{(1-0)^2 + (0.75-0.25)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0.5^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0.25 + 1} = \sqrt{2.25} = 1.5$.

Диагональ $d_2 = |MN| = \sqrt{(0-1)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Проверим перпендикулярность диагоналей (для ромба диагонали перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю):

Вектор $KP_1 = P_1 - K = (1, 0.75, 1) - (0, 0.25, 0) = (1, 0.5, 1)$.

Вектор $MN = N - M = (0, 0.5, 1) - (1, 0.5, 0) = (-1, 0, 1)$.

Скалярное произведение $KP_1 \cdot MN = (1)(-1) + (0.5)(0) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0$. Диагонали перпендикулярны, что подтверждает, что сечение является ромбом.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины диагоналей.

$S = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Площадь сечения равна $ \frac{3\sqrt{2}}{4} $.

22. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $BC, A_1 D_1$ и точку на ребре $AD$, отстоящую от вершины $D$ на $0,75$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Середину ребра $BC$. Обозначим эту точку $M$.

• Середину ребра $A_1D_1$. Обозначим эту точку $N$.

• Точку на ребре $AD$, отстоящую от вершины $D$ на $0.75$. Обозначим эту точку $K$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ (нижняя грань)

• $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$ (верхняя грань)

Определим координаты заданных точек сечения:

• Точка $M$ - середина ребра $BC$. Координаты $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$. Тогда $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0.5, 0)$.

• Точка $N$ - середина ребра $A_1D_1$. Координаты $A_1(0,0,1)$ и $D_1(0,1,1)$. Тогда $N = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (0, 0.5, 1)$.

• Точка $K$ на ребре $AD$, отстоящая от вершины $D$ на $0.75$. Ребро $AD$ лежит на оси Oy. Координаты $A(0,0,0)$ и $D(0,1,0)$. Расстояние $DK=0.75$. Тогда $K = (0, 1-0.75, 0) = (0, 0.25, 0)$.

Таким образом, сечение проходит через точки $M(1, 0.5, 0)$, $N(0, 0.5, 1)$ и $K(0, 0.25, 0)$.

Изобразить сечение:

Для построения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$.

Вычислим два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$:

$\vec{KM} = M - K = (1-0, 0.5-0.25, 0-0) = (1, 0.25, 0)$

$\vec{KN} = N - K = (0-0, 0.5-0.25, 1-0) = (0, 0.25, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n} = \vec{KM} \times \vec{KN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 & 1 \end{vmatrix} = (0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0.25)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot 0.25 - 0 \cdot 0.25)\mathbf{k} = (0.25, -1, 0.25)$

Для удобства вычислений умножим нормальный вектор на 4: $\vec{n'} = (1, -4, 1)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $K(0, 0.25, 0)$ с нормальным вектором $\vec{n'}=(1, -4, 1)$:

$1(x-0) - 4(y-0.25) + 1(z-0) = 0$

$x - 4y + 1 + z = 0$, или $x - 4y + z + 1 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Сечение представляет собой многоугольник, стороны которого лежат на гранях куба.

• На нижней грани $ABCD$ ($z=0$): $x - 4y + 1 = 0$. Эта прямая проходит через $K(0, 0.25, 0)$ на ребре $AD$ и $M(1, 0.5, 0)$ на ребре $BC$. Отрезок $KM$ является одной из сторон сечения.

• На верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $x - 4y + 1 + 1 = 0 \Rightarrow x - 4y + 2 = 0$. Эта прямая проходит через $N(0, 0.5, 1)$ на ребре $A_1D_1$. Найдем ее пересечение с ребром $B_1C_1$ (уравнения $x=1, z=1$): $1 - 4y + 2 = 0 \Rightarrow 4y = 3 \Rightarrow y = 0.75$. Обозначим эту точку $P_1(1, 0.75, 1)$. Отрезок $NP_1$ является стороной сечения.

• На грани $ADD_1A_1$ ($x=0$): $-4y + z + 1 = 0$. Эта прямая проходит через $K(0, 0.25, 0)$ на ребре $AD$ и $N(0, 0.5, 1)$ на ребре $A_1D_1$. Отрезок $KN$ является стороной сечения.

• На грани $BCC_1B_1$ ($x=1$): $1 - 4y + z + 1 = 0 \Rightarrow -4y + z + 2 = 0$. Эта прямая проходит через $M(1, 0.5, 0)$ на ребре $BC$. Найдем ее пересечение с ребром $B_1C_1$ (уравнения $z=1, x=1$): $-4y + 1 + 2 = 0 \Rightarrow 4y = 3 \Rightarrow y = 0.75$. Это уже найденная точка $P_1(1, 0.75, 1)$. Отрезок $MP_1$ является стороной сечения.

Таким образом, сечение является четырехугольником с вершинами $K(0, 0.25, 0)$, $M(1, 0.5, 0)$, $P_1(1, 0.75, 1)$, $N(0, 0.5, 1)$.

Проверим тип этого четырехугольника. Найдем векторы его сторон:

• $\vec{KM} = (1, 0.25, 0)$

• $\vec{NP_1} = (1-0, 0.75-0.5, 1-1) = (1, 0.25, 0)$

• $\vec{KN} = (0, 0.25, 1)$

• $\vec{MP_1} = (1-1, 0.75-0.5, 1-0) = (0, 0.25, 1)$

Так как $\vec{KM} = \vec{NP_1}$ и $\vec{KN} = \vec{MP_1}$, то четырехугольник $KMP_1N$ является параллелограммом.

Вычислим длины смежных сторон:

$|\vec{KM}| = \sqrt{1^2 + (0.25)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + (1/4)^2} = \sqrt{1 + 1/16} = \sqrt{17/16} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

$|\vec{KN}| = \sqrt{0^2 + (0.25)^2 + 1^2} = \sqrt{(1/4)^2 + 1} = \sqrt{1/16 + 1} = \sqrt{17/16} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

Поскольку длины смежных сторон равны ($|\vec{KM}| = |\vec{KN}|$), то параллелограмм $KMP_1N$ является ромбом.

Найти его площадь:

Площадь параллелограмма (или ромба) можно найти как модуль векторного произведения двух его смежных сторон.

$S = |\vec{KM} \times \vec{KN}|$. Мы уже вычислили $\vec{KM} \times \vec{KN} = (0.25, -1, 0.25)$.

$S = \sqrt{(0.25)^2 + (-1)^2 + (0.25)^2} = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (-1)^2 + (\frac{1}{4})^2}$

$S = \sqrt{\frac{1}{16} + 1 + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{1+16+1}{16}} = \sqrt{\frac{18}{16}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$

Для удаления иррациональности из знаменателя, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

$\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

23. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD$, $B_1C_1$ и точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $B$ на $0.25$. Найдите его площадь.

24. Изобразить сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через:

• Середину ребра $AD$.

• Середину ребра $B_1C_1$.

• Точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $B$ на $0.25$ от длины ребра.

Перевод данных в систему СИ:

• Длина ребра куба: $a = 1$ у.е. (условная единица)

• Расстояние от $B$ до точки на $BC$: $BK = 0.25 \cdot a = 0.25$ у.е.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение

Обозначим длину ребра куба как $a = 1$.

Обозначим точки, через которые проходит сечение:

• Пусть $M$ - середина ребра $AD$. Тогда $AM = MD = a/2 = 0.5$.

