Страница 173 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $F$, $B$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

длина всех ребер $a = 1$ (условных единиц длины).

сечение проходит через вершины $F$, $B$, $C_1$.

Найти:

площадь сечения $S_{FBC_1}$.

Решение:

Сечение, проходящее через три заданные вершины $F$, $B$ и $C_1$, является треугольником $FBC_1$.

Для нахождения площади этого треугольника необходимо определить длины его сторон.

1. Длина стороны $FB$:

Вершины $F$ и $B$ лежат в одном основании $ABCDEF$. Отрезок $FB$ является короткой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a$. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$.

$FB = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Длина стороны $BC_1$:

Вершины $B$ и $C_1$ лежат в разных плоскостях: $B$ в нижнем основании, $C_1$ в верхнем. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$. Катеты этого треугольника - это сторона основания $BC$ и боковое ребро $CC_1$ (высота призмы). По условию, все ребра призмы равны 1.

$BC = 1$ (сторона основания).

$CC_1 = 1$ (высота призмы).

По теореме Пифагора для $\Delta BCC_1$:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$

$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$BC_1 = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $FC_1$:

Вершины $F$ и $C_1$ также лежат в разных плоскостях. Рассмотрим прямоугольный треугольник $FCC_1$. Катеты этого треугольника - это большая диагональ основания $FC$ и боковое ребро $CC_1$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $2a$.

$FC = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

$CC_1 = 1$.

По теореме Пифагора для $\Delta FCC_1$:

$FC_1^2 = FC^2 + CC_1^2$

$FC_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$FC_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, стороны треугольника $FBC_1$ имеют длины $FB=\sqrt{3}$, $BC_1=\sqrt{2}$ и $FC_1=\sqrt{5}$.

4. Определение типа треугольника $FBC_1$:

Проверим, является ли треугольник $FBC_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Для этого сравним квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$FB^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

$BC_1^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$FC_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Так как $FB^2 + BC_1^2 = 3 + 2 = 5$, и $FC_1^2 = 5$, то $FB^2 + BC_1^2 = FC_1^2$. Это означает, что треугольник $FBC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ (напротив гипотенузы $FC_1$).

5. Вычисление площади треугольника $FBC_1$:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. Катетами являются стороны $FB$ и $BC_1$.

$S_{FBC_1} = \frac{1}{2} \cdot FB \cdot BC_1$

$S_{FBC_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$

$S_{FBC_1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{2}$ квадратных единиц.

1. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $BB_1$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершину A и середины ребер $BB_1$ и $DD_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1.Изображение сечения:

Для удобства расчетов расположим куб в декартовой системе координат. Пусть вершина A находится в начале координат $(0,0,0)$. Ребра куба параллельны осям координат. Длина ребра куба равна $a=1$. Тогда координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Сечение проходит через вершину A и середины ребер $BB_1$ и $DD_1$. Обозначим эти середины как M и N соответственно.

• Середина ребра $BB_1$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,1/2)$.
• Середина ребра $DD_1$: $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,1/2)$.

Плоскость сечения проходит через точки A, M, N. Найдем уравнение этой плоскости в виде $Ax+By+Cz=D$.

Поскольку точка A$(0,0,0)$ лежит в плоскости, то $D=0$. Уравнение принимает вид $Ax+By+Cz=0$.

Подставим координаты точки M$(1,0,1/2)$: $A(1) + B(0) + C(1/2) = 0 \Rightarrow A + C/2 = 0 \Rightarrow 2A + C = 0$.

Подставим координаты точки N$(0,1,1/2)$: $A(0) + B(1) + C(1/2) = 0 \Rightarrow B + C/2 = 0 \Rightarrow 2B + C = 0$.

Из полученных уравнений следует, что $2A = -C$ и $2B = -C$. Отсюда $A=B=-C/2$.

Для простоты выберем $C = -2$. Тогда $A=1$ и $B=1$.

Уравнение плоскости сечения: $x+y-2z=0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с остальными ребрами куба. Рассмотрим ребро $CC_1$. Точки на этом ребре имеют координаты $(1,1,z)$ при $0 \le z \le 1$.

Подставим эти координаты в уравнение плоскости: $1+1-2z=0 \Rightarrow 2-2z=0 \Rightarrow z=1$.

Таким образом, плоскость пересекает ребро $CC_1$ в точке с координатами $(1,1,1)$, что соответствует вершине $C_1$.

Итак, сечение куба является четырехугольником $AMC_1N$ с вершинами:

• $A = (0,0,0)$
• $M = (1,0,1/2)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $N = (0,1,1/2)$

Чтобы определить тип этого четырехугольника, вычислим векторы, образующие его стороны:

• $\vec{AM} = M-A = (1-0, 0-0, 1/2-0) = (1,0,1/2)$
• $\vec{NC_1} = C_1-N = (1-0, 1-1, 1-1/2) = (1,0,1/2)$
• $\vec{AN} = N-A = (0-0, 1-0, 1/2-0) = (0,1,1/2)$
• $\vec{MC_1} = C_1-M = (1-1, 1-0, 1-1/2) = (0,1,1/2)$

Поскольку $\vec{AM} = \vec{NC_1}$ и $\vec{AN} = \vec{MC_1}$, противоположные стороны четырехугольника $AMC_1N$ попарно параллельны и равны по длине, что означает, что $AMC_1N$ является параллелограммом.

