Страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $AA_1$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через:

• вершину $B$;
• середину ребра $AA_1$, обозначим её $M$;
• середину ребра $DD_1$, обозначим её $N$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины). Поскольку размеры не заданы в конкретных единицах, площадь будет выражена в квадратных единицах.

Найти:

Изобразить (описать) сечение и найти его площадь $S$.

Решение:

Для удобства введём систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Определим координаты точек, через которые проходит сечение:

• Вершина $B(1,0,0)$.
• Середина ребра $AA_1$: $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,0,1/2)$.
• Середина ребра $DD_1$: $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,1/2)$.

Описание сечения:

Сечение определяется плоскостью, проходящей через точки $B(1,0,0)$, $M(0,0,1/2)$ и $N(0,1,1/2)$.

Найдем уравнение этой плоскости. Используем векторы $\vec{MB}$ и $\vec{MN}$:

• $\vec{MB} = B - M = (1-0, 0-0, 0-1/2) = (1, 0, -1/2)$.
• $\vec{MN} = N - M = (0-0, 1-0, 1/2-1/2) = (0, 1, 0)$.

Нормальный вектор к плоскости $\vec{n}$ является векторным произведением $\vec{MB} \times \vec{MN}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - (-1/2) \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 0 - (-1/2) \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \vec{i}(1/2) - \vec{j}(0) + \vec{k}(1) = (1/2, 0, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$, где $(A,B,C)$ - это координаты нормального вектора. Тогда $1/2 x + 0 y + 1 z = D$. Подставим координаты точки $B(1,0,0)$ для нахождения $D$:

$1/2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = D \implies D = 1/2$.

Уравнение плоскости сечения: $1/2 x + z = 1/2$, или, умножив на 2, $x + 2z = 1$.

Проверим, какие еще вершины куба лежат в этой плоскости, подставив их координаты в уравнение $x+2z=1$:

• $A(0,0,0): 0 + 2(0) = 0 \neq 1$.
• $B(1,0,0): 1 + 2(0) = 1$. (Лежит)
• $C(1,1,0): 1 + 2(0) = 1$. (Лежит!)
• $D(0,1,0): 0 + 2(0) = 0 \neq 1$.
• $A_1(0,0,1): 0 + 2(1) = 2 \neq 1$.
• $B_1(1,0,1): 1 + 2(1) = 3 \neq 1$.
• $C_1(1,1,1): 1 + 2(1) = 3 \neq 1$.
• $D_1(0,1,1): 0 + 2(1) = 2 \neq 1$.

Таким образом, сечение проходит через вершины $B$, $C$, а также через середины рёбер $M$ и $N$. Сечением является четырёхугольник $BMNC$.

Определим тип этого четырёхугольника:

• Сторона $MN$ соединяет середины рёбер $AA_1$ и $DD_1$. Оба ребра вертикальны, параллельны оси $Oz$. Значит, $MN$ параллелен ребру $AD$ (и $BC$). Длина $MN = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1/2-1/2)^2} = \sqrt{0+1+0} = 1$.
• Сторона $BC$ является ребром куба. Она также параллельна оси $Oy$ и имеет длину $BC = 1$.

Поскольку $MN \parallel BC$ и $MN = BC$, то четырёхугольник $BMNC$ является параллелограммом.

Найдем длины двух других сторон:

• Длина $BM = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1/2)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• Длина $CN = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (0-1/2)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как $BM=CN$, параллелограмм $BMNC$ является прямоугольником или ромбом (или квадратом, если все стороны равны). Поскольку $BC \neq BM$, это не ромб и не квадрат.

Проверим, является ли $BMNC$ прямоугольником, то есть перпендикулярны ли смежные стороны, например $BC$ и $BM$. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{CB}$ и $\vec{BM}$:

• $\vec{CB} = B - C = (1-1, 0-1, 0-0) = (0, -1, 0)$.
• $\vec{BM} = M - B = (0-1, 0-0, 1/2-0) = (-1, 0, 1/2)$.

$\vec{CB} \cdot \vec{BM} = (0)(-1) + (-1)(0) + (0)(1/2) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{CB}$ и $\vec{BM}$ перпендикулярны. Следовательно, угол между сторонами $BC$ и $BM$ составляет $90^{\circ}$.

Таким образом, сечение является прямоугольником $BMNC$ со сторонами $BC=1$ и $BM=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Нахождение площади:

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

$S_{BMNC} = BC \cdot BM = 1 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ:

Сечение является прямоугольником $BMNC$ со сторонами $BC=1$ и $BM=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Площадь сечения: $S = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

11. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $CD, C_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершину A и середины ребер CD и $C_1D_1$.

Пусть M - середина ребра CD, N - середина ребра $C_1D_1$.

Найти:

Изобразить сечение.

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер CD, $C_1D_1$.

Для построения сечения введем систему координат с началом в точке A. Ось OX направим вдоль AB, ось OY вдоль AD, ось OZ вдоль $AA_1$. Тогда координаты вершин куба будут:

• A = $(0,0,0)$

• B = $(1,0,0)$

• C = $(1,1,0)$

• D = $(0,1,0)$

• $A_1$ = $(0,0,1)$

• $B_1$ = $(1,0,1)$

• $C_1$ = $(1,1,1)$

• $D_1$ = $(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

• Вершина A: $(0,0,0)$

• Середина ребра CD (обозначим M): Ребро CD соединяет точки C$(1,1,0)$ и D$(0,1,0)$. Координаты середины M: $(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 1, 0)$.