• Пусть $N$ - середина ребра $B_1C_1$. Тогда $B_1N = NC_1 = a/2 = 0.5$.

• Пусть $K$ - точка на ребре $BC$, отстоящая от вершины $B$ на $0.25$. Тогда $BK = 0.25$.

Построение сечения

Для удобства построения и вычислений введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$ (нижняя грань)

• $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$ (верхняя грань)

Координаты заданных точек:

• $M$ - середина $AD$. $A=(0,0,0)$, $D=(0,1,0)$. Значит $M=(0, 0.5, 0)$.

• $N$ - середина $B_1C_1$. $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$. Значит $N=(1, 0.5, 1)$.

• $K$ - на $BC$ так, что $BK=0.25$. $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$. Координата $y$ для точки $K$ будет $0.25$. Значит $K=(1, 0.25, 0)$.

Плоскость сечения проходит через точки $M(0, 0.5, 0)$, $K(1, 0.25, 0)$, $N(1, 0.5, 1)$.

• Точки $M$ и $K$ лежат в одной грани ($ABCD$). Соединим их отрезком $MK$.

• Точки $N$ и $K$ лежат в одной грани ($BCC_1B_1$). Соединим их отрезком $NK$.

• Для нахождения остальных вершин сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через $M, K, N$.

  Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{MK} = K-M = (1-0, 0.25-0.5, 0-0) = (1, -0.25, 0)$.

  $\vec{MN} = N-M = (1-0, 0.5-0.5, 1-0) = (1, 0, 1)$.

  Нормальный вектор плоскости $\vec{n} = \vec{MK} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.25 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - (-0.25) \cdot 1) = (-0.25, -1, 0.25)$.

  Удобнее использовать пропорциональный ему вектор $\vec{n'} = (1, 4, -1)$ (умножив на $-4$).

  Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя $\vec{n'} = (1, 4, -1)$, получаем $x + 4y - z + D = 0$.

  Подставим координаты точки $M(0, 0.5, 0)$ в уравнение: $0 + 4(0.5) - 0 + D = 0 \Rightarrow 2 + D = 0 \Rightarrow D = -2$.

  Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x + 4y - z - 2 = 0$.

• Найдем точку пересечения плоскости сечения с ребром $A_1D_1$. Это ребро находится на линии $x=0$ и $z=1$.

  Подставим $x=0$ и $z=1$ в уравнение плоскости: $0 + 4y - 1 - 2 = 0 \Rightarrow 4y = 3 \Rightarrow y = 0.75$.

  Обозначим эту точку $P$. Её координаты $P=(0, 0.75, 1)$. Эта точка лежит на ребре $A_1D_1$, так как $A_1=(0,0,1)$, $D_1=(0,1,1)$ и $0 \le 0.75 \le 1$.

• Соединим точки $M$ и $P$. Отрезок $MP$ лежит в грани $ADD_1A_1$.

• Соединим точки $N$ и $P$. Отрезок $NP$ лежит в грани $A_1B_1C_1D_1$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MKNP$ с вершинами:

• $M(0, 0.5, 0)$

• $K(1, 0.25, 0)$

• $N(1, 0.5, 1)$

• $P(0, 0.75, 1)$

Проверим тип четырехугольника. Вектор $\vec{MK} = (1, -0.25, 0)$. Вектор $\vec{PN} = (1-0, 0.5-0.75, 1-1) = (1, -0.25, 0)$. Поскольку $\vec{MK} = \vec{PN}$, стороны $MK$ и $PN$ параллельны и равны по длине. Следовательно, $MKNP$ является параллелограммом.

Вычисление площади сечения

Поскольку $MKNP$ является параллелограммом, его площадь можно вычислить как модуль векторного произведения векторов, образующих две смежные стороны, например $\vec{MK}$ и $\vec{MP}$.

$\vec{MK} = (1, -0.25, 0)$.

$\vec{MP} = P-M = (0-0, 0.75-0.5, 1-0) = (0, 0.25, 1)$.

Векторное произведение $\vec{MK} \times \vec{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.25 & 0 \\ 0 & 0.25 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0.25) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.25 - 0 \cdot (-0.25)) = (-0.25, -1, 0.25)$.

Площадь $S$ равна модулю этого вектора:

$S = \left\| (-0.25, -1, 0.25) \right\| = \sqrt{(-0.25)^2 + (-1)^2 + (0.25)^2}$

$S = \sqrt{(1/4)^2 + 1^2 + (1/4)^2} = \sqrt{1/16 + 1 + 1/16} = \sqrt{2/16 + 1} = \sqrt{1/8 + 1} = \sqrt{9/8}$

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$ у.е.$^2$.

Альтернативный способ: через диагонали ромба.

Длины смежных сторон $MK$ и $MP$ равны:

$MK = \sqrt{1^2 + (-0.25)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1/16} = \sqrt{17/16} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

$MP = \sqrt{0^2 + (0.25)^2 + 1^2} = \sqrt{1/16 + 1} = \sqrt{17/16} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

Так как $MK = MP$, параллелограмм $MKNP$ является ромбом. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Найдем длины диагоналей $MN$ и $KP$.

$MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

$KP = \sqrt{(0-1)^2 + (0.75-0.25)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (0.5)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0.25 + 1} = \sqrt{2.25} = 1.5 = \frac{3}{2}$.

Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot KP = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$ у.е.$^2$.

Ответ:

Сечение является ромбом с вершинами $M=(0, 0.5, 0)$, $K=(1, 0.25, 0)$, $N=(1, 0.5, 1)$, $P=(0, 0.75, 1)$. Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ у.е.$^2$.

24. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD$, $B_1C_1$ и точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $B$ на $0,75$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a = 1$.
Сечение проходит через следующие точки:

1. Середина ребра $AD$ (обозначим ее $M$).

2. Середина ребра $B_1C_1$ (обозначим ее $N$).

3. Точка на ребре $BC$, отстоящая от вершины $B$ на 0,75 (обозначим ее $P$).

Перевод в систему СИ:
Данные задачи представлены в безразмерных единицах (единичный куб, относительные расстояния), поэтому перевод в систему СИ не требуется. Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:
Площадь сечения куба.

Решение:

1. Определение координат точек.

Установим декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно. Так как куб единичный, длина каждого ребра равна 1.

Координаты вершин куба:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Координаты заданных точек:

Точка $M$ - середина ребра $AD$. Ребро $AD$ лежит на оси $y$ (от $A(0,0,0)$ до $D(0,1,0)$). Поэтому $M = (0, 0.5, 0)$.

Точка $N$ - середина ребра $B_1C_1$. Ребро $B_1C_1$ параллельно оси $y$ и находится в плоскости $z=1, x=1$ (от $B_1(1,0,1)$ до $C_1(1,1,1)$). Поэтому $N = (1, 0.5, 1)$.

Точка $P$ на ребре $BC$ отстоит от вершины $B$ на 0,75. Ребро $BC$ параллельно оси $y$ и находится в плоскости $z=0, x=1$ (от $B(1,0,0)$ до $C(1,1,0)$). $P$ имеет координаты $x=1, z=0$, а $y$-координата равна $0 + 0.75 = 0.75$. Поэтому $P = (1, 0.75, 0)$.

2. Построение сечения.

Сечение проходит через точки $M(0, 0.5, 0)$, $N(1, 0.5, 1)$, $P(1, 0.75, 0)$.

Определим уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{MP}$ и $\vec{MN}$.