Вычислим длины смежных сторон этого параллелограмма:

• $|AM| = \sqrt{1^2+0^2+(1/2)^2} = \sqrt{1+0+1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
• $|AN| = \sqrt{0^2+1^2+(1/2)^2} = \sqrt{0+1+1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Так как смежные стороны $AM$ и $AN$ имеют равную длину, параллелограмм $AMC_1N$ является ромбом.

Для изображения сечения, представьте куб. Соедините вершину A с серединой M ребра $BB_1$ и с серединой N ребра $DD_1$. Затем соедините M с вершиной $C_1$ и N с вершиной $C_1$. Полученный ромб $AMC_1N$ является искомым сечением.

Ответ: Сечение представляет собой ромб $AMC_1N$, где M – середина ребра $BB_1$, N – середина ребра $DD_1$, а $C_1$ – вершина куба.

2.Нахождение его площади:

Площадь ромба можно вычислить как половину произведения его диагоналей.

Диагонали ромба $AMC_1N$ это $AC_1$ и $MN$.

• Длина диагонали $AC_1$: Точки $A=(0,0,0)$ и $C_1=(1,1,1)$. $|AC_1| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.
• Длина диагонали $MN$: Точки $M=(1,0,1/2)$ и $N=(0,1,1/2)$. $|MN| = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (1/2-1/2)^2} = \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$.

Площадь ромба $S = \frac{1}{2} \cdot |AC_1| \cdot |MN|$.

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Для проверки, можно также использовать формулу площади параллелограмма через векторное произведение смежных сторон: $S = |\vec{AM} \times \vec{AN}|$.

Векторы: $\vec{AM} = (1,0,1/2)$ и $\vec{AN} = (0,1,1/2)$.

Векторное произведение:

$\vec{AM} \times \vec{AN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$

$\vec{AM} \times \vec{AN} = -1/2 \mathbf{i} - 1/2 \mathbf{j} + 1 \mathbf{k} = (-1/2, -1/2, 1)$.

Модуль векторного произведения (площадь):

$S = \sqrt{(-1/2)^2 + (-1/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 1/4 + 1} = \sqrt{1/2 + 1} = \sqrt{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Результаты совпадают.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

2. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $AA_1$, $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершину $B$ и середины рёбер $AA_1$ и $CC_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a=1$ (безразмерная величина или в условных единицах длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1.Определение вершин сечения:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба $a=1$. Тогда координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

Заданные точки, через которые проходит сечение:

• Вершина $B(1,0,0)$.
• Середина ребра $AA_1$: $K(0,0,1/2)$.
• Середина ребра $CC_1$: $L(1,1,1/2)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки $B(1,0,0)$, $K(0,0,1/2)$, $L(1,1,1/2)$. Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz=D$.

• Подставим координаты $B(1,0,0)$: $A(1)+B(0)+C(0)=D \Rightarrow A=D$.
• Подставим координаты $K(0,0,1/2)$: $A(0)+B(0)+C(1/2)=D \Rightarrow C/2=D \Rightarrow C=2D$.
• Подставим координаты $L(1,1,1/2)$: $A(1)+B(1)+C(1/2)=D \Rightarrow A+B+C/2=D$.

Подставим $A=D$ и $C=2D$ в третье уравнение:

$D+B+(2D)/2=D \Rightarrow D+B+D=D \Rightarrow 2D+B=D \Rightarrow B=-D$.

Пусть $D=1$. Тогда $A=1$, $B=-1$, $C=2$.

Уравнение плоскости сечения: $x-y+2z=1$.

Теперь найдем остальные точки пересечения этой плоскости с рёбрами куба. Уже известны точки $B(1,0,0)$, $K(0,0,1/2)$, $L(1,1,1/2)$.

Рассмотрим ребро $DD_1$ (проходящее от $D(0,1,0)$ до $D_1(0,1,1)$). Для точек на этом ребре $x=0$ и $y=1$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$0-1+2z=1 \Rightarrow 2z=2 \Rightarrow z=1$.

Это соответствует точке $D_1(0,1,1)$.

Таким образом, сечение проходит через четыре точки: $B(1,0,0)$, $K(0,0,1/2)$, $L(1,1,1/2)$ и $D_1(0,1,1)$.