• Середина ребра $C_1D_1$ (обозначим N): Ребро $C_1D_1$ соединяет точки $C_1(1,1,1)$ и $D_1(0,1,1)$. Координаты середины N: $(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1, 1)$.

Сечение проходит через точки A$(0,0,0)$, M$(\frac{1}{2}, 1, 0)$ и N$(\frac{1}{2}, 1, 1)$.

Для определения полной фигуры сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$ лежат в этой плоскости:

• $\vec{AM} = M - A = (\frac{1}{2}, 1, 0)$

• $\vec{AN} = N - A = (\frac{1}{2}, 1, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{AM} \times \vec{AN}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot \frac{1}{2}) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(\frac{1}{2}) + \mathbf{k}(0) = (1, -\frac{1}{2}, 0)$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$. Используя вектор нормали $(1, -\frac{1}{2}, 0)$, получаем $1x - \frac{1}{2}y + 0z = D$. Так как плоскость проходит через точку A$(0,0,0)$, подставим ее координаты: $1(0) - \frac{1}{2}(0) + 0(0) = D \Rightarrow D=0$.

Уравнение плоскости сечения: $x - \frac{1}{2}y = 0$, или $2x - y = 0$, то есть $y = 2x$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро AB (на $z=0$, $y=0$): $0 = 2x \Rightarrow x=0$. Точка A$(0,0,0)$.

• Ребро CD (на $z=0$, $y=1$): $1 = 2x \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Точка M$(\frac{1}{2},1,0)$.

• Ребро $A_1B_1$ (на $z=1$, $y=0$): $0 = 2x \Rightarrow x=0$. Точка $A_1(0,0,1)$.

• Ребро $C_1D_1$ (на $z=1$, $y=1$): $1 = 2x \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Точка N$(\frac{1}{2},1,1)$.

Других точек пересечения с ребрами куба нет. Таким образом, сечение является четырехугольником $AMNA_1$ с вершинами A$(0,0,0)$, M$(\frac{1}{2},1,0)$, N$(\frac{1}{2},1,1)$, $A_1(0,0,1)$.

Для изображения: начертите куб. Отметьте вершину A. Отметьте середину M ребра CD. Отметьте середину N ребра $C_1D_1$. Отметьте вершину $A_1$. Соедините точки в порядке A-M-N-$A_1$-A. Полученный четырехугольник $AMNA_1$ является искомым сечением.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $AMNA_1$ с вершинами A$(0,0,0)$, M$(\frac{1}{2},1,0)$, N$(\frac{1}{2},1,1)$, $A_1(0,0,1)$.

Найдите его площадь.

Найденное сечение $AMNA_1$ является четырехугольником с вершинами A$(0,0,0)$, M$(\frac{1}{2},1,0)$, N$(\frac{1}{2},1,1)$, $A_1(0,0,1)$.

Рассмотрим векторы сторон:

• $\vec{AA_1} = (0-0, 0-0, 1-0) = (0,0,1)$

• $\vec{AM} = (\frac{1}{2}-0, 1-0, 0-0) = (\frac{1}{2},1,0)$

• $\vec{MN} = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, 1-1, 1-0) = (0,0,1)$

• $\vec{NA_1} = (0-\frac{1}{2}, 0-1, 1-1) = (-\frac{1}{2},-1,0)$

Мы видим, что $\vec{AA_1} = \vec{MN}$, что означает, что стороны $AA_1$ и $MN$ параллельны и равны по длине (обе равны $1$, так как длина ребра куба равна $1$). Таким образом, $AMNA_1$ является параллелограммом.

Для того чтобы определить тип параллелограмма, найдем скалярное произведение векторов смежных сторон, например $\vec{AA_1}$ и $\vec{AM}$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AM} = (0)(\frac{1}{2}) + (0)(1) + (1)(0) = 0 + 0 + 0 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{AM}$ перпендикулярны. Это означает, что угол между смежными сторонами $AA_1$ и $AM$ составляет $90^\circ$. Следовательно, параллелограмм $AMNA_1$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Длина стороны $AA_1$ равна $1$. Длина стороны $AM$:

$|\vec{AM}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{1+4}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Площадь сечения $S = |AA_1| \cdot |AM| = 1 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

12. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $AD, A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a=1$.
Сечение проходит через вершину $B$ и середины ребер $AD$ и $A_1D_1$.

Перевод в СИ
Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:
Площадь сечения $S$.

Решение

Изобразите сечение

Пусть $M$ - середина ребра $AD$, а $N$ - середина ребра $A_1D_1$. Сечение проходит через точки $B$, $M$, $N$.

1. Соединяем точки $B$ и $M$. Отрезок $BM$ лежит в плоскости нижней грани $ABCD$.

2. Соединяем точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$. Так как $M$ - середина $AD$ и $N$ - середина $A_1D_1$, то отрезок $MN$ параллелен ребру $AA_1$ (и $DD_1$) и его длина равна длине ребра куба: $MN = a = 1$.

3. Поскольку $MN \parallel AA_1$ и $AA_1 \parallel BB_1$ (как параллельные ребра куба), то $MN \parallel BB_1$. Плоскость сечения проходит через точку $B$ и прямую $MN$. Так как $BB_1$ проходит через $B$ и параллельна $MN$, то ребро $BB_1$ целиком лежит в плоскости сечения. Это означает, что вершина $B_1$ также принадлежит сечению.

4. Таким образом, сечение проходит через точки $B, M, N, B_1$. Эти четыре точки образуют четырехугольник $BMNB_1$.