$\vec{MP} = P - M = (1, 0.75, 0) - (0, 0.5, 0) = (1, 0.25, 0)$.

$\vec{MN} = N - M = (1, 0.5, 1) - (0, 0.5, 0) = (1, 0, 1)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ перпендикулярен обоим векторам. Его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{MP} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.25 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 0.25 \cdot 1) = (0.25, -1, -0.25)$.

Для удобства вычислений умножим координаты вектора нормали на 4 (это не меняет направление нормали, а лишь ее длину): $\vec{n} = (1, -4, -1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим координаты вектора нормали: $1x - 4y - 1z + D = 0$.

Используем координаты точки $M(0, 0.5, 0)$ для нахождения $D$: $1(0) - 4(0.5) - 1(0) + D = 0 \Rightarrow -2 + D = 0 \Rightarrow D = 2$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x - 4y - z + 2 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба.

У нас уже есть точки $M$ на $AD$, $P$ на $BC$, $N$ на $B_1C_1$.

1. Пересечение с ребром $A_1D_1$ (для точек на этом ребре $x=0$ и $z=1$):

$0 - 4y - 1 + 2 = 0 \Rightarrow -4y + 1 = 0 \Rightarrow y = 0.25$.

Точка $Q(0, 0.25, 1)$. Эта точка лежит на ребре $A_1D_1$, так как $0 \le 0.25 \le 1$.

Таким образом, сечение является четырехугольником $MPNQ$ с вершинами:

$M(0, 0.5, 0)$

$P(1, 0.75, 0)$

$N(1, 0.5, 1)$

$Q(0, 0.25, 1)$

Сечение визуально будет представлять собой плоскую фигуру, проходящую через указанные точки на соответствующих ребрах куба.

3. Вычисление площади сечения.

Чтобы вычислить площадь четырехугольника $MPNQ$, сначала определим его тип. Найдем векторы его сторон:

$\vec{MP} = P - M = (1, 0.75, 0) - (0, 0.5, 0) = (1, 0.25, 0)$.

$\vec{QN} = N - Q = (1, 0.5, 1) - (0, 0.25, 1) = (1, 0.25, 0)$.

Поскольку $\vec{MP} = \vec{QN}$, стороны $MP$ и $QN$ параллельны и равны по длине.

$\vec{MQ} = Q - M = (0, 0.25, 1) - (0, 0.5, 0) = (0, -0.25, 1)$.

$\vec{PN} = N - P = (1, 0.5, 1) - (1, 0.75, 0) = (0, -0.25, 1)$.

Поскольку $\vec{MQ} = \vec{PN}$, стороны $MQ$ и $PN$ также параллельны и равны по длине.

Так как противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны и равны, $MPNQ$ является параллелограммом.

Площадь параллелограмма можно найти как модуль векторного произведения двух смежных сторон. Возьмем стороны $\vec{MP}$ и $\vec{MQ}$.

$\vec{MP} = (1, 0.25, 0)$.

$\vec{MQ} = (0, -0.25, 1)$.

Векторное произведение $\vec{MP} \times \vec{MQ}$:

$\vec{MP} \times \vec{MQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.25 & 0 \\ 0 & -0.25 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.25 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.25)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-0.25) - 0.25 \cdot 0)$

$= (0.25, -1, -0.25)$.

Площадь $S$ параллелограмма равна модулю этого векторного произведения:

$S = |\vec{MP} \times \vec{MQ}| = \sqrt{(0.25)^2 + (-1)^2 + (-0.25)^2}$.

Для точных вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные: $0.25 = \frac{1}{4}$.

$S = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + (-1)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + 1 + \frac{1}{16}}$.

$S = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{1+8}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$.

Извлечем корень:

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{\sqrt{4 \cdot 2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.

Для устранения иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $S = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

25. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$, $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$, $CC_1$.

Найти:

1. Изобразить сечение (описать его вершины и форму).

2. Найти площадь сечения.

Решение

1. Изображение сечения

Для определения сечения введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Так как куб единичный, координаты вершин будут принадлежать диапазону от 0 до 1.

Тогда координаты заданных середин ребер будут:

• Середина ребра $AB$: $M = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$
• Середина ребра $BC$: $N = \left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$
• Середина ребра $CC_1$: $P = \left(1, 1, \frac{1}{2}\right)$

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$. Подставляя координаты точек, получаем систему уравнений:

• $A\left(\frac{1}{2}\right) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow A = 2D$
• $A(1) + B\left(\frac{1}{2}\right) + C(0) = D \Rightarrow A + \frac{B}{2} = D$
• $A(1) + B(1) + C\left(\frac{1}{2}\right) = D \Rightarrow A + B + \frac{C}{2} = D$

Решая систему, получаем $A=2D$, $B=-2D$, $C=2D$. Разделив на $D$ (при $D \neq 0$), получаем уравнение плоскости: $2x - 2y + 2z = 1$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба ($0 \le x,y,z \le 1$):

• С ребром $AA_1$ ($x=0, y=0$): $2(0) - 2(0) + 2z = 1 \Rightarrow 2z = 1 \Rightarrow z = \frac{1}{2}$. Получаем точку $Q = \left(0, 0, \frac{1}{2}\right)$, которая является серединой ребра $AA_1$.
• С ребром $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x - 2(1) + 2(1) = 1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Получаем точку $R = \left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$, которая является серединой ребра $C_1D_1$.
• С ребром $D_1A_1$ ($x=0, z=1$): $2(0) - 2y + 2(1) = 1 \Rightarrow 2 - 2y = 1 \Rightarrow 2y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$. Получаем точку $S = \left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$, которая является серединой ребра $D_1A_1$.

Таким образом, сечение является шестиугольником, вершинами которого являются середины ребер куба: $M\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$, $N\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$, $P\left(1, 1, \frac{1}{2}\right)$, $R\left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$, $S\left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$, $Q\left(0, 0, \frac{1}{2}\right)$. Сечение $MNPRSQ$ является правильным шестиугольником, так как все его стороны равны, что будет показано в следующем пункте.

Ответ: Сечение представляет собой правильный шестиугольник $MNPRSQ$, где $M, N, P, R, S, Q$ - середины ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1, AA_1$ соответственно.

2. Нахождение площади сечения

Для нахождения площади правильного шестиугольника $MNPRSQ$ достаточно найти длину его стороны. Возьмем, например, сторону $MN$. Используем формулу расстояния между двумя точками:

$L = MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2}$

$L = \sqrt{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2}$

$L = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Площадь правильного шестиугольника со стороной $L$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} L^2$

Подставляем значение $L = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

26. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BC$, $CD$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.Сечение проходит через середины ребер $BC$, $CD$, $DD_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ единица длины.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Для удобства расчетов поместим куб в декартову систему координат. Пусть вершина $D$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребро $DC$ лежит вдоль оси $x$, $DA$ вдоль оси $y$, и $DD_1$ вдоль оси $z$. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$.

Координаты вершин куба:

• $D = (0,0,0)$
• $C = (1,0,0)$
• $B = (1,1,0)$
• $A = (0,1,0)$
• $D_1 = (0,0,1)$
• $C_1 = (1,0,1)$
• $B_1 = (1,1,1)$
• $A_1 = (0,1,1)$

Найдем координаты середин заданных ребер:

• Середина ребра $BC$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.
• Середина ребра $CD$: $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 0, 0)$.
• Середина ребра $DD_1$: $P = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 0, 0.5)$.

