Номер 5, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

...через вершину B и середины ребер $AB_1, CC_1$. Найдите его площадь.

5. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $CD, A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Сечение проходит через:

• Вершину $A$.
• Середину ребра $CD$ (обозначим $M$).
• Середину ребра $A_1B_1$ (обозначим $N$).

Перевод в СИ

Поскольку в задаче не указаны конкретные физические единицы измерения, а речь идет о "единичном кубе", то длина ребра $a = 1$ принимается как одна условная единица длины. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

1. Изобразить сечение.2. Найти площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер CD, $A_1B_1$.

Для определения и визуализации сечения воспользуемся координатным методом. Разместим куб в трехмерной декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ направим вдоль осей $x$, $y$ и $z$ соответственно. Так как куб единичный, длина каждого ребра равна 1.

Координаты заданных точек:

• Вершина $A$: $(0,0,0)$.
• Середина ребра $CD$. Координаты вершин $C(1,1,0)$ и $D(0,1,0)$. Координаты середины $M$: $M = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.
• Середина ребра $A_1B_1$. Координаты вершин $A_1(0,0,1)$ и $B_1(1,0,1)$. Координаты середины $N$: $N = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Таким образом, сечение проходит через точки $A(0,0,0)$, $M(1/2, 1, 0)$ и $N(1/2, 0, 1)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Общее уравнение плоскости $ax+by+cz+d=0$. Поскольку плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, свободный член $d=0$. Уравнение принимает вид $ax+by+cz=0$.

Подставим координаты точки $M(1/2, 1, 0)$: $a\left(\frac{1}{2}\right) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + b = 0 \Rightarrow a = -2b$.

Подставим координаты точки $N(1/2, 0, 1)$: $a\left(\frac{1}{2}\right) + b(0) + c(1) = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + c = 0 \Rightarrow a = -2c$.

Из этих двух соотношений следует, что $-2b = -2c$, то есть $b=c$. Выберем $b=1$ (можно выбрать любое ненулевое значение), тогда $c=1$, а $a=-2(1)=-2$.

Уравнение плоскости сечения: $-2x + y + z = 0$, или $2x - y - z = 0$.

Теперь проверим, какие еще вершины или ребра куба пересекает эта плоскость. Подставим координаты вершины $C_1(1,1,1)$ в уравнение плоскости: $2(1) - 1 - 1 = 2 - 2 = 0$. Это означает, что вершина $C_1$ также лежит в плоскости сечения.

Таким образом, сечение является четырехугольником с вершинами $A(0,0,0)$, $M(1/2, 1, 0)$, $C_1(1,1,1)$ и $N(1/2, 0, 1)$.

Рассмотрим стороны этого четырехугольника и их расположение на гранях куба:

• Отрезок $AM$ соединяет $A(0,0,0)$ и $M(1/2,1,0)$. Он лежит на нижней грани $ABCD$ ($z=0$).
• Отрезок $MC_1$ соединяет $M(1/2,1,0)$ и $C_1(1,1,1)$. Он лежит на задней грани $CDD_1C_1$ ($y=1$).
• Отрезок $C_1N$ соединяет $C_1(1,1,1)$ и $N(1/2,0,1)$. Он лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$).
• Отрезок $NA$ соединяет $N(1/2,0,1)$ и $A(0,0,0)$. Он лежит на передней грани $ABB_1A_1$ ($y=0$).

Все стороны данного четырехугольника лежат на гранях куба, что подтверждает, что $AM C_1 N$ является искомым сечением. Для "изображения" сечения достаточно описать его геометрическую форму и расположение.

Определим тип четырехугольника $AM C_1 N$. Сравним векторы противоположных сторон:

• $\vec{AM} = M - A = (1/2, 1, 0)$.
• $\vec{NC_1} = C_1 - N = (1 - 1/2, 1 - 0, 1 - 1) = (1/2, 1, 0)$.

Так как $\vec{AM} = \vec{NC_1}$, стороны $AM$ и $NC_1$ параллельны и равны по длине. Этого достаточно, чтобы заключить, что четырехугольник $AM C_1 N$ является параллелограммом.

Ответ: Сечение представляет собой параллелограмм $AM C_1 N$, где $A$ – вершина куба, $M$ – середина ребра $CD$, $N$ – середина ребра $A_1B_1$, а $C_1$ – вершина куба.

Найдите его площадь.

Площадь параллелограмма, образованного двумя смежными векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, можно найти как модуль их векторного произведения: $S = |\vec{u} \times \vec{v}|$. В нашем случае, это будет $|\vec{AM} \times \vec{AN}|$.

Векторы смежных сторон параллелограмма $AM C_1 N$:

• $\vec{AM} = (1/2, 1, 0)$
• $\vec{AN} = (1/2, 0, 1)$

Вычислим их векторное произведение:

$\vec{AM} \times \vec{AN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1 - 0 \cdot 1/2) + \mathbf{k}(1/2 \cdot 0 - 1 \cdot 1/2)$

$= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1/2) + \mathbf{k}(-1/2) = (1, -1/2, -1/2)$

Теперь найдем модуль полученного вектора, который и будет равен площади параллелограмма:

$S = |(1, -1/2, -1/2)| = \sqrt{1^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2}$

$S = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1 + \frac{2}{4}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$ квадратных единиц.