5. В кубе, если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то линии пересечения параллельны. Сечение пересекает грань $ABCD$ по отрезку $BM$. Сечение пересекает параллельную ей грань $A_1B_1C_1D_1$ по отрезку $NB_1$. Следовательно, $NB_1 \parallel BM$.

В итоге, четырехугольник $BMNB_1$ имеет две пары параллельных сторон: $MN \parallel BB_1$ (мы доказали это в пункте 3) и $NB_1 \parallel BM$ (из свойства параллельных граней). Следовательно, $BMNB_1$ является параллелограммом.

Ответ: Сечение куба, проходящее через заданные точки, является четырехугольником $BMNB_1$.

Найдите его площадь

1. Мы установили, что сечение $BMNB_1$ является параллелограммом.

2. Найдем длины его сторон. Длина ребра единичного куба $a=1$.
Длина стороны $MN = a = 1$.
Для нахождения длины стороны $BM$ рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ в основании куба. Катет $AB = a = 1$. Катет $AM = a/2 = 1/2$, так как $M$ - середина $AD$.
По теореме Пифагора длина гипотенузы $BM$ равна:$BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

3. Определим тип параллелограмма $BMNB_1$.
Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Поскольку отрезок $MN$ параллелен ребру $AA_1$, то $MN$ также перпендикулярен плоскости $ABCD$.
Отрезок $BM$ лежит в плоскости $ABCD$. Следовательно, $MN \perp BM$.
Так как смежные стороны параллелограмма $BMNB_1$ ($MN$ и $BM$) перпендикулярны, этот параллелограмм является прямоугольником.

4. Площадь прямоугольника $BMNB_1$ равна произведению его смежных сторон:
$S_{BMNB_1} = MN \times BM = 1 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

13. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AD$ и параллельное грани $ABC$. Найдите его площадь.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Длина всех ребер $a=1$.

Сечение проходит через середину ребра $AD$, обозначим ее $M$.

Плоскость сечения параллельна грани $ABC$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Площадь сечения $S_{MNP}$.

Решение:

Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AD$ и параллельное грани $ABC$.

Пусть $M$ — середина ребра $AD$.

Так как плоскость сечения параллельна грани $ABC$, то линии пересечения этой плоскости с гранями тетраэдра, содержащими вершину $D$, будут параллельны соответствующим ребрам грани $ABC$.

Рассмотрим грань $ABD$. Поскольку $M$ — середина $AD$, и плоскость сечения параллельна $AB$ (так как параллельна $ABC$), то линия пересечения плоскости сечения с гранью $ABD$ будет отрезком $MN$, где $N$ — середина ребра $DB$ (по теореме о средней линии треугольника $ABD$). Тогда $MN = \frac{1}{2} AB$.

Аналогично, рассмотрим грань $ACD$. Поскольку $M$ — середина $AD$, и плоскость сечения параллельна $AC$, то линия пересечения плоскости сечения с гранью $ACD$ будет отрезком $MP$, где $P$ — середина ребра $DC$ (по теореме о средней линии треугольника $ACD$). Тогда $MP = \frac{1}{2} AC$.

Отрезок $NP$ является линией пересечения плоскости сечения с гранью $BCD$. Так как $N$ — середина $DB$, а $P$ — середина $DC$, то $NP$ — средняя линия треугольника $BCD$. Следовательно, $NP = \frac{1}{2} BC$.

Таким образом, сечение тетраэдра представляет собой треугольник $MNP$.

Поскольку все ребра тетраэдра $ABCD$ равны $a=1$, то грани $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a=1$.

Из вышесказанного следует, что $MN = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$, $MP = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$, $NP = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

Следовательно, треугольник $MNP$ является равносторонним треугольником со стороной $s' = \frac{1}{2}$.

Ответ: Сечение представляет собой равносторонний треугольник, вершины которого лежат на серединах ребер $AD$, $DB$ и $DC$.

Найдите его площадь.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s'$ вычисляется по формуле $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (s')^2$.

Подставляя значение $s' = \frac{1}{2}$:

$S_{MNP} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{3}}{16}$.

14. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AB$ и параллельное грани $BCD$. Найдите его площадь.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$ является правильным, все его ребра равны $1$.

Сечение проходит через середину ребра $AB$, обозначим ее точкой $M$.

Плоскость сечения параллельна грани $BCD$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Описать сечение и найти его площадь.

Решение:

Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AB$ и параллельное грани $BCD$.

Обозначим середину ребра $AB$ как точку $M$. Плоскость сечения проходит через точку $M$ и параллельна плоскости грани $BCD$.

По свойству параллельных плоскостей, если плоскость сечения параллельна плоскости $BCD$, то линии пересечения сечения с гранями тетраэдра, содержащими ребра грани $BCD$, будут параллельны этим ребрам.

Рассмотрим грань $ABC$. Точка $M$ лежит на ребре $AB$. Поскольку плоскость сечения параллельна $BCD$, то она параллельна и ребру $BC$. Значит, линия пересечения плоскости сечения с гранью $ABC$ (назовем ее $MN'$) будет проходить через $M$ и быть параллельной $BC$. По теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника), если $M$ - середина $AB$, то $N'$ должна быть серединой ребра $AC$. Таким образом, $MN'$ - средняя линия треугольника $ABC$.

Аналогично, рассмотрим грань $ABD$. Плоскость сечения параллельна ребру $BD$. Линия пересечения плоскости сечения с гранью $ABD$ (назовем ее $MP'$) будет проходить через $M$ и быть параллельной $BD$. Если $M$ - середина $AB$, то $P'$ должна быть серединой ребра $AD$. Таким образом, $MP'$ - средняя линия треугольника $ABD$.