Сечение определяется плоскостью, проходящей через точки $M, N, P$. Найдем уравнение этой плоскости $Ax + By + Cz + D' = 0$.

Подставляем координаты точек:

• Для $M(1, 0.5, 0)$: $A(1) + B(0.5) + C(0) + D' = 0 \Rightarrow A + 0.5B + D' = 0$.
• Для $N(0.5, 0, 0)$: $A(0.5) + B(0) + C(0) + D' = 0 \Rightarrow 0.5A + D' = 0$.
• Для $P(0, 0, 0.5)$: $A(0) + B(0) + C(0.5) + D' = 0 \Rightarrow 0.5C + D' = 0$.

Из второго уравнения: $A = -2D'$. Из третьего уравнения: $C = -2D'$.

Подставим $A = -2D'$ в первое уравнение:$-2D' + 0.5B + D' = 0 \Rightarrow -D' + 0.5B = 0 \Rightarrow 0.5B = D' \Rightarrow B = 2D'$.

Пусть $D' = -1$ (для упрощения). Тогда $A=2, B=-2, C=2$.Уравнение плоскости сечения: $2x - 2y + 2z - 1 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Ребра куба лежат в диапазоне $x, y, z \in [0,1]$.

• Пересечение с ребром $BB_1$ (где $x=1, y=1, z \in [0,1]$): $2(1) - 2(1) + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2 + 2z - 1 = 0 \Rightarrow 2z - 1 = 0 \Rightarrow z = 0.5$. Точка $S = (1, 1, 0.5)$. Это середина ребра $BB_1$.
• Пересечение с ребром $A_1B_1$ (где $y=1, z=1, x \in [0,1]$): $2x - 2(1) + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x - 2 + 2 - 1 = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$. Точка $Q = (0.5, 1, 1)$. Это середина ребра $A_1B_1$.
• Пересечение с ребром $A_1D_1$ (где $x=0, z=1, y \in [0,1]$): $2(0) - 2y + 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow -2y + 2 - 1 = 0 \Rightarrow -2y + 1 = 0 \Rightarrow y = 0.5$. Точка $R = (0, 0.5, 1)$. Это середина ребра $A_1D_1$.

Таким образом, сечение является шестиугольником, вершинами которого являются:$M(1, 0.5, 0)$ (середина $BC$)$N(0.5, 0, 0)$ (середина $CD$)$P(0, 0, 0.5)$ (середина $DD_1$)$R(0, 0.5, 1)$ (середина $A_1D_1$)$Q(0.5, 1, 1)$ (середина $A_1B_1$)$S(1, 1, 0.5)$ (середина $BB_1$)

Это сечение представляет собой правильный шестиугольник, так как его плоскость перпендикулярна главной диагонали $AC_1$ куба и проходит через его центр.

Найдите его площадь

Для вычисления площади правильного шестиугольника необходимо найти длину его стороны. Возьмем, к примеру, сторону $MN$:

$l = MN = \sqrt{(x_M - x_N)^2 + (y_M - y_N)^2 + (z_M - z_N)^2}$

$l = \sqrt{(1 - 0.5)^2 + (0.5 - 0)^2 + (0 - 0)^2}$

$l = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $l$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}l^2$

Подставим значение $l = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$l^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ квадратных единиц.

27. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $CD, AD, AA_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a = 1$ (единица длины).

Сечение проходит через:

• Середину ребра $CD$, назовем ее $M$.

• Середину ребра $AD$, назовем ее $N$.

• Середину ребра $AA_1$, назовем ее $P$.

Найти:

1. Изобразить сечение (описать его).

2. Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $CD$, $AD$, $AA_1$.

Пусть $M$ - середина ребра $CD$, $N$ - середина ребра $AD$, $P$ - середина ребра $AA_1$.

Эти три точки $M$, $N$, $P$ не лежат на одной прямой. Так как три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость, сечение куба этой плоскостью является многоугольником. В данном случае, поскольку все три точки лежат на ребрах куба, сечением будет многоугольник, образованный соединением этих точек.

Для определения формы сечения необходимо рассмотреть соединение точек:

1. Точки $N$ и $M$ являются серединами ребер $AD$ и $CD$ соответственно и лежат в плоскости основания куба $ABCD$. Отрезок $NM$ является частью сечения.

2. Точки $N$ и $P$ являются серединами ребер $AD$ и $AA_1$ соответственно и лежат в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$. Отрезок $NP$ является частью сечения.

3. Точки $M$ и $P$ лежат на ребрах $CD$ и $AA_1$ соответственно. Эти ребра являются скрещивающимися, и отрезок $MP$ соединяет эти точки в пространстве.

Таким образом, поскольку плоскость сечения определяется тремя данными точками, а все эти точки лежат на ребрах куба, сечение представляет собой треугольник $MNP$.

Ответ: Сечением является треугольник $MNP$.

Найдите его площадь.

Сторона единичного куба $a=1$.

Рассчитаем длины сторон треугольника $MNP$.

1. Длина отрезка $MN$:

Точки $N$ и $M$ являются серединами ребер $AD$ и $CD$ соответственно. $ND = AD/2 = a/2 = 1/2$ и $MD = CD/2 = a/2 = 1/2$. В грани $ABCD$ треугольник $NDM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

По теореме Пифагора:

$MN^2 = ND^2 + MD^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2$.

$MN = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Длина отрезка $PN$:

Точки $P$ и $N$ являются серединами ребер $AA_1$ и $AD$ соответственно. $AP = AA_1/2 = a/2 = 1/2$ и $AN = AD/2 = a/2 = 1/2$. В грани $ADD_1A_1$ треугольник $PAN$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора:

$PN^2 = AP^2 + AN^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2$.

$PN = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Длина отрезка $PM$:

Точки $P$ и $M$ являются серединами ребер $AA_1$ и $CD$ соответственно. Для нахождения длины $PM$ воспользуемся методом координат. Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Координаты точки $P$ (середина $AA_1$): $P = (0, 0, 1/2)$.

Координаты точки $M$ (середина $CD$): $M = (\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1/2, 1, 0)$.

Расстояние между двумя точками $P(x_P, y_P, z_P)$ и $M(x_M, y_M, z_M)$ в пространстве вычисляется по формуле:

$PM^2 = (x_M - x_P)^2 + (y_M - y_P)^2 + (z_M - z_P)^2$.

$PM^2 = (1/2 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 1/2)^2 = (1/2)^2 + 1^2 + (-1/2)^2 = 1/4 + 1 + 1/4 = 1 + 1/2 = 3/2$.

$PM = \sqrt{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Таким образом, стороны треугольника $MNP$ равны: $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $PN = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $PM = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Так как $MN=PN$, треугольник $MNP$ является равнобедренным.

Площадь треугольника можно найти, используя векторное произведение двух его сторон, например, векторов $\vec{NM}$ и $\vec{NP}$.

Вектор $\vec{NM} = M - N = (1/2 - 0, 1 - 1/2, 0 - 0) = (1/2, 1/2, 0)$.

