Номер 31, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $BC$, $EF$ и $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$.

Сечение проходит через середины рёбер $BC$, $EF$ и $B_1C_1$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Обозначим середины рёбер $BC$, $EF$ и $B_1C_1$ как $M$, $N$ и $P$ соответственно.

Поскольку все рёбра призмы равны 1, то сторона основания шестиугольника $a = 1$, и высота призмы $h = 1$.

Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Правильный шестиугольник со стороной $a=1$ имеет расстояние между серединами противолежащих сторон, равное $a\sqrt{3}$. Следовательно, длина отрезка $MN = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Точка $P$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Сечение проходит через точки $M$, $N$ и $P$.

Отрезок $MP$ соединяет середину ребра $BC$ (точка $M$) с серединой ребра $B_1C_1$ (точка $P$). Так как рёбра $BC$ и $B_1C_1$ параллельны и равны, а точки $M$ и $P$ являются их серединами, отрезок $MP$ параллелен боковым рёбрам призмы ($BB_1$ или $CC_1$) и его длина равна высоте призмы. Таким образом, $MP = h = 1$.

Плоскость сечения, проходящая через $M$, $N$ и $P$, будет пересекать верхнее основание. Поскольку $N$ является серединой ребра $EF$ в нижнем основании, то в верхнем основании эта плоскость пройдёт через середину соответствующего ребра $E_1F_1$. Обозначим эту точку как $Q$.

Аналогично отрезку $MP$, отрезок $NQ$ соединяет середину ребра $EF$ (точка $N$) с серединой ребра $E_1F_1$ (точка $Q$). Следовательно, $NQ$ также параллелен боковым рёбрам призмы и его длина равна $NQ = h = 1$.

В верхнем основании отрезок $PQ$ соединяет середины рёбер $B_1C_1$ и $E_1F_1$. По аналогии с отрезком $MN$ в нижнем основании, длина $PQ = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, сечение представляет собой четырёхугольник $MNQP$. У него стороны $MN$ и $PQ$ параллельны и равны $\sqrt{3}$, а стороны $MP$ и $NQ$ параллельны и равны $1$. Поскольку $MP$ и $NQ$ перпендикулярны плоскостям оснований, то они перпендикулярны $MN$ и $PQ$. Следовательно, четырёхугольник $MNQP$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

$S_{MNQP} = MN \cdot MP = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.