2.Описание и форма сечения:

Вершины сечения образуют четырёхугольник $BKD_1L$. Опишем его стороны:

• Отрезок $BK$ соединяет вершину $B(1,0,0)$ с серединой $K(0,0,1/2)$ ребра $AA_1$. Этот отрезок лежит в передней грани $ABA_1B_1$.
• Отрезок $KD_1$ соединяет середину $K(0,0,1/2)$ ребра $AA_1$ с вершиной $D_1(0,1,1)$. Этот отрезок лежит в левой грани $ADD_1A_1$.
• Отрезок $D_1L$ соединяет вершину $D_1(0,1,1)$ с серединой $L(1,1,1/2)$ ребра $CC_1$. Этот отрезок лежит в задней грани $CDD_1C_1$.
• Отрезок $LB$ соединяет середину $L(1,1,1/2)$ ребра $CC_1$ с вершиной $B(1,0,0)$. Этот отрезок лежит в правой грани $BCC_1B_1$.

Рассмотрим векторы, соответствующие сторонам четырехугольника:

• $\vec{BK} = K-B = (0-1, 0-0, 1/2-0) = (-1, 0, 1/2)$.
• $\vec{D_1L} = L-D_1 = (1-0, 1-1, 1/2-1) = (1, 0, -1/2)$.
• $\vec{KD_1} = D_1-K = (0-0, 1-0, 1-1/2) = (0, 1, 1/2)$.
• $\vec{LB} = B-L = (1-1, 0-1, 0-1/2) = (0, -1, -1/2)$.

Заметим, что $\vec{BK} = -\vec{D_1L}$, что означает, что стороны $BK$ и $D_1L$ параллельны и равны по длине.Аналогично, $\vec{KD_1} = -\vec{LB}$, что означает, что стороны $KD_1$ и $LB$ параллельны и равны по длине.

Таким образом, четырёхугольник $BKD_1L$ является параллелограммом.Вычислим длины смежных сторон:

• $|BK| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $|KD_1| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку смежные стороны $BK$ и $KD_1$ равны, параллелограмм $BKD_1L$ является ромбом.

Проверим, является ли ромб прямоугольником (т.е. квадратом), вычислив скалярное произведение смежных векторов:

$\vec{BK} \cdot \vec{KD_1} = (-1)(0) + (0)(1) + (1/2)(1/2) = 0 + 0 + 1/4 = 1/4$.

Поскольку скалярное произведение не равно нулю, стороны не перпендикулярны. Следовательно, сечение является ромбом, но не квадратом.

3.Вычисление площади сечения:

Площадь ромба вычисляется как половина произведения длин его диагоналей. Диагоналями ромба $BKD_1L$ являются отрезки $BD_1$ и $KL$.

• Длина первой диагонали $d_1 = |BD_1|$:

  Вектор $\vec{BD_1} = D_1-B = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$.

  $d_1 = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

• Длина второй диагонали $d_2 = |KL|$:

  Вектор $\vec{KL} = L-K = (1-0, 1-0, 1/2-1/2) = (1, 1, 0)$.

  $d_2 = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$.

Проверим, что диагонали перпендикулярны (это свойство ромба):

$\vec{BD_1} \cdot \vec{KL} = (-1)(1) + (1)(1) + (1)(0) = -1 + 1 + 0 = 0$. Подтверждено.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

через вершину $B$ и середины ребер $AA_1$, $CC_1$. Найдите его площадь.

3. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $C$ и середины ребер $BB_1$, $DD_1$. Найдите его площадь.

4. И

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершину $C$ и середины ребер $BB_1$ и $DD_1$.

Перевод в СИ

Сторона куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Для удобства введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Ребра куба $AB$, $AD$, $AA_1$ направим по осям $x$, $y$, $z$ соответственно. Так как куб единичный, длина каждого ребра равна 1.

Координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

Точки, через которые проходит сечение:

• Вершина $C(1,1,0)$.
• Середина ребра $BB_1$: $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1,0,0.5)$.
• Середина ребра $DD_1$: $N = (\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0,1,0.5)$.

Для определения полной формы сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $C(1,1,0)$, $M(1,0,0.5)$ и $N(0,1,0.5)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• $\vec{CM} = M - C = (1-1, 0-1, 0.5-0) = (0, -1, 0.5)$
• $\vec{CN} = N - C = (0-1, 1-1, 0.5-0) = (-1, 0, 0.5)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости перпендикулярен векторам $\vec{CM}$ и $\vec{CN}$. Его можно найти как векторное произведение $\vec{CM} \times \vec{CN}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & 0.5 \\ -1 & 0 & 0.5 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1) \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 0) - \vec{j}(0 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot (-1)) + \vec{k}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1))$

$\vec{n} = \vec{i}(-0.5) - \vec{j}(0.5) + \vec{k}(-1) = (-0.5, -0.5, -1)$

Для упрощения уравнения плоскости можем взять вектор, коллинеарный $\vec{n}$, например, умножив его на $-2$: $\vec{n'} = (1, 1, 2)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n'} = (1,1,2)$, получаем $1x + 1y + 2z + D = 0$.