Вектор $\vec{NP} = P - N = (0 - 0, 0 - 1/2, 1/2 - 0) = (0, -1/2, 1/2)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{NM} \times \vec{NP}$:

$\vec{NM} \times \vec{NP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1/2 \cdot 1/2 - 0 \cdot (-1/2)) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1/2 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1/2 \cdot (-1/2) - 1/2 \cdot 0)$

$ = \mathbf{i}(1/4) - \mathbf{j}(1/4) + \mathbf{k}(-1/4) = (1/4, -1/4, -1/4)$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{NM} \times \vec{NP}| = \sqrt{(1/4)^2 + (-1/4)^2 + (-1/4)^2} = \sqrt{1/16 + 1/16 + 1/16} = \sqrt{3/16} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площадь треугольника $MNP$ равна половине модуля векторного произведения:

$S_{MNP} = \frac{1}{2} |\vec{NM} \times \vec{NP}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{3}}{8}$ квадратных единиц.

28. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD, AB, BB_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AD$, $AB$, $BB_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ м (или просто 1, так как в задаче не указаны единицы измерения, площадь будет в квадратных единицах).

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Расположим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат вдоль положительных направлений осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$.

Определим координаты вершин, через которые проходит сечение:

• Середина ребра $AD$. Вершина $A=(0,0,0)$, вершина $D=(0,1,0)$. Середина $K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 1/2, 0)$.
• Середина ребра $AB$. Вершина $A=(0,0,0)$, вершина $B=(1,0,0)$. Середина $L = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1/2, 0, 0)$.
• Середина ребра $BB_1$. Вершина $B=(1,0,0)$, вершина $B_1=(1,0,1)$. Середина $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, 1/2)$.

Эти три точки $K, L, M$ определяют плоскость сечения. Найдем уравнение этой плоскости. Для этого сначала вычислим два вектора, лежащих в плоскости:

Вектор $\vec{KL} = L - K = (1/2 - 0, 0 - 1/2, 0 - 0) = (1/2, -1/2, 0)$.

Вектор $\vec{LM} = M - L = (1 - 1/2, 0 - 0, 1/2 - 0) = (1/2, 0, 1/2)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{KL} \times \vec{LM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot 0 - (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}) = (-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$.

Для удобства дальнейших вычислений можем использовать пропорциональный нормальный вектор, например, $\vec{n'} = (1, 1, -1)$ (умножив $\vec{n}$ на $-4$).

Уравнение плоскости, проходящей через точку $L(1/2, 0, 0)$ с нормальным вектором $(1, 1, -1)$, имеет вид:

$1 \cdot (x - 1/2) + 1 \cdot (y - 0) - 1 \cdot (z - 0) = 0$

$x - 1/2 + y - z = 0$

$x + y - z = 1/2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Координаты вершин куба для справки: $A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A_1(0,0,1), B_1(1,0,1), C_1(1,1,1), D_1(0,1,1)$.

• Пересечение с ребром $DD_1$: Точки на $DD_1$ имеют координаты $(0,1,z)$ при $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $0 + 1 - z = 1/2 \implies z = 1/2$. Точка пересечения $N = (0, 1, 1/2)$. Это середина ребра $DD_1$.
• Пересечение с ребром $C_1D_1$: Точки на $C_1D_1$ имеют координаты $(x,1,1)$ при $0 \le x \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $x + 1 - 1 = 1/2 \implies x = 1/2$. Точка пересечения $Q = (1/2, 1, 1)$. Это середина ребра $C_1D_1$.
• Пересечение с ребром $B_1C_1$: Точки на $B_1C_1$ имеют координаты $(1,y,1)$ при $0 \le y \le 1$. Подставим в уравнение плоскости: $1 + y - 1 = 1/2 \implies y = 1/2$. Точка пересечения $P = (1, 1/2, 1)$. Это середина ребра $B_1C_1$.

Таким образом, сечение является шестиугольником $KLMPQN$ с вершинами:

$K(0, 1/2, 0)$

$L(1/2, 0, 0)$

$M(1, 0, 1/2)$

$P(1, 1/2, 1)$

$Q(1/2, 1, 1)$

$N(0, 1, 1/2)$

Теперь найдем длины сторон этого шестиугольника. Поскольку длина ребра куба $a=1$:

• $KL = \sqrt{(1/2-0)^2 + (0-1/2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $LM = \sqrt{(1-1/2)^2 + (0-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $MP = \sqrt{(1-1)^2 + (1/2-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{0 + 1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $PQ = \sqrt{(1/2-1)^2 + (1-1/2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4 + 0} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $QN = \sqrt{(0-1/2)^2 + (1-1)^2 + (1/2-1)^2} = \sqrt{1/4 + 0 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $NK = \sqrt{(0-0)^2 + (1/2-1)^2 + (0-1/2)^2} = \sqrt{0 + 1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Все стороны шестиугольника равны $s = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку все стороны равны и углы равны (это следует из симметрии расположения вершин относительно центра куба), шестиугольник является правильным.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.

Подставим значение $s = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в формулу площади:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

29. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A, C$ и середину ребра $C_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.Длина ребра куба: $a = 1$.Сечение проходит через вершины $A$, $C$ и середину ребра $C_1D_1$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем декартову систему координат с началом в вершине $A=(0,0,0)$.

Координаты вершин куба:

$A=(0,0,0)$$B=(1,0,0)$$C=(1,1,0)$$D=(0,1,0)$

$A_1=(0,0,1)$$B_1=(1,0,1)$$C_1=(1,1,1)$$D_1=(0,1,1)$

Точки, через которые проходит сечение:

Вершина $A=(0,0,0)$.

Вершина $C=(1,1,0)$.

Середина ребра $C_1D_1$. Обозначим эту точку $M$.Координаты $M$ вычисляются как среднее арифметическое координат $C_1$ и $D_1$:$M = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$.

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $C$ и середину ребра $C_1D_1$.

1. Начнем с соединения точек $A$ и $C$, которые лежат в одной грани (нижней грани $ABCD$). Отрезок $AC$ является частью сечения.

2. Далее соединим точки $C$ и $M$. Отрезок $CM$ также является частью сечения. Он лежит в задней грани $CDD_1C_1$.

3. Так как верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$, то линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью должна быть параллельна линии пересечения с нижней гранью ($AC$). Эта параллельная линия должна проходить через точку $M$.

   Отрезок $AC$ находится в плоскости $z=0$ и соединяет $(0,0,0)$ и $(1,1,0)$. Его проекция на ось XY имеет уравнение $y=x$.
   Отрезок $A_1C_1$ в плоскости $z=1$ соединяет $(0,0,1)$ и $(1,1,1)$. Его проекция на ось XY также имеет уравнение $y=x$.
   Прямая, проходящая через $M(\frac{1}{2}, 1, 1)$ в плоскости $z=1$ и параллельная $A_1C_1$, имеет уравнение $y-1 = 1 \cdot (x - \frac{1}{2})$, что упрощается до $y = x + \frac{1}{2}$.

   Найдем точку пересечения этой прямой с ребром $A_1D_1$. Ребро $A_1D_1$ лежит в плоскости $x=0$ и имеет координаты $A_1=(0,0,1)$, $D_1=(0,1,1)$.
   Подставим $x=0$ в уравнение прямой $y = x + \frac{1}{2}$: $y = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
   Таким образом, точка пересечения $N$ имеет координаты $(0, \frac{1}{2}, 1)$. Эта точка является серединой ребра $A_1D_1$.

4. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

5. Наконец, соединим точки $N$ и $A$. Отрезок $NA$ лежит в левой грани $ADD_1A_1$.

Таким образом, сечение является четырехугольником $ACMN$.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $ACMN$, где $A$ и $C$ — вершины куба, $M$ — середина ребра $C_1D_1$, а $N$ — середина ребра $A_1D_1$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади четырехугольника $ACMN$ воспользуемся методом триангуляции, разбив его на два треугольника: $\triangle ACM$ и $\triangle ANM$.

