Номер 37, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

37. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $E, A$ и $B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны $a = 1$. (Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$).

Сечение проходит через вершины $E, A, B_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ м.

Высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изображение сечения

1. Вершины $A$ и $E$ лежат в нижней грани $ABCDEF$. Следовательно, отрезок $AE$ является одной из сторон сечения. Длина этого отрезка (короткая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$) равна $AE = a\sqrt{3}$. Так как $a=1$, то $AE = \sqrt{3}$.

2. Вершина $B_1$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Поскольку нижняя и верхняя грани призмы параллельны, линии пересечения плоскости сечения с этими гранями также должны быть параллельны. Это означает, что в верхней грани сечение будет содержать отрезок, параллельный $AE$ и проходящий через $B_1$.

3. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ диагональ $AE$ параллельна диагонали $BD$. Так как $BB_1$ и $DD_1$ являются параллельными боковыми ребрами призмы, то четырехугольник $BDD_1B_1$ является прямоугольником (или параллелограммом в общем случае), и его противоположные стороны $BD$ и $B_1D_1$ параллельны. Следовательно, $AE \parallel BD \parallel B_1D_1$.

4. Так как $AE$ и $B_1D_1$ параллельны и имеют одинаковую длину (обе являются короткими диагоналями шестиугольника со стороной $a=1$, поэтому их длина $\sqrt{3}$), то четырехугольник $A E D_1 B_1$ является параллелограммом. Это и есть искомое сечение.

Вычисление площади сечения

1. Сечение представляет собой параллелограмм $AED_1B_1$. Для вычисления его площади нам понадобятся длины двух смежных сторон и угол между ними, или же мы можем использовать метод векторного произведения.

2. Длины сторон параллелограмма:

• Сторона $AE = \sqrt{3}$ (уже вычислено).

• Сторона $AB_1$: это диагональ боковой грани $ABB_1A_1$. Боковая грань является прямоугольником со сторонами $AB=a=1$ (ребро основания) и $BB_1=h=1$ (высота призмы). По теореме Пифагора, $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

3. Вычислим площадь параллелограмма с помощью векторного произведения векторов, соответствующих смежным сторонам. Для этого введем систему координат.

Пусть центр нижнего основания находится в точке $(0,0,0)$. Вершины правильного шестиугольника со стороной $a=1$ можно задать координатами:

• $A = (1, 0, 0)$

• $E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ (координаты $B$ с добавленной высотой $h=1$)

4. Найдем векторы, соответствующие смежным сторонам параллелограмма $AED_1B_1$:

• Вектор $\vec{AE} = E - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

• Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

5. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов:

$S = |\vec{AE} \times \vec{AB_1}|$

Вычислим векторное произведение:

$\vec{AE} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i} \left( (-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot (\sqrt{3}/2) \right) - \mathbf{j} \left( (-3/2) \cdot 1 - 0 \cdot (-1/2) \right) + \mathbf{k} \left( (-3/2) \cdot (\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2) \cdot (-1/2) \right)$

$= \mathbf{i} (-\sqrt{3}/2) - \mathbf{j} (-3/2) + \mathbf{k} (-3\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4)$

$= (-\sqrt{3}/2)\mathbf{i} + (3/2)\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k}$

Модуль этого вектора:

$S = \sqrt{(-\sqrt{3}/2)^2 + (3/2)^2 + (-\sqrt{3})^2}$

$S = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + 3}$

$S = \sqrt{\frac{12}{4} + 3}$

$S = \sqrt{3 + 3}$

$S = \sqrt{6}$

Ответ:

Сечение является параллелограммом $AED_1B_1$. Его площадь равна $\sqrt{6}$.