Номер 4, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершину $D$ и середины ребер $AA_1$, $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $D$, середину ребра $AA_1$ (обозначим $M$) и середину ребра $CC_1$ (обозначим $N$).

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ м (если считать "единичный" как 1 метр, так как единицы измерения не указаны).

Найти:

Изобразить сечение.

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Обозначим длину ребра единичного куба как $a=1$. Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат: $D(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут: $A(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $C(1,0,0)$, $D(0,0,0)$ (нижнее основание $ABCD$). $A_1(0,1,1)$, $B_1(1,1,1)$, $C_1(1,0,1)$, $D_1(0,0,1)$ (верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$). Середина ребра $AA_1$ - точка $M$. Координаты $M$: $M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$. Середина ребра $CC_1$ - точка $N$. Координаты $N$: $N\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0.5)$. Сечение проходит через точки $D(0,0,0)$, $M(0,1,0.5)$, $N(1,0,0.5)$. Для определения всех вершин сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Векторы, лежащие в этой плоскости: $\vec{DM} = (0-0, 1-0, 0.5-0) = (0,1,0.5)$ $\vec{DN} = (1-0, 0-0, 0.5-0) = (1,0,0.5)$ Нормальный вектор к плоскости $\vec{n} = \vec{DM} \times \vec{DN}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0.5 \\ 1 & 0 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(0 \cdot 0.5 - 1 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (0.5, 0.5, -1)$. Уравнение плоскости, проходящей через $D(0,0,0)$ с нормальным вектором $(0.5, 0.5, -1)$: $0.5x + 0.5y - 1z = 0$. Умножив на 2, получим $x + y - 2z = 0$. Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Рассмотрим ребро $BB_1$. Его координаты $B(1,1,0)$ и $B_1(1,1,1)$. Точки на ребре имеют вид $(1,1,z)$, где $0 \le z \le 1$. Подставим $x=1, y=1$ в уравнение плоскости: $1+1-2z=0 \Rightarrow 2-2z=0 \Rightarrow z=1$. Таким образом, плоскость пересекает ребро $BB_1$ в точке $(1,1,1)$, которая является вершиной $B_1$. Следовательно, сечением является четырехугольник с вершинами $D(0,0,0)$, $M(0,1,0.5)$, $B_1(1,1,1)$, $N(1,0,0.5)$. Проверим тип четырехугольника $DMB_1N$: Вектор $\vec{DN} = (1-0, 0-0, 0.5-0) = (1,0,0.5)$. Вектор $\vec{MB_1} = (1-0, 1-1, 1-0.5) = (1,0,0.5)$. Так как $\vec{DN} = \vec{MB_1}$, стороны $DN$ и $MB_1$ параллельны и равны. Вектор $\vec{DM} = (0-0, 1-0, 0.5-0) = (0,1,0.5)$. Вектор $\vec{NB_1} = (1-1, 1-0, 1-0.5) = (0,1,0.5)$. Так как $\vec{DM} = \vec{NB_1}$, стороны $DM$ и $NB_1$ параллельны и равны. Поскольку противоположные стороны попарно параллельны и равны, сечение $DMB_1N$ является параллелограммом. Найдем длины смежных сторон: $|DM| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. $|DN| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Поскольку смежные стороны равны, параллелограмм $DMB_1N$ является ромбом. Таким образом, сечение - это ромб с вершинами $D$, $M$ (середина $AA_1$), $B_1$ и $N$ (середина $CC_1$).

Ответ: Сечением является ромб $DMB_1N$ (или $DNB_1M$).

Найдите его площадь:

Площадь ромба можно найти как половину произведения длин его диагоналей. Диагоналями ромба $DMB_1N$ являются отрезки $DB_1$ и $MN$. Координаты $D(0,0,0)$ и $B_1(1,1,1)$. Длина диагонали $DB_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$. Координаты $M(0,1,0.5)$ и $N(1,0,0.5)$. Длина диагонали $MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0.5)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. $S = \frac{1}{2} \cdot |DB_1| \cdot |MN| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{2}$.