Координаты вершин: $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$, $M(1/2,1,1)$, $N(0,1/2,1)$.

Площадь $\triangle ACM$:

Векторы сторон треугольника:
$\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$
$\vec{AM} = M - A = (1/2-0, 1-0, 1-0) = (1/2,1,1)$
Векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AM}$:
$\vec{AC} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1/2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1/2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1/2)$
$= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1/2) = (1, -1, 1/2)$
Модуль векторного произведения:
$|\vec{AC} \times \vec{AM}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1/4} = \sqrt{2 + 1/4} = \sqrt{9/4} = \frac{3}{2}$
Площадь $\triangle ACM = \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AM}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

Площадь $\triangle ANM$:

Векторы сторон треугольника:
$\vec{AN} = N - A = (0-0, 1/2-0, 1-0) = (0,1/2,1)$
$\vec{AM} = M - A = (1/2,1,1)$ (вектор $\vec{AM}$ уже вычислен ранее)
Векторное произведение $\vec{AN} \times \vec{AM}$:
$\vec{AN} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1/2 & 1 \\ 1/2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1/2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1/2) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1/2 \cdot 1/2)$
$= \mathbf{i}(1/2 - 1) - \mathbf{j}(-1/2) + \mathbf{k}(-1/4) = (-1/2, 1/2, -1/4)$
Модуль векторного произведения:
$|\vec{AN} \times \vec{AM}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (1/2)^2 + (-1/4)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4 + 1/16} = \sqrt{4/16 + 4/16 + 1/16} = \sqrt{9/16} = \frac{3}{4}$
Площадь $\triangle ANM = \frac{1}{2} |\vec{AN} \times \vec{AM}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Полная площадь сечения $S_{ACMN}$ равна сумме площадей треугольников $\triangle ACM$ и $\triangle ANM$:
$S_{ACMN} = S_{\triangle ACM} + S_{\triangle ANM} = \frac{3}{4} + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$.

30. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $C$ и середину ребра $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a=1$.
Сечение проходит через вершины $A$, $C$ и середину ребра $B_1C_1$.

Перевод данных в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины). Поскольку это геометрическая задача, конкретные единицы измерения не требуются, расчеты проводятся в условных единицах.

Найти:

Форму сечения и его площадь.

Решение:

Для удобства размещения куба в декартовой системе координат, пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба равна $1$.

Тогда координаты вершин куба:$A=(0,0,0)$
$B=(1,0,0)$
$C=(1,1,0)$
$D=(0,1,0)$
$A_1=(0,0,1)$
$B_1=(1,0,1)$
$C_1=(1,1,1)$
$D_1=(0,1,1)$

Заданные точки сечения:1. Вершина $A = (0,0,0)$.2. Вершина $C = (1,1,0)$.3. Середина ребра $B_1C_1$. Обозначим эту точку $M$. Координаты $B_1(1,0,1)$ и $C_1(1,1,1)$.
$M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 0.5, 1)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$ и $M(1,0.5,1)$.Векторы, лежащие в этой плоскости, исходящие из $A$:$\vec{AC} = C - A = (1,1,0) - (0,0,0) = (1,1,0)$.
$\vec{AM} = M - A = (1,0.5,1) - (0,0,0) = (1,0.5,1)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{AC} \times \vec{AM}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - 1 \cdot 1) = \mathbf{i} - \mathbf{j} - 0.5\mathbf{k} = (1, -1, -0.5)$.
Для удобства расчетов можно использовать нормальный вектор, умноженный на $-2$: $\vec{n'} = (-2, 2, 1)$.Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя $\vec{n'} = (-2, 2, 1)$:$-2x + 2y + z + D = 0$.
Так как плоскость проходит через $A(0,0,0)$, подставим координаты $A$:$-2(0) + 2(0) + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.
Таким образом, уравнение плоскости сечения: $-2x + 2y + z = 0$ или $2x - 2y - z = 0$.

Определим все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, чтобы изобразить сечение:1. Пересечение с нижней гранью $ABCD$ ($z=0$): $2x - 2y = 0 \Rightarrow y=x$. На этой грани точки $A(0,0,0)$ и $C(1,1,0)$ удовлетворяют условию $y=x$. Следовательно, отрезок $AC$ является частью сечения.2. Пересечение с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $2x - 2y - 1 = 0 \Rightarrow 2x - 2y = 1$. - Ребро $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $2x - 2(0) - 1 = 0 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=0.5$. Это точка $N=(0.5,0,1)$, которая является серединой ребра $A_1B_1$. - Ребро $B_1C_1$ ($x=1, z=1$): $2(1) - 2y - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 2y = 0 \Rightarrow y=0.5$. Это точка $M=(1,0.5,1)$, которая является серединой ребра $B_1C_1$ (уже известна). - Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x - 2(1) - 1 = 0 \Rightarrow 2x - 3 = 0 \Rightarrow x=1.5$. Эта точка лежит вне ребра ($0 \le x \le 1$), поэтому пересечения нет. - Ребро $D_1A_1$ ($x=0, z=1$): $2(0) - 2y - 1 = 0 \Rightarrow -2y=1 \Rightarrow y=-0.5$. Эта точка лежит вне ребра ($0 \le y \le 1$), поэтому пересечения нет. Таким образом, на верхней грани сечение проходит через точки $N$ и $M$, образуя отрезок $NM$.3. Пересечение с боковыми ребрами: - Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$): $2(0) - 2(0) - z = 0 \Rightarrow z=0$. Точка $A(0,0,0)$. - Ребро $BB_1$ ($x=1, y=0$): $2(1) - 2(0) - z = 0 \Rightarrow z=2$. Эта точка лежит вне ребра ($0 \le z \le 1$), поэтому пересечения нет. - Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1$): $2(1) - 2(1) - z = 0 \Rightarrow z=0$. Точка $C(1,1,0)$. - Ребро $DD_1$ ($x=0, y=1$): $2(0) - 2(1) - z = 0 \Rightarrow z=-2$. Эта точка лежит вне ребра ($0 \le z \le 1$), поэтому пересечения нет.

Итак, вершины сечения: $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$, $M(1,0.5,1)$ и $N(0.5,0,1)$.Сечение представляет собой четырехугольник $ANMC$. Чтобы его представить, нужно соединить эти точки последовательно: $A$ с $N$, $N$ с $M$, $M$ с $C$, и $C$ с $A$.

Вычислим длины сторон полученного четырехугольника:$AN = \sqrt{(0.5-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0 + 1^2} = \sqrt{0.25+1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$NM = \sqrt{(1-0.5)^2 + (0.5-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2 + 0} = \sqrt{0.25+0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$MC = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0.5)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0 + 0.5^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25+1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$CA = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Поскольку $AN = MC = \frac{\sqrt{5}}{2}$, две противоположные стороны равны.
Проверим параллельность сторон $NM$ и $CA$:Вектор $\vec{NM} = (1-0.5, 0.5-0, 1-1) = (0.5, 0.5, 0)$.
Вектор $\vec{CA} = (0-1, 0-1, 0-0) = (-1, -1, 0)$.
Заметим, что $\vec{CA} = -2 \cdot \vec{NM}$. Это означает, что векторы коллинеарны, а значит, стороны $NM$ и $CA$ параллельны.
Следовательно, сечение $ANMC$ является равнобедренной трапецией с основаниями $NM$ и $CA$.

