Номер 2, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $AA_1$, $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершину $B$ и середины рёбер $AA_1$ и $CC_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a=1$ (безразмерная величина или в условных единицах длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1.Определение вершин сечения:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба $a=1$. Тогда координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

Заданные точки, через которые проходит сечение:

• Вершина $B(1,0,0)$.
• Середина ребра $AA_1$: $K(0,0,1/2)$.
• Середина ребра $CC_1$: $L(1,1,1/2)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки $B(1,0,0)$, $K(0,0,1/2)$, $L(1,1,1/2)$. Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz=D$.

• Подставим координаты $B(1,0,0)$: $A(1)+B(0)+C(0)=D \Rightarrow A=D$.
• Подставим координаты $K(0,0,1/2)$: $A(0)+B(0)+C(1/2)=D \Rightarrow C/2=D \Rightarrow C=2D$.
• Подставим координаты $L(1,1,1/2)$: $A(1)+B(1)+C(1/2)=D \Rightarrow A+B+C/2=D$.

Подставим $A=D$ и $C=2D$ в третье уравнение:

$D+B+(2D)/2=D \Rightarrow D+B+D=D \Rightarrow 2D+B=D \Rightarrow B=-D$.

Пусть $D=1$. Тогда $A=1$, $B=-1$, $C=2$.

Уравнение плоскости сечения: $x-y+2z=1$.

Теперь найдем остальные точки пересечения этой плоскости с рёбрами куба. Уже известны точки $B(1,0,0)$, $K(0,0,1/2)$, $L(1,1,1/2)$.

Рассмотрим ребро $DD_1$ (проходящее от $D(0,1,0)$ до $D_1(0,1,1)$). Для точек на этом ребре $x=0$ и $y=1$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$0-1+2z=1 \Rightarrow 2z=2 \Rightarrow z=1$.

Это соответствует точке $D_1(0,1,1)$.

Таким образом, сечение проходит через четыре точки: $B(1,0,0)$, $K(0,0,1/2)$, $L(1,1,1/2)$ и $D_1(0,1,1)$.

2.Описание и форма сечения:

Вершины сечения образуют четырёхугольник $BKD_1L$. Опишем его стороны:

• Отрезок $BK$ соединяет вершину $B(1,0,0)$ с серединой $K(0,0,1/2)$ ребра $AA_1$. Этот отрезок лежит в передней грани $ABA_1B_1$.
• Отрезок $KD_1$ соединяет середину $K(0,0,1/2)$ ребра $AA_1$ с вершиной $D_1(0,1,1)$. Этот отрезок лежит в левой грани $ADD_1A_1$.
• Отрезок $D_1L$ соединяет вершину $D_1(0,1,1)$ с серединой $L(1,1,1/2)$ ребра $CC_1$. Этот отрезок лежит в задней грани $CDD_1C_1$.
• Отрезок $LB$ соединяет середину $L(1,1,1/2)$ ребра $CC_1$ с вершиной $B(1,0,0)$. Этот отрезок лежит в правой грани $BCC_1B_1$.

Рассмотрим векторы, соответствующие сторонам четырехугольника:

• $\vec{BK} = K-B = (0-1, 0-0, 1/2-0) = (-1, 0, 1/2)$.
• $\vec{D_1L} = L-D_1 = (1-0, 1-1, 1/2-1) = (1, 0, -1/2)$.
• $\vec{KD_1} = D_1-K = (0-0, 1-0, 1-1/2) = (0, 1, 1/2)$.
• $\vec{LB} = B-L = (1-1, 0-1, 0-1/2) = (0, -1, -1/2)$.

Заметим, что $\vec{BK} = -\vec{D_1L}$, что означает, что стороны $BK$ и $D_1L$ параллельны и равны по длине.Аналогично, $\vec{KD_1} = -\vec{LB}$, что означает, что стороны $KD_1$ и $LB$ параллельны и равны по длине.

Таким образом, четырёхугольник $BKD_1L$ является параллелограммом.Вычислим длины смежных сторон:

• $|BK| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $|KD_1| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку смежные стороны $BK$ и $KD_1$ равны, параллелограмм $BKD_1L$ является ромбом.

Проверим, является ли ромб прямоугольником (т.е. квадратом), вычислив скалярное произведение смежных векторов:

$\vec{BK} \cdot \vec{KD_1} = (-1)(0) + (0)(1) + (1/2)(1/2) = 0 + 0 + 1/4 = 1/4$.

Поскольку скалярное произведение не равно нулю, стороны не перпендикулярны. Следовательно, сечение является ромбом, но не квадратом.

3.Вычисление площади сечения:

Площадь ромба вычисляется как половина произведения длин его диагоналей. Диагоналями ромба $BKD_1L$ являются отрезки $BD_1$ и $KL$.

• Длина первой диагонали $d_1 = |BD_1|$:

  Вектор $\vec{BD_1} = D_1-B = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$.

  $d_1 = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

• Длина второй диагонали $d_2 = |KL|$:

  Вектор $\vec{KL} = L-K = (1-0, 1-0, 1/2-1/2) = (1, 1, 0)$.

  $d_2 = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$.

Проверим, что диагонали перпендикулярны (это свойство ромба):

$\vec{BD_1} \cdot \vec{KL} = (-1)(1) + (1)(1) + (1)(0) = -1 + 1 + 0 = 0$. Подтверждено.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.