Номер 19, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Изобразите сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, проходящее через середину ребра $SA$ и параллельное основанию $ABCDEF$. Найдите его площадь.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная. Сторона основания $a_{осн} = 1$ (усл. ед.). Боковое ребро $l = 2$ (усл. ед.). Сечение проходит через середину ребра $SA$. Сечение параллельно основанию $ABCDEF$.

Найти:

Площадь сечения $A_{сеч}$.

Решение:

Изобразите сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, проходящее через середину ребра SA и параллельное основанию ABCDEF.

Поскольку сечение проходит через середину ребра $SA$ и параллельно основанию пирамиды, оно является правильным шестиугольником, подобным основанию. Вершины этого шестиугольника являются серединами всех боковых ребер пирамиды. Обозначим это сечение $M_A M_B M_C M_D M_E M_F$, где $M_A, M_B, \dots, M_F$ – середины боковых ребер $SA, SB, SC, SD, SE, SF$ соответственно.

Пирамида, отсеченная плоскостью сечения ($S M_A M_B M_C M_D M_E M_F$), подобна исходной пирамиде ($SABCDEF$). Коэффициент подобия $k$ определяется отношением соответствующих линейных размеров. Так как сечение проходит через середину бокового ребра $SA$, то $SM_A = \frac{1}{2} SA$. Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{SM_A}{SA} = \frac{1}{2}$.

Сторона шестиугольника сечения $a_{сеч}$ связана со стороной основания $a_{осн}$ через коэффициент подобия: $a_{сеч} = k \cdot a_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Для изображения сечения необходимо представить пирамиду: основание – правильный шестиугольник $ABCDEF$, вершина $S$ находится над центром основания. Отмечаем середины всех боковых ребер $SA, SB, SC, SD, SE, SF$. Соединяем эти середины последовательно, образуя новый правильный шестиугольник, который и будет искомым сечением.

Ответ: Сечение представляет собой правильный шестиугольник, вершины которого являются серединами боковых ребер пирамиды. Сторона сечения равна $1/2$.

Найдите его площадь.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Для сечения сторона $a_{сеч} = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в формулу площади: $A_{сеч} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2$ $A_{сеч} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ $A_{сеч} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{3}}{8}$ квадратных условных единиц.