Для нахождения площади сечения, воспользуемся формулой площади трапеции $S = \frac{b_1 + b_2}{2}h$, где $b_1$ и $b_2$ - длины оснований, $h$ - высота.

Длины оснований: $b_1 = MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $b_2 = AC = \sqrt{2}$.
Длина боковой стороны $c = AN = MC = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Высота $h$ равнобедренной трапеции находится из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и половиной разности оснований:$h^2 + \left(\frac{b_2 - b_1}{2}\right)^2 = c^2$.
$\frac{b_2 - b_1}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
$h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$.
$h^2 + \frac{2}{16} = \frac{5}{4}$.
$h^2 + \frac{1}{8} = \frac{10}{8}$.
$h^2 = \frac{9}{8}$.
$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции:$S = \frac{MN + AC}{2} \cdot h = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.
Площадь сечения $S = 1.125$ квадратных единиц.

Ответ:

Сечение является равнобедренной трапецией $ANMC$, где $N$ - середина ребра $A_1B_1$, $M$ - середина ребра $B_1C_1$. Площадь сечения составляет $1.125$ или $\frac{9}{8}$ квадратных единиц.

31. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B$, $D$ и середину ребра $A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершины $B, D$ и середину ребра $A_1D_1$.

Перевод в СИ:

Сторона куба $a = 1$ (условных единиц).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

1. Определим вершины сечения.

Пусть сторона куба равна $a=1$. Вершины $B$ и $D$ лежат в нижней грани $ABCD$. Отрезок $BD$ является одной из сторон сечения.

Пусть $M$ - середина ребра $A_1D_1$. Точка $M$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $DM$ является еще одной стороной сечения.

Поскольку плоскость сечения пересекает две параллельные грани куба ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$), линии пересечения с этими гранями должны быть параллельны. Линия $BD$ лежит в нижней грани. Следовательно, в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ должна лежать линия, параллельная $BD$ и проходящая через точку $M$.

Диагональ $BD$ параллельна диагонали $B_1D_1$ в верхней грани. Поскольку $M$ является серединой ребра $A_1D_1$, для того чтобы линия, проходящая через $M$, была параллельна $B_1D_1$, она должна соединять $M$ с серединой ребра $A_1B_1$. Обозначим эту точку $N$.

Таким образом, отрезок $MN$ является стороной сечения, и $MN \parallel BD$.

Последняя сторона сечения - отрезок $BN$.

Сечением является четырехугольник $BDMN$. Поскольку $MN \parallel BD$, этот четырехугольник является трапецией. Из симметрии куба и расположения точек $M$ и $N$ как середин ребер $A_1D_1$ и $A_1B_1$ соответственно, трапеция $BDMN$ является равнобедренной (т.е., $DM=BN$).

Ответ: Сечением является равнобедренная трапеция $BDMN$.

Найдите его площадь:

1. Вычислим длины оснований трапеции.

Длина стороны куба $a=1$.

Длина основания $BD$: это диагональ квадрата со стороной $a=1$. Используя теорему Пифагора, $BD = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Длина основания $MN$: $M$ - середина $A_1D_1$, $N$ - середина $A_1B_1$. Треугольник $A_1MN$ - прямоугольный равнобедренный с катетами $A_1M = A_1N = a/2 = 1/2$. По теореме Пифагора, $MN = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Вычислим длину боковой стороны трапеции.

Для удобства введем систему координат. Пусть вершина $D$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда $A=(1,0,0)$, $B=(1,1,0)$, $D_1=(0,0,1)$, $A_1=(1,0,1)$.

Координаты точек: $B=(1,1,0)$, $D=(0,0,0)$.

$M$ - середина $A_1D_1$. $M = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Длина боковой стороны $DM = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-0\right)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 0 + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

3. Вычислим высоту трапеции.

Трапеция $BDMN$ является равнобедренной. Опустим перпендикуляр из точки $M$ на основание $BD$. Пусть $P$ - основание этого перпендикуляра на $BD$. Длина отрезка $DP$ в равнобедренной трапеции равна полуразности оснований:

$DP = \frac{BD - MN}{2} = \frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Высота трапеции $h$ находится из прямоугольного треугольника $DPM$ по теореме Пифагора:

$h^2 = DM^2 - DP^2$

$h^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.

$h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

4. Вычислим площадь трапеции.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} (base_1 + base_2) \cdot height$.

$S = \frac{1}{2} (BD + MN) \cdot h$

$S = \frac{1}{2} \left(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$S = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.

32. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B$, $D$ и середину ребра $C_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является единичным, что означает длина его ребра $a=1$. Сечение проходит через вершины $B$, $D$ и точку $M$, которая является серединой ребра $C_1D_1$.

Перевод в СИ:

Поскольку задача относится к геометрии и не содержит физических величин, требующих перевода в систему СИ, и куб "единичный" (длина ребра равна 1 условной единице), то перевод не требуется. Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Изобразите сечение:

1. Для удобства представим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$, тогда вершины куба с ребром $a=1$ будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$. 2. Заданные точки сечения: $B(1,0,0)$ и $D(0,1,0)$. Точка $M$ – середина ребра $C_1D_1$. Координаты $C_1(1,1,1)$ и $D_1(0,1,1)$, поэтому координаты $M$ будут $(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1, 1)$. 3. Соединим точки $B$ и $D$. Отрезок $BD$ лежит в плоскости основания $ABCD$ и является его диагональю. 4. Соединим точки $D$ и $M$. Отрезок $DM$ лежит в боковой грани $CDD_1C_1$. 5. Поскольку плоскости $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны, линии пересечения секущей плоскости с этими гранями также будут параллельны. Отрезок $BD$ является линией пересечения с нижней гранью. Следовательно, в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ должна быть линия, параллельная $BD$ и проходящая через $M$.
Вектор $\vec{BD} = D-B = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$.
Найдем точку $P$ на верхней грани, такую что отрезок $MP$ параллелен $BD$. Координаты $M(\frac{1}{2}, 1, 1)$. Двигаясь от $M$ в направлении вектора, коллинеарного $\vec{BD}$, мы найдем вторую точку $P$ на верхней грани.
Рассмотрим симметрию. Если $M$ — середина $C_1D_1$, то, чтобы сечение было симметричным относительно диагональной плоскости $ACC_1A_1$, вторая точка в верхней грани должна быть серединой $B_1C_1$. Обозначим эту точку $P$. Координаты $B_1(1,0,1)$ и $C_1(1,1,1)$, поэтому $P$ имеет координаты $(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 1)$.
Проверим параллельность $MP$ и $BD$: Вектор $\vec{MP} = P-M = (1-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-1, 1-1) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$. Поскольку $\vec{BD} = -2\vec{MP}$, отрезки $BD$ и $MP$ параллельны. 6. Соединим точки $B$ и $P$. Отрезок $BP$ лежит в боковой грани $BCC_1B_1$. 7. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $BDMP$ с вершинами $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $M(\frac{1}{2}, 1, 1)$ и $P(1, \frac{1}{2}, 1)$.
Длина отрезка $BD = \sqrt{(0-1)^2+(1-0)^2+(0-0)^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
Длина отрезка $MP = \sqrt{(1-\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2}-1)^2+(1-1)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+(-\frac{1}{2})^2+0^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Длины боковых сторон: $DM = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2+(1-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+0^2+1^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$BP = \sqrt{(1-1)^2+(\frac{1}{2}-0)^2+(1-0)^2} = \sqrt{0^2+(\frac{1}{2})^2+1^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Поскольку $BD \parallel MP$ и $DM = BP$, то сечение $BDMP$ является равнобедренной трапецией.

