Номер 25, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B, B_1$ и середину ребра $AC$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длины всех ребер $a=1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $B_1$ и середину ребра $AC$ (обозначим ее $M$).

Перевод в СИ:

Поскольку длина ребра не указана в единицах СИ, мы будем использовать ее как безразмерную величину 1. Результат площади будет также безразмерной величиной.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B$, $B_1$ и середину ребра $AC$.

Сечение, проходящее через точки $B$, $B_1$ и $M$ (середина ребра $AC$), представляет собой треугольник $BB_1M$. Поскольку $M$ лежит в плоскости основания $ABC$, и $B$ лежит в этой же плоскости, отрезок $BM$ принадлежит плоскости основания. $B_1$ является вершиной верхнего основания, а $BB_1$ является боковым ребром. Таким образом, сечение образуется соединением этих трех точек.

Для изображения сечения:

1. Начертите правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$, где основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ - равносторонние треугольники, а боковые грани - прямоугольники.

2. Отметьте вершину $B$ на нижнем основании.

3. Отметьте вершину $B_1$ на верхнем основании.

4. Найдите середину $M$ ребра $AC$ на нижнем основании.

5. Соедините точки $B$, $B_1$ и $M$ отрезками $BM$, $BB_1$ и $B_1M$. Полученный треугольник $BB_1M$ является искомым сечением.

Ответ: Сечением является треугольник $BB_1M$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади треугольника $BB_1M$ нам необходимо знать длины его сторон. По условию, все ребра призмы равны 1.

1. Длина стороны $BB_1$: это боковое ребро призмы, поэтому $BB_1 = 1$.

2. Длина стороны $BM$: точка $M$ является серединой ребра $AC$. Треугольник $ABC$ является правильным (равносторонним) треугольником со стороной $a=1$. $BM$ является медианой, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$. В правильном треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты $h$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для $a=1$, $BM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Длина стороны $B_1M$: рассмотрим треугольник $BB_1M$. Боковое ребро $BB_1$ правильной призмы перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Отрезок $BM$ лежит в плоскости основания $ABC$. Следовательно, $BB_1 \perp BM$. Таким образом, треугольник $BB_1M$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $B$.

По теореме Пифагора для треугольника $BB_1M$:

$B_1M^2 = BB_1^2 + BM^2$

$B_1M^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$B_1M^2 = 1 + \frac{3}{4}$

$B_1M^2 = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$B_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Теперь, когда мы знаем, что треугольник $BB_1M$ является прямоугольным с катетами $BB_1$ и $BM$, его площадь $S$ может быть вычислена как половина произведения длин катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot BM$

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.