Теперь рассмотрим грань $ACD$. Точки $N'$ (середина $AC$) и $P'$ (середина $AD$) лежат в этой грани. Следовательно, отрезок $N'P'$ является линией пересечения плоскости сечения с гранью $ACD$. Поскольку $N'$ и $P'$ - середины сторон $AC$ и $AD$ соответственно, то $N'P'$ - средняя линия треугольника $ACD$.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $MN'P'$, вершины которого являются серединами ребер $AB$, $AC$ и $AD$ соответственно.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник, вершинами которого являются середины ребер $AB$, $AC$ и $AD$.

Найдите его площадь.

Мы установили, что сечение - это треугольник $MN'P'$, где $M$, $N'$, $P'$ - середины ребер $AB$, $AC$, $AD$ соответственно.

Поскольку $MN'$ является средней линией треугольника $ABC$, ее длина равна половине длины стороны $BC$. То есть, $MN' = \frac{BC}{2}$.

Аналогично, $MP' = \frac{BD}{2}$ и $N'P' = \frac{CD}{2}$.

По условию, тетраэдр правильный, и все его ребра равны $a=1$. Следовательно, $BC=BD=CD=a=1$.

Тогда стороны треугольника сечения равны:

$MN' = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$

$MP' = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$

$N'P' = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, сечение $MN'P'$ является равносторонним треугольником со стороной $s = \frac{1}{2}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $s = \frac{1}{2}$:

$S = \frac{(\frac{1}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{1}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{3}}{16}$.

15. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AB$ и перпендикулярное этому ребру. Найдите его площадь.

Дано

Тетраэдр $ABCD$.

Все ребра тетраэдра равны $a = 1$.

Сечение проходит через середину ребра $AB$ (обозначим ее $M$) и перпендикулярно ребру $AB$.

Перевод в СИ

Размерность не указана, принимаем $a = 1$ условная единица длины.

Найти

Площадь сечения $S$.

Решение

1. Определим форму сечения. Поскольку тетраэдр $ABCD$ является правильным (все его ребра равны $a=1$), все его грани являются правильными (равносторонними) треугольниками.

2. Пусть $M$ — середина ребра $AB$. Плоскость сечения проходит через $M$ и перпендикулярна ребру $AB$.

3. Рассмотрим грань $ABC$. Это равносторонний треугольник. Медиана $CM$ является также высотой, поэтому $CM \perp AB$. Следовательно, отрезок $CM$ лежит в плоскости, перпендикулярной $AB$ и проходящей через $M$.

4. Аналогично, рассмотрим грань $ABD$. Это равносторонний треугольник. Медиана $DM$ является также высотой, поэтому $DM \perp AB$. Следовательно, отрезок $DM$ лежит в плоскости, перпендикулярной $AB$ и проходящей через $M$.

5. Таким образом, точки $C$, $M$ и $D$ принадлежат плоскости сечения. Поскольку $C$, $M$, $D$ не лежат на одной прямой (так как $M$ - середина $AB$, а $C$ и $D$ - вершины, не лежащие на $AB$, и $CD$ - ребро тетраэдра), они определяют плоскость.

6. Сечением является треугольник $CMD$.

7. Вычислим длины сторон треугольника $CMD$:

Длина ребра $CD$ равна $a = 1$.

Длина отрезков $CM$ и $DM$ — это высоты равносторонних треугольников со стороной $a=1$. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Поэтому $CM = DM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

8. Таким образом, треугольник $CMD$ является равнобедренным с основанием $CD=1$ и боковыми сторонами $CM=DM=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

9. Для нахождения площади треугольника $CMD$ проведем высоту $MH$ к основанию $CD$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой. Поэтому $H$ — середина $CD$, и $CH = HD = \frac{CD}{2} = \frac{1}{2}$.

10. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MHD$. По теореме Пифагора:

$MH^2 + HD^2 = MD^2$

$MH^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$MH^2 + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$MH^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$

$MH^2 = \frac{2}{4}$

$MH^2 = \frac{1}{2}$

$MH = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

11. Площадь треугольника $CMD$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$:

$S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MH$

$S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S_{CMD} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Ответ:

Сечением является равнобедренный треугольник со сторонами $1$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

16. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AD$ и перпендикулярное этому ребру. Найдите его площадь.

Дано:
Тетраэдр $ABCD$.
Все ребра равны $1$.
Сечение проходит через середину ребра $AD$.
Сечение перпендикулярно ребру $AD$.

Перевод данных в СИ:
Длина ребра $a = 1$ (условные единицы длины).

Найти:
Площадь сечения.

