Номер 3, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

через вершину $B$ и середины ребер $AA_1$, $CC_1$. Найдите его площадь.

3. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $C$ и середины ребер $BB_1$, $DD_1$. Найдите его площадь.

4. И

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершину $C$ и середины ребер $BB_1$ и $DD_1$.

Перевод в СИ

Сторона куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Для удобства введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Ребра куба $AB$, $AD$, $AA_1$ направим по осям $x$, $y$, $z$ соответственно. Так как куб единичный, длина каждого ребра равна 1.

Координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

Точки, через которые проходит сечение:

• Вершина $C(1,1,0)$.
• Середина ребра $BB_1$: $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1,0,0.5)$.
• Середина ребра $DD_1$: $N = (\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0,1,0.5)$.

Для определения полной формы сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $C(1,1,0)$, $M(1,0,0.5)$ и $N(0,1,0.5)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• $\vec{CM} = M - C = (1-1, 0-1, 0.5-0) = (0, -1, 0.5)$
• $\vec{CN} = N - C = (0-1, 1-1, 0.5-0) = (-1, 0, 0.5)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости перпендикулярен векторам $\vec{CM}$ и $\vec{CN}$. Его можно найти как векторное произведение $\vec{CM} \times \vec{CN}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & 0.5 \\ -1 & 0 & 0.5 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1) \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 0) - \vec{j}(0 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot (-1)) + \vec{k}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1))$

$\vec{n} = \vec{i}(-0.5) - \vec{j}(0.5) + \vec{k}(-1) = (-0.5, -0.5, -1)$

Для упрощения уравнения плоскости можем взять вектор, коллинеарный $\vec{n}$, например, умножив его на $-2$: $\vec{n'} = (1, 1, 2)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n'} = (1,1,2)$, получаем $1x + 1y + 2z + D = 0$.

Подставим координаты точки $C(1,1,0)$ в уравнение, чтобы найти $D$:

$1(1) + 1(1) + 2(0) + D = 0 \Rightarrow 1 + 1 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = -2$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x + y + 2z - 2 = 0$.

Теперь найдем все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба (где $0 \le x, y, z \le 1$):

• Ребро $BB_1$: $x=1, y=0$. $1 + 0 + 2z - 2 = 0 \Rightarrow 2z - 1 = 0 \Rightarrow z = 0.5$. Это точка $M(1,0,0.5)$.
• Ребро $DD_1$: $x=0, y=1$. $0 + 1 + 2z - 2 = 0 \Rightarrow 2z - 1 = 0 \Rightarrow z = 0.5$. Это точка $N(0,1,0.5)$.
• Ребро $CC_1$: $x=1, y=1$. $1 + 1 + 2z - 2 = 0 \Rightarrow 2z = 0 \Rightarrow z = 0$. Это точка $C(1,1,0)$.
• Ребро $AA_1$: $x=0, y=0$. $0 + 0 + 2z - 2 = 0 \Rightarrow 2z = 2 \Rightarrow z = 1$. Это точка $A_1(0,0,1)$.

Другие ребра куба не пересекаются с плоскостью внутри куба ($x,y,z$ выходят за пределы $[0,1]$).

Итак, вершины сечения: $C(1,1,0)$, $M(1,0,0.5)$, $A_1(0,0,1)$, $N(0,1,0.5)$.

Это четырехугольник $CMA_1N$.

Найдем длины сторон этого четырехугольника:

• $CM = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0.5^2} = \sqrt{0 + 1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $MA_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $A_1N = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (0.5-1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0 + 1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $NC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1 + 0 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как все стороны равны, четырехугольник $CMA_1N$ является ромбом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Длины диагоналей:

• $CA_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
• $MN = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (0.5-0.5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

Площадь сечения $S = \frac{1}{2} \cdot CA_1 \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Для изображения сечения необходимо построить куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Затем отметить вершину $C$, середину $M$ ребра $BB_1$, середину $N$ ребра $DD_1$ и вершину $A_1$. Соединить эти точки последовательно: $C$ с $M$, $M$ с $A_1$, $A_1$ с $N$, и $N$ с $C$. Полученная фигура - ромб.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.