Номер 35, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

35. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $C$, $E$ и $F_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Сечение проходит через вершины $C$, $E$ и $F_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания призмы $a = 1$ м.

Высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

Изобразить сечение (описать его).

Площадь сечения $S_{CEF_1}$.

Решение:

Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины C, E и F₁.

Для построения сечения, соединим заданные вершины. Вершины $C$ и $E$ лежат в нижней грани $ABCDEF$. Соединим их отрезком $CE$. Вершина $F_1$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Соединим $E$ и $F_1$ отрезком $EF_1$. Соединим $C$ и $F_1$ отрезком $CF_1$. Полученный треугольник $CEF_1$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение представляет собой треугольник $CEF_1$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади треугольника $CEF_1$, вычислим длины его сторон. Все ребра призмы равны $1$, т.е. длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

1. Длина стороны $CE$:

Отрезок $CE$ является диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, соединяющей вершины через одну. Длина такой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

$CE = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ м.

2. Длина стороны $EF_1$:

Отрезок $EF_1$ является диагональю грани $EFF_1E_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $EFF_1$. Катет $EF$ является стороной основания призмы, $EF = a = 1$. Катет $FF_1$ является высотой призмы, $FF_1 = h = 1$. Тогда по теореме Пифагора:

$EF_1 = \sqrt{EF^2 + FF_1^2} = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ м.

3. Длина стороны $CF_1$:

Отрезок $CF_1$ является диагональю, соединяющей вершину нижней грани с вершиной верхней грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CFF_1$. Катет $FF_1$ является высотой призмы, $FF_1 = h = 1$. Катет $CF$ является длинной диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, проходящей через центр. Длина такой диагонали равна $2a$.

$CF = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ м.

Тогда по теореме Пифагора:

$CF_1 = \sqrt{CF^2 + FF_1^2} = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ м.

Таким образом, стороны треугольника $CEF_1$ равны $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt{5}$.

Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу площади через векторное произведение. Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижней грани находится в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты вершин шестиугольника со стороной $a=1$ в плоскости $z=0$ (нижняя грань):

$A=(1,0,0)$

$B=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C=(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D=(-1,0,0)$

$E=(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F=(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие вершины верхней грани ($z=h=1$):

$F_1=(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вершины сечения: $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем векторы, образующие две стороны треугольника, например $\vec{CE}$ и $\vec{CF_1}$:

$\vec{CE} = E - C = (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$

$\vec{CF_1} = F_1 - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$

Площадь треугольника $S$ равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

$S = \frac{1}{2} |\vec{CE} \times \vec{CF_1}|$

Вычислим векторное произведение:

$\vec{CE} \times \vec{CF_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -\sqrt{3} & 0 \\ 1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-\sqrt{3})(1) - (0)(-\sqrt{3})) - \mathbf{j}((0)(1) - (0)(1)) + \mathbf{k}((0)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(1))$

$= \mathbf{i}(-\sqrt{3}) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(\sqrt{3}) = (-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3})$

Модуль векторного произведения:

$|\vec{CE} \times \vec{CF_1}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 0 + 3} = \sqrt{6}$

Площадь треугольника $CEF_1$:

$S_{CEF_1} = \frac{1}{2} \sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ м$^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.