Номер 7, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B_1$ и середины ребер $AB, C_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Сечение проходит через:

• Вершину $B_1$.

• Середину ребра $AB$ (обозначим $M$).

• Середину ребра $C_1D_1$ (обозначим $N$).

Перевод в СИ:

Длина ребра единичного куба $a = 1$.
$M$ - середина $AB$, следовательно, $AM = MB = a/2 = 1/2$.
$N$ - середина $C_1D_1$, следовательно, $C_1N = ND_1 = a/2 = 1/2$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

1.Изображение сечения:

Введем декартову систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A$, оси $x, y, z$ направлены вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно. Длина ребра куба $a=1$.
Координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

• $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Координаты заданных точек сечения:

• Вершина $B_1$: $(1,0,1)$.

• Середина ребра $AB$ ($M$): $(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 0, 0)$.

• Середина ребра $C_1D_1$ ($N$): $(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1, 1)$.

Для построения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $B_1(1,0,1)$, $M(\frac{1}{2},0,0)$, $N(\frac{1}{2},1,1)$.
Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• $\vec{MB_1} = (1 - \frac{1}{2}, 0 - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, 0, 1)$

• $\vec{MN} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 1 - 0, 1 - 0) = (0, 1, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ является векторным произведением $\vec{MB_1}$ и $\vec{MN}$:

$\vec{n} = \vec{MB_1} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1/2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Уравнение плоскости, проходящей через точку $B_1(1,0,1)$ с вектором нормали $(-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$:

$-1(x-1) - \frac{1}{2}(y-0) + \frac{1}{2}(z-1) = 0$
Умножим все на 2, чтобы избавиться от дробей:

$-2(x-1) - y + (z-1) = 0$
$-2x + 2 - y + z - 1 = 0$
$2x + y - z - 1 = 0$

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Мы уже знаем $M, B_1, N$.
Рассмотрим ребро $AD$. Точки на $AD$ имеют координаты $(0,y,0)$ при $0 \le y \le 1$.Подставим эти координаты в уравнение плоскости:

$2(0) + y - 0 - 1 = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1$

Это соответствует точке $(0,1,0)$, которая является вершиной $D$ куба. Таким образом, вершина $D$ лежит в плоскости сечения.

Итак, вершинами сечения являются $M(\frac{1}{2},0,0)$, $B_1(1,0,1)$, $N(\frac{1}{2},1,1)$ и $D(0,1,0)$.
Сечение является четырехугольником $MB_1ND$.

Краткое описание построения:

• Соединим $B_1$ и $M$. $B_1M$ - первый отрезок сечения (лежит на передней грани $ABB_1A_1$).

• Соединим $B_1$ и $N$. $B_1N$ - второй отрезок сечения (лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$).

• Через $M$ и $D$ на нижней грани $ABCD$ проходит отрезок $MD$. $D$ является вершиной, $M$ - серединой $AB$.

• Через $N$ (середину $C_1D_1$) и $D$ (вершину $D$) проходит отрезок $ND$.

Сечение представляет собой четырехугольник $MB_1ND$.

Ответ: Сечение является четырехугольником $MB_1ND$.

2.Нахождение его площади:

Вычислим длины сторон четырехугольника $MB_1ND$:

• $MB_1 = \sqrt{(1 - \frac{1}{2})^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

• $B_1N = \sqrt{(\frac{1}{2} - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

• $ND = \sqrt{(0 - \frac{1}{2})^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

• $DM = \sqrt{(\frac{1}{2} - 0)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Поскольку все стороны равны, четырехугольник $MB_1ND$ является ромбом.

Для нахождения площади ромба используем формулу $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины его диагоналей.

Длины диагоналей:

• $MN = \sqrt{(\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

• $B_1D = \sqrt{(0 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Площадь ромба $MB_1ND$:

$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot B_1D = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.