Подставим координаты точки $C(1,1,0)$ в уравнение, чтобы найти $D$:

$1(1) + 1(1) + 2(0) + D = 0 \Rightarrow 1 + 1 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = -2$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x + y + 2z - 2 = 0$.

Теперь найдем все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба (где $0 \le x, y, z \le 1$):

• Ребро $BB_1$: $x=1, y=0$. $1 + 0 + 2z - 2 = 0 \Rightarrow 2z - 1 = 0 \Rightarrow z = 0.5$. Это точка $M(1,0,0.5)$.
• Ребро $DD_1$: $x=0, y=1$. $0 + 1 + 2z - 2 = 0 \Rightarrow 2z - 1 = 0 \Rightarrow z = 0.5$. Это точка $N(0,1,0.5)$.
• Ребро $CC_1$: $x=1, y=1$. $1 + 1 + 2z - 2 = 0 \Rightarrow 2z = 0 \Rightarrow z = 0$. Это точка $C(1,1,0)$.
• Ребро $AA_1$: $x=0, y=0$. $0 + 0 + 2z - 2 = 0 \Rightarrow 2z = 2 \Rightarrow z = 1$. Это точка $A_1(0,0,1)$.

Другие ребра куба не пересекаются с плоскостью внутри куба ($x,y,z$ выходят за пределы $[0,1]$).

Итак, вершины сечения: $C(1,1,0)$, $M(1,0,0.5)$, $A_1(0,0,1)$, $N(0,1,0.5)$.

Это четырехугольник $CMA_1N$.

Найдем длины сторон этого четырехугольника:

• $CM = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0.5^2} = \sqrt{0 + 1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $MA_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $A_1N = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (0.5-1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0 + 1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $NC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1 + 0 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как все стороны равны, четырехугольник $CMA_1N$ является ромбом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Длины диагоналей:

• $CA_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
• $MN = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (0.5-0.5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

Площадь сечения $S = \frac{1}{2} \cdot CA_1 \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Для изображения сечения необходимо построить куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Затем отметить вершину $C$, середину $M$ ребра $BB_1$, середину $N$ ребра $DD_1$ и вершину $A_1$. Соединить эти точки последовательно: $C$ с $M$, $M$ с $A_1$, $A_1$ с $N$, и $N$ с $C$. Полученная фигура - ромб.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

4. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершину $D$ и середины ребер $AA_1$, $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $D$, середину ребра $AA_1$ (обозначим $M$) и середину ребра $CC_1$ (обозначим $N$).

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ м (если считать "единичный" как 1 метр, так как единицы измерения не указаны).

Найти:

Изобразить сечение.

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Обозначим длину ребра единичного куба как $a=1$. Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат: $D(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут: $A(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $C(1,0,0)$, $D(0,0,0)$ (нижнее основание $ABCD$). $A_1(0,1,1)$, $B_1(1,1,1)$, $C_1(1,0,1)$, $D_1(0,0,1)$ (верхнее основание $A_1B_1C_1D_1$). Середина ребра $AA_1$ - точка $M$. Координаты $M$: $M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$. Середина ребра $CC_1$ - точка $N$. Координаты $N$: $N\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0.5)$. Сечение проходит через точки $D(0,0,0)$, $M(0,1,0.5)$, $N(1,0,0.5)$. Для определения всех вершин сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Векторы, лежащие в этой плоскости: $\vec{DM} = (0-0, 1-0, 0.5-0) = (0,1,0.5)$ $\vec{DN} = (1-0, 0-0, 0.5-0) = (1,0,0.5)$ Нормальный вектор к плоскости $\vec{n} = \vec{DM} \times \vec{DN}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0.5 \\ 1 & 0 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(0 \cdot 0.5 - 1 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (0.5, 0.5, -1)$. Уравнение плоскости, проходящей через $D(0,0,0)$ с нормальным вектором $(0.5, 0.5, -1)$: $0.5x + 0.5y - 1z = 0$. Умножив на 2, получим $x + y - 2z = 0$. Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Рассмотрим ребро $BB_1$. Его координаты $B(1,1,0)$ и $B_1(1,1,1)$. Точки на ребре имеют вид $(1,1,z)$, где $0 \le z \le 1$. Подставим $x=1, y=1$ в уравнение плоскости: $1+1-2z=0 \Rightarrow 2-2z=0 \Rightarrow z=1$. Таким образом, плоскость пересекает ребро $BB_1$ в точке $(1,1,1)$, которая является вершиной $B_1$. Следовательно, сечением является четырехугольник с вершинами $D(0,0,0)$, $M(0,1,0.5)$, $B_1(1,1,1)$, $N(1,0,0.5)$. Проверим тип четырехугольника $DMB_1N$: Вектор $\vec{DN} = (1-0, 0-0, 0.5-0) = (1,0,0.5)$. Вектор $\vec{MB_1} = (1-0, 1-1, 1-0.5) = (1,0,0.5)$. Так как $\vec{DN} = \vec{MB_1}$, стороны $DN$ и $MB_1$ параллельны и равны. Вектор $\vec{DM} = (0-0, 1-0, 0.5-0) = (0,1,0.5)$. Вектор $\vec{NB_1} = (1-1, 1-0, 1-0.5) = (0,1,0.5)$. Так как $\vec{DM} = \vec{NB_1}$, стороны $DM$ и $NB_1$ параллельны и равны. Поскольку противоположные стороны попарно параллельны и равны, сечение $DMB_1N$ является параллелограммом. Найдем длины смежных сторон: $|DM| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. $|DN| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Поскольку смежные стороны равны, параллелограмм $DMB_1N$ является ромбом. Таким образом, сечение - это ромб с вершинами $D$, $M$ (середина $AA_1$), $B_1$ и $N$ (середина $CC_1$).