Ответ: Сечение — равнобедренная трапеция $BDMP$ с вершинами $B$, $D$, $M$, $P$, где $M$ — середина $C_1D_1$, а $P$ — середина $B_1C_1$.

Найдите его площадь:

Сечение $BDMP$ является равнобедренной трапецией. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}(b_1+b_2)h$, где $b_1$ и $b_2$ – длины параллельных оснований, а $h$ – высота трапеции.
Основания трапеции: $b_1 = BD = \sqrt{2}$ и $b_2 = MP = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Высоту $h$ трапеции найдем как расстояние между серединами оснований (так как трапеция равнобедренная, это расстояние равно высоте трапеции).
Середина основания $BD$: $O_{BD} = (\frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.
Середина основания $MP$: $O_{MP} = (\frac{\frac{1}{2}+1}{2}, \frac{1+\frac{1}{2}}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{3/2}{2}, \frac{3/2}{2}, 1) = (\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, 1)$.
Высота трапеции $h = |O_{BD}O_{MP}| = \sqrt{(\frac{3}{4}-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{4}-\frac{1}{2})^2 + (1-0)^2}$.
$h = \sqrt{(\frac{3-2}{4})^2 + (\frac{3-2}{4})^2 + 1^2} = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{4})^2 + 1^2}$.
$h = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{1+8}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$.
$h = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.
Теперь вычислим площадь трапеции $S$:
$S = \frac{1}{2}(BD+MP)h = \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$.
$S = \frac{1}{2}\left(\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)$.
$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot 2}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $S = \frac{9}{8}$.

33. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AD$. Найдите его площадь.

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (длина ребра $a=1$).

Сечение проходит через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AD$ (обозначим эту точку как $M$).

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица, перевод в СИ не требуется, так как задача подразумевает безразмерную единицу).

Площадь сечения $S$.

Изобразите сечение

Для определения и изображения сечения куба, проходящего через заданные точки, воспользуемся методом координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежали вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$.

Координаты заданных точек:

• Вершина $A_1$: $(0,0,1)$
• Вершина $C_1$: $(1,1,1)$
• Середина ребра $AD$: Точка $M$. Координаты вершины $A(0,0,0)$ и вершины $D(0,1,0)$. Следовательно, координаты $M$ будут $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.

Плоскость сечения проходит через точки $A_1(0,0,1)$, $C_1(1,1,1)$ и $M(0, 0.5, 0)$. Для определения формы сечения необходимо найти все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба.

Определим уравнение плоскости. Векторы, лежащие в плоскости, это $\vec{MA_1} = (0-0, 0-0.5, 1-0) = (0, -0.5, 1)$ и $\vec{MC_1} = (1-0, 1-0.5, 1-0) = (1, 0.5, 1)$.

Вектор нормали к плоскости $n$ находится как векторное произведение $\vec{MA_1} \times \vec{MC_1}$:

$n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -0.5 & 1 \\ 1 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.5 \cdot 1 - 1 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 1) = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(0.5) = (-1, 1, 0.5)$.

Уравнение плоскости имеет общий вид $Ax+By+Cz+D=0$. Подставим компоненты вектора нормали $n=(-1,1,0.5)$: $-x+y+0.5z+D=0$.

Для нахождения $D$ подставим координаты одной из точек, например $M(0, 0.5, 0)$: $-0 + 0.5 + 0.5 \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow D = -0.5$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $-x+y+0.5z-0.5=0$. Для удобства расчетов умножим все члены на 2: $2x-2y-z+1=0$.

Теперь найдем остальные точки пересечения плоскости с ребрами куба:

• Отрезок $A_1M$ лежит в грани $ADD_1A_1$ (плоскость $x=0$), так как $A_1(0,0,1)$ и $M(0,0.5,0)$ имеют нулевую координату $x$.
• Отрезок $A_1C_1$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ (плоскость $z=1$), так как $A_1(0,0,1)$ и $C_1(1,1,1)$ имеют координату $z=1$.
• Рассмотрим ребро $CD$. Его точки имеют координаты $(x,1,0)$ для $0 \le x \le 1$. Подставим $y=1$ и $z=0$ в уравнение плоскости: $2x - 2(1) - 0 + 1 = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$. Полученная точка $P(0.5, 1, 0)$ является серединой ребра $CD$.
• Проверим другие ребра:
  • Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1, 0 \le z \le 1$): $2(1) - 2(1) - z + 1 = 0 \Rightarrow 1 - z = 0 \Rightarrow z=1$. Это точка $C_1(1,1,1)$, уже известная вершина сечения.
  • Ребро $DD_1$ ($x=0, y=1, 0 \le z \le 1$): $2(0) - 2(1) - z + 1 = 0 \Rightarrow -1 - z = 0 \Rightarrow z=-1$. Точка вне куба.
  • Ребро $AB$ ($y=0, z=0, 0 \le x \le 1$): $2x - 2(0) - 0 + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x=-0.5$. Точка вне куба.

Таким образом, сечение является четырехугольником $A_1MPC_1$ с вершинами в следующем порядке:

• $A_1(0,0,1)$
• $M(0,0.5,0)$ - середина ребра $AD$
• $P(0.5,1,0)$ - середина ребра $CD$
• $C_1(1,1,1)$

Стороны сечения: $A_1M$ лежит на грани $ADD_1A_1$; $MP$ лежит на грани $ABCD$; $PC_1$ лежит на грани $CDD_1C_1$; $C_1A_1$ лежит на грани $A_1B_1C_1D_1$.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $A_1MPC_1$, проходящий через вершины $A_1$, $C_1$, середину ребра $AD$ (точка $M$) и середину ребра $CD$ (точка $P$). Его сторонами являются отрезки $A_1M$, $MP$, $PC_1$ и $C_1A_1$.

Найдите его площадь

Сечение $A_1MPC_1$ является четырехугольником. Вычислим длины его сторон:

• Длина $A_1M = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• Длина $MP = \sqrt{(0.5-0)^2 + (1-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Длина $PC_1 = \sqrt{(1-0.5)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• Длина $C_1A_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Заметим, что $MP$ и $A_1C_1$ параллельны друг другу. $MP$ соединяет середины $AD$ и $CD$, поэтому $MP$ параллелен $AC$ и $MP = AC/2$. Длина диагонали $AC$ в единичном квадрате равна $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Следовательно, $MP = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Длина диагонали $A_1C_1$ в верхней грани также равна $\sqrt{2}$. Поскольку $A_1M = PC_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$, четырехугольник $A_1MPC_1$ является равнобедренной трапецией с параллельными основаниями $MP$ и $A_1C_1$, и равными боковыми сторонами $A_1M$ и $PC_1$.

Длины оснований: $b_1 = A_1C_1 = \sqrt{2}$, $b_2 = MP = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Длина боковой стороны: $l = A_1M = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Вычислим высоту $h$ равнобедренной трапеции по формуле $h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{b_1-b_2}{2}\right)^2}$.

Разность оснований, деленная пополам: $\frac{b_1-b_2}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Тогда высота $h = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{10}{8} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h$.

$S = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{9}{8}$ квадратных единиц.