Номер 13, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AD$ и параллельное грани $ABC$. Найдите его площадь.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Длина всех ребер $a=1$.

Сечение проходит через середину ребра $AD$, обозначим ее $M$.

Плоскость сечения параллельна грани $ABC$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Площадь сечения $S_{MNP}$.

Решение:

Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1, проходящее через середину ребра $AD$ и параллельное грани $ABC$.

Пусть $M$ — середина ребра $AD$.

Так как плоскость сечения параллельна грани $ABC$, то линии пересечения этой плоскости с гранями тетраэдра, содержащими вершину $D$, будут параллельны соответствующим ребрам грани $ABC$.

Рассмотрим грань $ABD$. Поскольку $M$ — середина $AD$, и плоскость сечения параллельна $AB$ (так как параллельна $ABC$), то линия пересечения плоскости сечения с гранью $ABD$ будет отрезком $MN$, где $N$ — середина ребра $DB$ (по теореме о средней линии треугольника $ABD$). Тогда $MN = \frac{1}{2} AB$.

Аналогично, рассмотрим грань $ACD$. Поскольку $M$ — середина $AD$, и плоскость сечения параллельна $AC$, то линия пересечения плоскости сечения с гранью $ACD$ будет отрезком $MP$, где $P$ — середина ребра $DC$ (по теореме о средней линии треугольника $ACD$). Тогда $MP = \frac{1}{2} AC$.

Отрезок $NP$ является линией пересечения плоскости сечения с гранью $BCD$. Так как $N$ — середина $DB$, а $P$ — середина $DC$, то $NP$ — средняя линия треугольника $BCD$. Следовательно, $NP = \frac{1}{2} BC$.

Таким образом, сечение тетраэдра представляет собой треугольник $MNP$.

Поскольку все ребра тетраэдра $ABCD$ равны $a=1$, то грани $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a=1$.

Из вышесказанного следует, что $MN = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$, $MP = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$, $NP = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

Следовательно, треугольник $MNP$ является равносторонним треугольником со стороной $s' = \frac{1}{2}$.

Ответ: Сечение представляет собой равносторонний треугольник, вершины которого лежат на серединах ребер $AD$, $DB$ и $DC$.

Найдите его площадь.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s'$ вычисляется по формуле $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (s')^2$.

Подставляя значение $s' = \frac{1}{2}$:

$S_{MNP} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{3}}{16}$.