Ответ: Сечением является ромб $DMB_1N$ (или $DNB_1M$).

Найдите его площадь:

Площадь ромба можно найти как половину произведения длин его диагоналей. Диагоналями ромба $DMB_1N$ являются отрезки $DB_1$ и $MN$. Координаты $D(0,0,0)$ и $B_1(1,1,1)$. Длина диагонали $DB_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$. Координаты $M(0,1,0.5)$ и $N(1,0,0.5)$. Длина диагонали $MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0.5)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. $S = \frac{1}{2} \cdot |DB_1| \cdot |MN| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

...через вершину B и середины ребер $AB_1, CC_1$. Найдите его площадь.

5. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $CD, A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Сечение проходит через:

• Вершину $A$.
• Середину ребра $CD$ (обозначим $M$).
• Середину ребра $A_1B_1$ (обозначим $N$).

Перевод в СИ

Поскольку в задаче не указаны конкретные физические единицы измерения, а речь идет о "единичном кубе", то длина ребра $a = 1$ принимается как одна условная единица длины. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

1. Изобразить сечение.2. Найти площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер CD, $A_1B_1$.

Для определения и визуализации сечения воспользуемся координатным методом. Разместим куб в трехмерной декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ направим вдоль осей $x$, $y$ и $z$ соответственно. Так как куб единичный, длина каждого ребра равна 1.

Координаты заданных точек:

• Вершина $A$: $(0,0,0)$.
• Середина ребра $CD$. Координаты вершин $C(1,1,0)$ и $D(0,1,0)$. Координаты середины $M$: $M = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.
• Середина ребра $A_1B_1$. Координаты вершин $A_1(0,0,1)$ и $B_1(1,0,1)$. Координаты середины $N$: $N = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Таким образом, сечение проходит через точки $A(0,0,0)$, $M(1/2, 1, 0)$ и $N(1/2, 0, 1)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Общее уравнение плоскости $ax+by+cz+d=0$. Поскольку плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, свободный член $d=0$. Уравнение принимает вид $ax+by+cz=0$.

Подставим координаты точки $M(1/2, 1, 0)$: $a\left(\frac{1}{2}\right) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + b = 0 \Rightarrow a = -2b$.

Подставим координаты точки $N(1/2, 0, 1)$: $a\left(\frac{1}{2}\right) + b(0) + c(1) = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + c = 0 \Rightarrow a = -2c$.

Из этих двух соотношений следует, что $-2b = -2c$, то есть $b=c$. Выберем $b=1$ (можно выбрать любое ненулевое значение), тогда $c=1$, а $a=-2(1)=-2$.

Уравнение плоскости сечения: $-2x + y + z = 0$, или $2x - y - z = 0$.

Теперь проверим, какие еще вершины или ребра куба пересекает эта плоскость. Подставим координаты вершины $C_1(1,1,1)$ в уравнение плоскости: $2(1) - 1 - 1 = 2 - 2 = 0$. Это означает, что вершина $C_1$ также лежит в плоскости сечения.

Таким образом, сечение является четырехугольником с вершинами $A(0,0,0)$, $M(1/2, 1, 0)$, $C_1(1,1,1)$ и $N(1/2, 0, 1)$.

Рассмотрим стороны этого четырехугольника и их расположение на гранях куба:

• Отрезок $AM$ соединяет $A(0,0,0)$ и $M(1/2,1,0)$. Он лежит на нижней грани $ABCD$ ($z=0$).
• Отрезок $MC_1$ соединяет $M(1/2,1,0)$ и $C_1(1,1,1)$. Он лежит на задней грани $CDD_1C_1$ ($y=1$).
• Отрезок $C_1N$ соединяет $C_1(1,1,1)$ и $N(1/2,0,1)$. Он лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$).
• Отрезок $NA$ соединяет $N(1/2,0,1)$ и $A(0,0,0)$. Он лежит на передней грани $ABB_1A_1$ ($y=0$).

Все стороны данного четырехугольника лежат на гранях куба, что подтверждает, что $AM C_1 N$ является искомым сечением. Для "изображения" сечения достаточно описать его геометрическую форму и расположение.

Определим тип четырехугольника $AM C_1 N$. Сравним векторы противоположных сторон:

• $\vec{AM} = M - A = (1/2, 1, 0)$.
• $\vec{NC_1} = C_1 - N = (1 - 1/2, 1 - 0, 1 - 1) = (1/2, 1, 0)$.

Так как $\vec{AM} = \vec{NC_1}$, стороны $AM$ и $NC_1$ параллельны и равны по длине. Этого достаточно, чтобы заключить, что четырехугольник $AM C_1 N$ является параллелограммом.

Ответ: Сечение представляет собой параллелограмм $AM C_1 N$, где $A$ – вершина куба, $M$ – середина ребра $CD$, $N$ – середина ребра $A_1B_1$, а $C_1$ – вершина куба.

Найдите его площадь.

Площадь параллелограмма, образованного двумя смежными векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$, можно найти как модуль их векторного произведения: $S = |\vec{u} \times \vec{v}|$. В нашем случае, это будет $|\vec{AM} \times \vec{AN}|$.

Векторы смежных сторон параллелограмма $AM C_1 N$:

• $\vec{AM} = (1/2, 1, 0)$
• $\vec{AN} = (1/2, 0, 1)$

Вычислим их векторное произведение:

$\vec{AM} \times \vec{AN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1 - 0 \cdot 1/2) + \mathbf{k}(1/2 \cdot 0 - 1 \cdot 1/2)$

$= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1/2) + \mathbf{k}(-1/2) = (1, -1/2, -1/2)$

Теперь найдем модуль полученного вектора, который и будет равен площади параллелограмма:

$S = |(1, -1/2, -1/2)| = \sqrt{1^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2}$

$S = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1 + \frac{2}{4}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$S = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$ квадратных единиц.

6. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $A_1B_1$, $CD$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра куба $a=1$.

Сечение проходит через:

• Вершину $B$

• Середину ребра $A_1B_1$ (обозначим её $M$)

• Середину ребра $CD$ (обозначим её $N$)

Перевод в СИ

Задача является геометрической и не содержит физических величин, требующих перевода в систему СИ. Длина ребра куба $a=1$ (единица длины).

Найти

• Изобразить сечение.

• Найти площадь сечения.

Решение

Для удобства введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$, а его рёбра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат соответственно вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$

• $B(1,0,0)$

• $C(1,1,0)$

• $D(0,1,0)$

• $A_1(0,0,1)$

• $B_1(1,0,1)$

• $C_1(1,1,1)$

• $D_1(0,1,1)$

Координаты заданных точек для сечения:

• Вершина $B$: $B(1,0,0)$.

• Середина ребра $A_1B_1$: $M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

• Середина ребра $CD$: $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.

Изобразите сечение

Для построения сечения соединим заданные точки:

• Отрезок $BM$: Точки $B(1,0,0)$ и $M(1/2,0,1)$ лежат в одной грани $ABB_1A_1$ (так как их $y$-координата равна 0). Этот отрезок является частью сечения.

• Отрезок $BN$: Точки $B(1,0,0)$ и $N(1/2,1,0)$ лежат в одной грани $ABCD$ (так как их $z$-координата равна 0). Этот отрезок является частью сечения.

• Отрезок $MN$: Точки $M(1/2,0,1)$ и $N(1/2,1,0)$ имеют одинаковую $x$-координату ($x=1/2$). Этот отрезок соединяет точку на верхнем ребре куба с точкой на нижнем ребре куба и проходит через внутреннюю часть куба. Он также является частью сечения.

Так как точки $B$, $M$, $N$ не лежат на одной прямой и образуют замкнутый контур, сечением является треугольник $BMN$.

Ответ:

Сечение единичного куба, проходящее через вершину $B$ и середины рёбер $A_1B_1$ и $CD$, представляет собой треугольник $BMN$. Для его изображения необходимо начертить куб, отметить вершину $B$, середину $M$ ребра $A_1B_1$ и середину $N$ ребра $CD$, а затем соединить эти три точки отрезками $BM$, $BN$ и $MN$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади треугольника $BMN$ вычислим длины его сторон, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

• Длина стороны $BM$:

  $|BM| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-1\right)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

• Длина стороны $BN$:

  $|BN| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-1\right)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

• Длина стороны $MN$:

  $|MN| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

Поскольку $|BM| = |BN|$, треугольник $BMN$ является равнобедренным. Площадь равнобедренного треугольника можно найти как половину произведения длины основания на высоту, опущенную на это основание. В данном случае в качестве основания возьмем $MN$.

Найдем координаты середины отрезка $MN$, обозначим её $K$: $K = \left(\frac{1/2+1/2}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.

Вычислим длину высоты $BK$, которая соединяет вершину $B$ с серединой основания $K$: $|BK| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-1\right)^2 + \left(\frac{1}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{1}{2}-0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь вычислим площадь треугольника $BMN$: $S_{BMN} = \frac{1}{2} \cdot |MN| \cdot |BK| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Альтернативный способ вычисления площади - через векторное произведение: $S_{BMN} = \frac{1}{2} |\vec{BM} \times \vec{BN}|$.

Векторы сторон: $\vec{BM} = M - B = \left(\frac{1}{2}-1, 0-0, 1-0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 0, 1\right)$ $\vec{BN} = N - B = \left(\frac{1}{2}-1, 1-0, 0-0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 1, 0\right)$

Векторное произведение $\vec{BM} \times \vec{BN}$: $\vec{BM} \times \vec{BN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & 0 & 1 \\ -1/2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}\left(-\frac{1}{2} \cdot 0 - 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right) + \mathbf{k}\left(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right)$ $= \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}\left(\frac{1}{2}\right) + \mathbf{k}\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-1, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

Модуль полученного вектора: $|\vec{BM} \times \vec{BN}| = \sqrt{(-1)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1 + \frac{2}{4}} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Площадь треугольника $S_{BMN}$: $S_{BMN} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

7. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B_1$ и середины ребер $AB, C_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Сечение проходит через:

• Вершину $B_1$.

• Середину ребра $AB$ (обозначим $M$).

• Середину ребра $C_1D_1$ (обозначим $N$).

Перевод в СИ:

Длина ребра единичного куба $a = 1$.
$M$ - середина $AB$, следовательно, $AM = MB = a/2 = 1/2$.
$N$ - середина $C_1D_1$, следовательно, $C_1N = ND_1 = a/2 = 1/2$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

1.Изображение сечения:

Введем декартову систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $A$, оси $x, y, z$ направлены вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно. Длина ребра куба $a=1$.
Координаты вершин куба:

• $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

• $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Координаты заданных точек сечения:

• Вершина $B_1$: $(1,0,1)$.

• Середина ребра $AB$ ($M$): $(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 0, 0)$.

• Середина ребра $C_1D_1$ ($N$): $(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1, 1)$.

Для построения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $B_1(1,0,1)$, $M(\frac{1}{2},0,0)$, $N(\frac{1}{2},1,1)$.
Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• $\vec{MB_1} = (1 - \frac{1}{2}, 0 - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, 0, 1)$

• $\vec{MN} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 1 - 0, 1 - 0) = (0, 1, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ является векторным произведением $\vec{MB_1}$ и $\vec{MN}$:

$\vec{n} = \vec{MB_1} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1/2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Уравнение плоскости, проходящей через точку $B_1(1,0,1)$ с вектором нормали $(-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$:

$-1(x-1) - \frac{1}{2}(y-0) + \frac{1}{2}(z-1) = 0$
Умножим все на 2, чтобы избавиться от дробей:

$-2(x-1) - y + (z-1) = 0$
$-2x + 2 - y + z - 1 = 0$
$2x + y - z - 1 = 0$

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Мы уже знаем $M, B_1, N$.
Рассмотрим ребро $AD$. Точки на $AD$ имеют координаты $(0,y,0)$ при $0 \le y \le 1$.Подставим эти координаты в уравнение плоскости:

$2(0) + y - 0 - 1 = 0 \implies y - 1 = 0 \implies y = 1$

Это соответствует точке $(0,1,0)$, которая является вершиной $D$ куба. Таким образом, вершина $D$ лежит в плоскости сечения.

Итак, вершинами сечения являются $M(\frac{1}{2},0,0)$, $B_1(1,0,1)$, $N(\frac{1}{2},1,1)$ и $D(0,1,0)$.
Сечение является четырехугольником $MB_1ND$.

Краткое описание построения:

• Соединим $B_1$ и $M$. $B_1M$ - первый отрезок сечения (лежит на передней грани $ABB_1A_1$).

• Соединим $B_1$ и $N$. $B_1N$ - второй отрезок сечения (лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$).

• Через $M$ и $D$ на нижней грани $ABCD$ проходит отрезок $MD$. $D$ является вершиной, $M$ - серединой $AB$.

• Через $N$ (середину $C_1D_1$) и $D$ (вершину $D$) проходит отрезок $ND$.

Сечение представляет собой четырехугольник $MB_1ND$.

Ответ: Сечение является четырехугольником $MB_1ND$.

2.Нахождение его площади:

Вычислим длины сторон четырехугольника $MB_1ND$:

• $MB_1 = \sqrt{(1 - \frac{1}{2})^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

• $B_1N = \sqrt{(\frac{1}{2} - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

• $ND = \sqrt{(0 - \frac{1}{2})^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

• $DM = \sqrt{(\frac{1}{2} - 0)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Поскольку все стороны равны, четырехугольник $MB_1ND$ является ромбом.

Для нахождения площади ромба используем формулу $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины его диагоналей.

Длины диагоналей:

• $MN = \sqrt{(\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

• $B_1D = \sqrt{(0 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

Площадь ромба $MB_1ND$:

$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot B_1D = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

8. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A_1$ и середины ребер $AB$, $C_1D_1$. Найдите его площадь.

9. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, т.е. длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через:

- вершину $A_1$.

- середину ребра $AB$ (обозначим ее $M$).

- середину ребра $C_1D_1$ (обозначим ее $N$).

Система СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ условная единица длины. Например, если считать в метрах, $a = 1 \text{ м}$.

Найти:

1. Описание построения сечения.

2. Площадь сечения.

Решение

Для удобства введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно. Тогда координаты вершин куба и заданных точек будут:

- Вершины нижнего основания: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$.

- Вершины верхнего основания: $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$.

Заданные точки сечения:

- Вершина $A_1=(0,0,1)$.

- Середина ребра $AB$: $M = \left(\frac{0+1}{2}, 0, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.

- Середина ребра $C_1D_1$: $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$.

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A_1$ и середины ребер $AB, C_1D_1$:

Сечение проходит через три заданные точки $A_1(0,0,1)$, $M(1/2,0,0)$ и $N(1/2,1,1)$. Эти три точки задают плоскость сечения.

1. Начертите куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

2. Отметьте вершину $A_1$.

3. На ребре $AB$ отметьте его середину $M$.

4. На ребре $C_1D_1$ отметьте его середину $N$.

5. Соедините точки $A_1$ и $M$. Этот отрезок $A_1M$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$.

6. Соедините точки $A_1$ и $N$. Этот отрезок $A_1N$ лежит в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

7. Для определения полных границ сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через $A_1, M, N$. Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz=D$.

- Подставим $A_1(0,0,1)$: $A(0)+B(0)+C(1)=D \Rightarrow C=D$.

- Подставим $M(1/2,0,0)$: $A(1/2)+B(0)+C(0)=D \Rightarrow A/2=D \Rightarrow A=2D$.

- Подставим $N(1/2,1,1)$: $A(1/2)+B(1)+C(1)=D \Rightarrow (2D)(1/2)+B+D=D \Rightarrow D+B+D=D \Rightarrow B=-D$.

Принимая $D=1$ (можно принять любое ненулевое значение), получаем $A=2, B=-1, C=1$.

Уравнение плоскости сечения: $2x - y + z = 1$.

8. Найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Проверяя все 12 ребер, обнаружим, что плоскость пересекает ребро $BC$ (где $x=1, z=0$, $0 \le y \le 1$): $2(1) - y + 0 = 1 \Rightarrow 2 - y = 1 \Rightarrow y = 1$. Точка пересечения — $C(1,1,0)$. Других точек пересечения с ребрами внутри их диапазонов не будет.

9. Таким образом, сечение является четырехугольником, образованным точками $A_1$, $M$, $C$ и $N$. Соединим $M$ и $C$. Этот отрезок $MC$ лежит в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединим $C$ и $N$. Этот отрезок $CN$ соединяет точку на нижней грани с точкой на верхней грани.

В результате сечение куба представляет собой четырехугольник $A_1MCN$.

Определим тип четырехугольника $A_1MCN$. Найдем векторы его сторон:

- Вектор $A_1M = M - A_1 = (1/2-0, 0-0, 0-1) = (1/2, 0, -1)$.

- Вектор $NC = C - N = (1-1/2, 1-1, 0-1) = (1/2, 0, -1)$.

Так как векторы $A_1M$ и $NC$ равны, то стороны $A_1M$ и $NC$ параллельны и равны по длине. Это означает, что $A_1MCN$ — параллелограмм.

Найдем длины смежных сторон $A_1M$ и $A_1N$:

- Длина стороны $A_1M$: $|A_1M| = \sqrt{(1/2)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

- Вектор $A_1N = N - A_1 = (1/2-0, 1-0, 1-1) = (1/2, 1, 0)$.

- Длина стороны $A_1N$: $|A_1N| = \sqrt{(1/2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку $A_1MCN$ является параллелограммом и две его смежные стороны $A_1M$ и $A_1N$ равны по длине, то это ромб.

Ответ: Сечение является ромбом $A_1MCN$.

Найдите его площадь:

Площадь ромба можно найти как половину произведения длин его диагоналей.

Диагонали ромба $A_1MCN$ это $A_1C$ и $MN$.

- Длина диагонали $A_1C$: $A_1=(0,0,1)$, $C=(1,1,0)$.

$d_1 = |A_1C| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

- Длина диагонали $MN$: $M=(1/2,0,0)$, $N=(1/2,1,1)$.

$d_2 = |MN| = \sqrt{(1/2-1/2)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$.

Площадь ромба $S_{A_1MCN} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

9. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A$ и середины ребер $BC$, $A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A$, середину ребра $BC$ (обозначим ее $M$), и середину ребра $A_1D_1$ (обозначим ее $N$).

Найти:

Площадь сечения $S_{AMNC_1}$.

Решение:

Для удобства введем систему координат с началом в точке $A$. