Номер 9, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A$ и середины ребер $BC$, $A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A$, середину ребра $BC$ (обозначим ее $M$), и середину ребра $A_1D_1$ (обозначим ее $N$).

Найти:

Площадь сечения $S_{AMNC_1}$.

Решение:

Для удобства введем систему координат с началом в точке $A$. Пусть оси $x, y, z$ совпадают с ребрами $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Тогда координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Определим координаты точек, через которые проходит сечение:

• Вершина $A = (0,0,0)$.
• Точка $M$ – середина ребра $BC$. Координаты $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.
• Точка $N$ – середина ребра $A_1D_1$. Координаты $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0, 0.5, 1)$.

Изобразите сечение

Сечение определяется тремя точками $A, M, N$. Построим его:

1. Точки $A$ и $M$ лежат в одной грани $ABCD$, поэтому отрезок $AM$ является стороной сечения.
2. Точки $A$ и $N$ лежат в одной грани $ADD_1A_1$, поэтому отрезок $AN$ является стороной сечения.
3. Плоскость сечения $AMN$ пересекает параллельные грани $ABCD$ (нижняя) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя). Линии пересечения этой плоскостью параллельных граней должны быть параллельны. Так как $AM$ является линией пересечения с нижней гранью, то линия пересечения с верхней гранью, проходящая через $N$, должна быть параллельна $AM$.
4. Найдем четвертую вершину сечения, которая лежит в верхней грани. Вектор $\vec{AM} = M - A = (1, 0.5, 0)$. Искомая точка $K$ находится в верхней грани ($z=1$) и должна быть такой, что $\vec{NK}$ параллелен $\vec{AM}$. Пусть $K = N + \vec{AM} = (0, 0.5, 1) + (1, 0.5, 0) = (1, 1, 1)$. Это точка $C_1$.
5. Проверим, лежит ли $C_1$ на ребре верхней грани. $C_1=(1,1,1)$ является вершиной куба, она находится на пересечении ребер $B_1C_1$ и $C_1D_1$.
6. Таким образом, сечение является четырехугольником $AM C_1 N$.
7. Теперь соединим оставшиеся точки: $M$ с $C_1$ (они лежат в грани $BCC_1B_1$) и $C_1$ с $N$ (они лежат в грани $A_1B_1C_1D_1$).

Определим тип четырехугольника $AM C_1 N$:

• $\vec{AM} = (1, 0.5, 0)$
• $\vec{NC_1} = C_1 - N = (1,1,1) - (0,0.5,1) = (1, 0.5, 0)$

Поскольку $\vec{AM} = \vec{NC_1}$, четырехугольник $AMNC_1$ является параллелограммом (стороны $AM$ и $NC_1$ параллельны и равны по длине).

Вычислим длины смежных сторон:

• $|AM| = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $|AN| = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как $AMNC_1$ — параллелограмм, у которого смежные стороны $AM$ и $AN$ равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Найдите его площадь

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей.

Диагонали ромба $AMNC_1$ это $AC_1$ и $MN$.

• Длина диагонали $AC_1$: $A=(0,0,0), C_1=(1,1,1)$. $|AC_1| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.
• Длина диагонали $MN$: $M=(1,0.5,0), N=(0,0.5,1)$. $|MN| = \sqrt{(0-1)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

Площадь ромба $S_{AMNC_1} = \frac{1}{2} |AC_1| \cdot |MN|$.

$S_{AMNC_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $S_{AMNC_1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.