Решение:
Пусть $M$ — середина ребра $AD$.
Поскольку тетраэдр $ABCD$ является правильным (все его ребра равны 1), все его грани являются равносторонними треугольниками со стороной $1$.
Рассмотрим грань $ABD$. Так как $\triangle ABD$ равносторонний и $M$ — середина $AD$, отрезок $BM$ является медианой, а следовательно, и высотой этого треугольника. Таким образом, $BM \perp AD$.
Аналогично, рассмотрим грань $ACD$. Так как $\triangle ACD$ равносторонний и $M$ — середина $AD$, отрезок $CM$ является медианой, а следовательно, и высотой этого треугольника. Таким образом, $CM \perp AD$.
Плоскость, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная прямой $AD$, должна содержать все прямые, проходящие через $M$ и перпендикулярные $AD$. Поскольку $BM \perp AD$ и $CM \perp AD$, то точки $B, C, M$ лежат в искомой плоскости сечения. Таким образом, искомым сечением является треугольник $BCM$.
Найдем длины сторон треугольника $BCM$:
1. Сторона $BC$ является ребром тетраэдра, поэтому $BC = 1$.
2. Сторона $BM$ является высотой равностороннего треугольника со стороной $a=1$. Высота $h$ равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $BM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Сторона $CM$ также является высотой равностороннего треугольника со стороной $a=1$.
Таким образом, $CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сечение представляет собой равнобедренный треугольник $BCM$ со сторонами $BC=1$, $BM = CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для вычисления площади $\triangle BCM$ найдем его высоту, опущенную из вершины $M$ на основание $BC$. Пусть $P$ — середина $BC$. Тогда $MP$ — высота треугольника $BCM$.
В прямоугольном треугольнике $BMP$ (так как $MP \perp BC$) имеем $BP = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2}$.
По теореме Пифагора:
$MP^2 = BM^2 - BP^2$
$MP^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$MP^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$MP^2 = \frac{2}{4}$
$MP^2 = \frac{1}{2}$
$MP = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Площадь треугольника $BCM$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MP$
$S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$S_{BCM} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

17. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через середину ребра $SA$ и параллельное основанию $ABCD$. Найдите его площадь.

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра пирамиды равны 1, то есть $SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$.

Сечение проходит через точку $M$ - середину ребра $SA$.

Плоскость сечения параллельна основанию $ABCD$.

Перевод данных в систему СИ:

Длины ребер заданы в условных единицах длины. Пусть $a = 1$ (единица длины).

Найти:

1. Изобразить сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

1. Описание и изображение сечения:

Поскольку плоскость сечения параллельна основанию $ABCD$ правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ и проходит через середину ребра $SA$ (точку $M$), то это сечение будет также правильным четырехугольником, то есть квадратом. Сечение отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду $SMNPQ$, которая подобна исходной пирамиде $SABCD$.

Точки $M$, $N$, $P$, $Q$ являются серединами боковых ребер $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ соответственно. Это следует из того, что если плоскость параллельна основанию пирамиды и проходит через середину одного бокового ребра, то она пересекает все остальные боковые ребра также в их серединах. Таким образом, $M$ - середина $SA$, $N$ - середина $SB$, $P$ - середина $SC$, $Q$ - середина $SD$.

Сечение $MNPQ$ представляет собой квадрат, стороны которого параллельны сторонам основания $ABCD$. Визуально это выглядит как уменьшенная копия основания, расположенная над ним.

2. Нахождение площади сечения:

Пирамида $SMNPQ$ подобна пирамиде $SABCD$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих линейных размеров. Так как $M$ - середина ребра $SA$, то длина отрезка $SM$ равна половине длины ребра $SA$: $SM = \frac{1}{2} SA$.

Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{SM}{SA} = \frac{1/2 \cdot SA}{SA} = \frac{1}{2}$.

Сторона основания $ABCD$ (например, $AB$) равна 1. Сторона сечения $MNPQ$ (например, $MN$) будет равна стороне основания, умноженной на коэффициент подобия:

$MN = k \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Поскольку сечение $MNPQ$ является квадратом со стороной $MN = \frac{1}{2}$, его площадь $S_{сеч}$ вычисляется как квадрат длины его стороны:

$S_{сеч} = (MN)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $S_{сеч} = \frac{1}{4}$.

18. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середину ребра $SB$ и перпендикулярное этому ребру. Найдите его площадь.

Дано:

• Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
• Длина всех ребер $a = 1$.
• Сечение проходит через точку $M$ — середину ребра $SB$.
• Плоскость сечения перпендикулярна ребру $SB$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной и все ее ребра равны $a=1$, это означает, что основание $ABCD$ является квадратом со стороной $1$, а все боковые грани (например, $\triangle SAB$) являются равносторонними треугольниками со стороной $1$.

Определим высоту пирамиды $SO$. Диагональ основания $AC = a\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$. Расстояние от центра основания $O$ до вершины $A$ равно $AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Высота пирамиды $SO$ находится из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$:$SO^2 = SA^2 - AO^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.Следовательно, $SO = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Расположим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.Вершины основания: $A = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$, $B = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$, $C = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$, $D = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$.Вершина пирамиды: $S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Найдем координаты точки $M$ — середины ребра $SB$.$M = \left(\frac{0 + (-\frac{1}{2})}{2}, \frac{0 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Вектор ребра $SB$: $\vec{SB} = B - S = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.Поскольку плоскость сечения перпендикулярна ребру $SB$, вектор $\vec{SB}$ является нормальным вектором этой плоскости.Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $(N_x, N_y, N_z)$, имеет вид $N_x(x-x_0) + N_y(y-y_0) + N_z(z-z_0) = 0$.Для нашей плоскости, проходящей через $M\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ с нормалью $\vec{SB}\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$:$-\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{4}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2}\left(z-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0$.Умножим все на $-2$:$\left(x+\frac{1}{4}\right) - \left(y-\frac{1}{4}\right) + \sqrt{2}\left(z-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0$.$x + \frac{1}{4} - y + \frac{1}{4} + \sqrt{2}z - \frac{2}{4} = 0$.$x - y + \sqrt{2}z = 0$.Это и есть уравнение плоскости сечения.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды:

1. Пересечение с ребром $SA$: Параметрическое уравнение прямой $SA$: $P(t) = (1-t)S + tA = (0,0,\frac{\sqrt{2}}{2})(1-t) + (\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)t = \left(\frac{t}{2}, \frac{t}{2}, \frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right)$.Подставим в уравнение плоскости: $\frac{t}{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right) = 0$.$0 + (1-t) = 0 \Rightarrow t=1$.При $t=1$, точка пересечения $P(1) = A = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$. Таким образом, точка $A$ лежит в плоскости сечения.

