Номер 33, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $C$ и $D_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Следовательно, длина стороны основания $a = 1$, и высота призмы $h = AA_1 = BB_1 = \dots = 1$.

Найти

Изобразить сечение, проходящее через вершины A, C и $D_1$.

Площадь этого сечения.

Решение

Рассмотрим сечение, проходящее через вершины A, C и $D_1$.

Так как вершины A и C лежат в одной плоскости (плоскости нижнего основания $ABCDEF$), отрезок AC является одной из сторон сечения.

Вершины C и $D_1$ лежат в одной боковой грани ($CDD_1C_1$), поэтому отрезок $CD_1$ является второй стороной сечения.

Вершины A и $D_1$ являются последними двумя вершинами, образующими сечение, поэтому отрезок $AD_1$ является третьей стороной сечения.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $ACD_1$.

Найдем длины сторон треугольника $ACD_1$:

1. Длина стороны AC: AC является малой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$. В правильном шестиугольнике малая диагональ равна $a\sqrt{3}$.

$AC = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Длина стороны $CD_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDD_1$. Катеты этого треугольника - это сторона основания CD и боковое ребро $DD_1$.

$CD = a = 1$.

$DD_1 = h = 1$.

По теореме Пифагора: $CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

$CD_1 = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $AD_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Катеты этого треугольника - это большая диагональ основания AD и боковое ребро $DD_1$.

$AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Большая диагональ равна $2a$.

$AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

$DD_1 = h = 1$.

По теореме Пифагора: $AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

$AD_1 = \sqrt{5}$.

Итак, стороны треугольника $ACD_1$ имеют длины $AC = \sqrt{3}$, $CD_1 = \sqrt{2}$, $AD_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $ACD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$AC^2 + CD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.

$AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Поскольку $AC^2 + CD_1^2 = AD_1^2$, треугольник $ACD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($ \angle ACD_1 = 90^\circ $).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$S_{ACD_1} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD_1$

$S_{ACD_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ:

Сечение представляет собой прямоугольный треугольник $ACD_1$ с катетами $AC = \sqrt{3}$ и $CD_1 = \sqrt{2}$. Площадь сечения равна $S = \frac{\sqrt{6}}{2}$.