Номер 34, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B$, $D$ и $E_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$; длина всех ребер равна 1 (сторона основания $a=1$, высота призмы $h=1$). Сечение проходит через вершины $B$, $D$ и $E_1$.

Перевод в СИ: Поскольку в условии задачи не указаны единицы измерения, все линейные размеры будут выражаться в условных единицах длины, а площадь - в условных квадратных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через три заданные точки $B$, $D$ и $E_1$, является треугольником $BDE_1$. Для построения этого сечения необходимо соединить эти вершины отрезками:

• Отрезок $BD$ лежит в плоскости нижнего основания призмы $ABCDEF$.
• Отрезок $DE_1$ соединяет вершину нижнего основания $D$ с вершиной верхнего основания $E_1$.
• Отрезок $BE_1$ соединяет вершину нижнего основания $B$ с вершиной верхнего основания $E_1$.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $BDE_1$.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $BDE_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $BDE_1$ вычислим длины его сторон.

1. Длина стороны $BD$. Вершины $B$ и $D$ находятся в основании призмы. $BD$ является малой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина малой диагонали правильного шестиугольника равна $a\sqrt{3}$.
$BD = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Длина стороны $DE_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DDE_1$. Катеты этого треугольника: $DD_1$ (высота призмы) и $DE$ (сторона основания).
$DD_1 = h = 1$.
$DE = a = 1$.
По теореме Пифагора:
$DE_1^2 = DD_1^2 + DE^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.
$DE_1 = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $BE_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$. Катеты этого треугольника: $EE_1$ (высота призмы) и $BE$ (диагональ основания).
$EE_1 = h = 1$.
$BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна $2a$.
$BE = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.
По теореме Пифагора:
$BE_1^2 = EE_1^2 + BE^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$BE_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, стороны треугольника $BDE_1$ равны $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $BDE_1$ прямоугольным. Для этого применим обратную теорему Пифагора:
$BD^2 + DE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.
$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.
Поскольку $BD^2 + DE_1^2 = BE_1^2$, треугольник $BDE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S_{BDE_1} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DE_1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{2}$ квадратных единиц.