2. Пересечение с ребром $SC$: Параметрическое уравнение прямой $SC$: $P(t) = (1-t)S + tC = (0,0,\frac{\sqrt{2}}{2})(1-t) + (-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)t = \left(-\frac{t}{2}, -\frac{t}{2}, \frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right)$.Подставим в уравнение плоскости: $-\frac{t}{2} - \left(-\frac{t}{2}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right) = 0$.$0 + (1-t) = 0 \Rightarrow t=1$.При $t=1$, точка пересечения $P(1) = C = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$. Таким образом, точка $C$ лежит в плоскости сечения.

3. Пересечение с ребром $SD$: Параметрическое уравнение прямой $SD$: $P(t) = (1-t)S + tD = (0,0,\frac{\sqrt{2}}{2})(1-t) + (\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)t = \left(\frac{t}{2}, -\frac{t}{2}, \frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right)$.Подставим в уравнение плоскости: $\frac{t}{2} - \left(-\frac{t}{2}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}(1-t)}{2}\right) = 0$.$t + (1-t) = 0 \Rightarrow 1 = 0$.Это означает, что прямая $SD$ параллельна плоскости сечения и не лежит в ней. (Проверим: вектор направления $\vec{SD} = D-S = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Скалярное произведение $\vec{SD} \cdot \vec{SB} = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = 0$. Действительно, $\vec{SD}$ перпендикулярен $\vec{SB}$, то есть $SD$ параллелен плоскости сечения.)

Поскольку точки $A$, $C$ и $M$ принадлежат плоскости сечения, и $M$ является серединой $SB$, а $AM$ и $CM$ являются медианами равносторонних треугольников $\triangle SAB$ и $\triangle SCB$ соответственно, то $AM \perp SB$ и $CM \perp SB$. (В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к одной из сторон, является также высотой, если она проведена из вершины к середине стороны, на которую она опускается. Здесь $AM$ - медиана к $SB$, $CM$ - медиана к $SB$).Также проверим, что диагональ основания $AC$ перпендикулярна $SB$:$\vec{AC} = C-A = (-1, -1, 0)$.$\vec{AC} \cdot \vec{SB} = (-1)\left(-\frac{1}{2}\right) + (-1)\left(\frac{1}{2}\right) + 0\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 0 = 0$.Таким образом, $AC \perp SB$.Поскольку $AC$ перпендикулярен $SB$ и $A, C$ лежат в плоскости сечения, а $M$ - также в этой плоскости (и на $SB$), то сечением пирамиды является треугольник $AMC$.

Изобразите сечение:

Сечение является треугольником $AMC$. Его вершины - точка $A$ на ребре $SA$, точка $M$ на ребре $SB$ (середина $SB$), и точка $C$ на ребре $SC$. Стороны сечения - отрезки $AM$, $MC$ и $AC$.

Найдите его площадь:

Определим длины сторон $\triangle AMC$:

• $AC$: Это диагональ квадрата основания со стороной $1$. $AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
• $AM$: Это медиана равностороннего треугольника $\triangle SAB$ со стороной $1$. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. $AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• $CM$: Аналогично, $CM$ является медианой равностороннего треугольника $\triangle SCB$ со стороной $1$. $CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC = \sqrt{2}$ и боковыми сторонами $AM = CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Для нахождения площади равнобедренного треугольника, найдем высоту, проведенную к основанию $AC$. Пусть $O$ - середина $AC$ (координаты $O=(0,0,0)$).Высота $MO$ является медианой и высотой в $\triangle AMC$.$MO = \sqrt{AM^2 - AO^2}$.$AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.$MO = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Площадь сечения (треугольника $AMC$) $S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MO$.$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

19. Изобразите сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, проходящее через середину ребра $SA$ и параллельное основанию $ABCDEF$. Найдите его площадь.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная. Сторона основания $a_{осн} = 1$ (усл. ед.). Боковое ребро $l = 2$ (усл. ед.). Сечение проходит через середину ребра $SA$. Сечение параллельно основанию $ABCDEF$.

Найти:

Площадь сечения $A_{сеч}$.

Решение:

Изобразите сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, проходящее через середину ребра SA и параллельное основанию ABCDEF.

Поскольку сечение проходит через середину ребра $SA$ и параллельно основанию пирамиды, оно является правильным шестиугольником, подобным основанию. Вершины этого шестиугольника являются серединами всех боковых ребер пирамиды. Обозначим это сечение $M_A M_B M_C M_D M_E M_F$, где $M_A, M_B, \dots, M_F$ – середины боковых ребер $SA, SB, SC, SD, SE, SF$ соответственно.

Пирамида, отсеченная плоскостью сечения ($S M_A M_B M_C M_D M_E M_F$), подобна исходной пирамиде ($SABCDEF$). Коэффициент подобия $k$ определяется отношением соответствующих линейных размеров. Так как сечение проходит через середину бокового ребра $SA$, то $SM_A = \frac{1}{2} SA$. Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{SM_A}{SA} = \frac{1}{2}$.

Сторона шестиугольника сечения $a_{сеч}$ связана со стороной основания $a_{осн}$ через коэффициент подобия: $a_{сеч} = k \cdot a_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Для изображения сечения необходимо представить пирамиду: основание – правильный шестиугольник $ABCDEF$, вершина $S$ находится над центром основания. Отмечаем середины всех боковых ребер $SA, SB, SC, SD, SE, SF$. Соединяем эти середины последовательно, образуя новый правильный шестиугольник, который и будет искомым сечением.

Ответ: Сечение представляет собой правильный шестиугольник, вершины которого являются серединами боковых ребер пирамиды. Сторона сечения равна $1/2$.

Найдите его площадь.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Для сечения сторона $a_{сеч} = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в формулу площади: $A_{сеч} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2$ $A_{сеч} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ $A_{сеч} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{3}}{8}$ квадратных условных единиц.

20. Изобразите сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, проходящее через ребро $SA$ и перпендикулярное основанию $ABCDEF$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = AB = 1$.

Боковое ребро $l = SA = 2$.

Сечение проходит через ребро $SA$ и перпендикулярно основанию $ABCDEF$.

Перевод в систему СИ:

$a = 1$ м

$l = 2$ м

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Изобразите сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, проходящее через ребро SA и перпендикулярное основанию $ABCDEF$.

Пусть $O$ – центр основания правильной шестиугольной пирамиды. Тогда отрезок $SO$ является высотой пирамиды, и $SO$ перпендикулярен плоскости основания $ABCDEF$.

Плоскость сечения $\alpha$ проходит через ребро $SA$. По условию, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Если плоскость перпендикулярна другой плоскости, то она содержит прямую, перпендикулярную этой другой плоскости. Поскольку прямая $SO$ перпендикулярна основанию $ABCDEF$, то она должна лежать в плоскости сечения $\alpha$.

Таким образом, плоскость сечения содержит точки $S$, $A$ и $O$. Следовательно, сечением является треугольник $SOA$.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны шестиугольника. Поэтому $OA = a = 1$.

Треугольник $SOA$ является прямоугольным, так как прямая $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а отрезок $OA$ лежит в этой плоскости, значит $SO \perp OA$.

Гипотенуза $SA$ данного треугольника является боковым ребром пирамиды, $SA = l = 2$.

Ответ: Сечением является прямоугольный треугольник $SOA$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади прямоугольного треугольника $SOA$ нам необходимо найти длины его катетов $OA$ и $SO$.

Катет $OA = a = 1$ (как радиус описанной окружности для правильного шестиугольника).

Катет $SO$ является высотой пирамиды $h$. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $SOA$:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$h^2 + a^2 = l^2$

Подставляем известные значения:

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$

Итак, высота пирамиды $SO = \sqrt{3}$.

Площадь прямоугольного треугольника $SOA$ вычисляется как половина произведения его катетов:

$S_{SOA} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot SO$

$S_{SOA} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3}$

$S_{SOA} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

21. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $B$ и $C_1$.
Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная.

Все ребра призмы равны 1.

Сечение проходит через вершины $A$, $B$ и $C_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная единица, результат площади будет в соответствующих квадратных единицах).

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения $S_{ABC_1}$.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через вершины $A$, $B$ и $C_1$, является многоугольником, образованным соединением этих вершин. Поскольку эти три вершины не лежат на одной прямой и не образуют грани призмы, сечением будет треугольник $ABC_1$.Вершины $A$ и $B$ лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Следовательно, отрезок $AB$ является одной из сторон сечения.Отрезок $AC_1$ соединяет вершину $A$ нижнего основания с вершиной $C_1$ верхнего основания. Этот отрезок является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$.Отрезок $BC_1$ соединяет вершину $B$ нижнего основания с вершиной $C_1$ верхнего основания. Этот отрезок является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$.Таким образом, сечение представляет собой треугольник $ABC_1$.Поскольку призма правильная, ее основания являются равносторонними треугольниками, а боковые грани – прямоугольниками. Все ребра призмы равны 1.Длина стороны $AB$ равна ребру основания: $AB = 1$.Боковая грань $ACC_1A_1$ является прямоугольником со сторонами $AC=1$ и $CC_1=1$. Фактически это квадрат. Длина диагонали $AC_1$ может быть найдена по теореме Пифагора: $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.Аналогично, боковая грань $BCC_1B_1$ является квадратом со сторонами $BC=1$ и $CC_1=1$. Длина диагонали $BC_1$ также равна: $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.Следовательно, треугольник $ABC_1$ является равнобедренным треугольником со сторонами $AB=1$, $AC_1=\sqrt{2}$ и $BC_1=\sqrt{2}$.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренный треугольник $ABC_1$ со сторонами $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника $ABC_1$ с основанием $AB=1$ и боковыми сторонами $AC_1=BC_1=\sqrt{2}$, опустим высоту из вершины $C_1$ на основание $AB$. Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Тогда $C_1M$ — высота треугольника $ABC_1$.Длина отрезка $AM = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC_1$ (прямой угол при вершине $M$). По теореме Пифагора:$AC_1^2 = AM^2 + C_1M^2$$(\sqrt{2})^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + C_1M^2$$2 = \frac{1}{4} + C_1M^2$Выразим $C_1M^2$:$C_1M^2 = 2 - \frac{1}{4}$$C_1M^2 = \frac{8}{4} - \frac{1}{4}$$C_1M^2 = \frac{7}{4}$Извлечем квадратный корень для нахождения $C_1M$:$C_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$Теперь вычислим площадь треугольника $ABC_1$ по формуле:$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M$$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2}$$S_{ABC_1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{7}}{4}$.

22. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A, B_1$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B_1$, $C_1$.

Перевод данных в СИ:

Длина всех ребер $a = 1 \, \text{м}$.

Найти:

Площадь сечения $S_{AB_1C_1}$.

Решение:

Для того чтобы изобразить сечение, следует соединить данные вершины. Сечение, проходящее через вершины $A$, $B_1$ и $C_1$, является треугольником $AB_1C_1$. Поскольку призма правильная, ее основания (треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонними, а боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) являются прямоугольниками. В данном случае, так как все ребра призмы равны 1, боковые грани являются квадратами со стороной 1.

Определим длины сторон треугольника $AB_1C_1$:

1. Сторона $B_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы. По условию, все ребра равны 1, следовательно, $B_1C_1 = a = 1$.

2. Сторона $AB_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Эта грань представляет собой квадрат со стороной $a = 1$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. Подставляя $a = 1$, получаем $AB_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

3. Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Эта грань также является квадратом со стороной $a = 1$. Аналогично, $AC_1 = a\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $AB_1C_1$ является равнобедренным треугольником со сторонами $AB_1 = \sqrt{2}$, $AC_1 = \sqrt{2}$ и основанием $B_1C_1 = 1$.

Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой площади через основание и высоту. Пусть $M$ – середина основания $B_1C_1$. Тогда $AM$ – высота треугольника $AB_1C_1$, проведенная к основанию $B_1C_1$. Длина отрезка $B_1M = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB_1$ (с прямым углом при вершине $M$). По теореме Пифагора: $AM^2 + B_1M^2 = AB_1^2$ $AM^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = (\sqrt{2})^2$ $AM^2 + \frac{1}{4} = 2$ $AM^2 = 2 - \frac{1}{4}$ $AM^2 = \frac{8 - 1}{4}$ $AM^2 = \frac{7}{4}$ $AM = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $AB_1C_1$ по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. $S_{AB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot B_1C_1 \cdot AM$ $S_{AB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2}$ $S_{AB_1C_1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{7}}{4}$ квадратных единиц.

23. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $AC$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $AC$ и $A_1 B_1$.

Перевод в СИ:

Поскольку длина ребра задана без единиц измерения, будем считать ее условной единицей длины, например, метром. Тогда $a = 1$ м.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Обозначим середины заданных ребер:

• $M$ — середина ребра $AB$.
• $N$ — середина ребра $AC$.
• $P$ — середина ребра $A_1 B_1$.

Изобразить сечение

1. В основании призмы, треугольнике $ABC$, отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $MN$ является средней линией $\triangle ABC$. По свойству средней линии, $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2} BC$. Поскольку все ребра призмы равны $1$, то $BC = 1$, и $MN = \frac{1}{2}$.

2. Поскольку плоскости оснований призмы $(ABC)$ и $(A_1 B_1 C_1)$ параллельны, линии пересечения плоскости сечения с этими основаниями также параллельны. То есть, линия сечения в плоскости верхнего основания $(A_1 B_1 C_1)$ должна быть параллельна $MN$.

3. Пусть $Q$ — точка пересечения плоскости сечения с ребром $A_1 C_1$. Плоскость сечения содержит точку $P$, которая является серединой ребра $A_1 B_1$. Линия сечения в плоскости верхнего основания — это отрезок $PQ$. Так как $PQ \parallel MN$, а $MN \parallel BC$ и $BC \parallel B_1 C_1$, то $PQ \parallel B_1 C_1$. В $\triangle A_1 B_1 C_1$, если отрезок $PQ$ проходит через середину $P$ стороны $A_1 B_1$ и параллелен стороне $B_1 C_1$, то он является средней линией, и точка $Q$ должна быть серединой стороны $A_1 C_1$. Таким образом, $PQ = \frac{1}{2} B_1 C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

4. Теперь рассмотрим отрезки $MP$ и $NQ$. Отрезок $MP$ соединяет середину $M$ ребра $AB$ и середину $P$ ребра $A_1 B_1$. Так как $ABB_1A_1$ — боковая грань призмы (прямоугольник), $MP$ является отрезком, соединяющим середины параллельных сторон $AB$ и $A_1 B_1$. Следовательно, $MP \parallel AA_1$ и $MP = AA_1$. Аналогично, $NQ \parallel AA_1$ и $NQ = AA_1$. Поскольку $AA_1 = 1$, то $MP = NQ = 1$.

5. Сечение представляет собой четырехугольник $MNQP$. У этого четырехугольника $MN = PQ = \frac{1}{2}$ и $MN \parallel PQ$. Это означает, что $MNQP$ является параллелограммом.

6. Для определения типа параллелограмма рассмотрим угол между его смежными сторонами $MN$ и $MP$. Поскольку призма правильная, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. То есть, $AA_1 \perp (ABC)$. Так как $MP \parallel AA_1$, то $MP$ также перпендикулярен плоскости $(ABC)$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости $(ABC)$. Из этого следует, что $MP \perp MN$.

7. Таким образом, параллелограмм $MNQP$ с перпендикулярными смежными сторонами является прямоугольником. Длины его сторон равны $MN = \frac{1}{2}$ и $MP = 1$.

Ответ: Сечение представляет собой прямоугольник $MNQP$.

Найти его площадь

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его сторон:

$S = MN \cdot MP$

Подставим значения длин сторон:

$S = \frac{1}{2} \cdot 1$

$S = \frac{1}{2}$

Ответ: Площадь сечения равна $ \frac{1}{2} $.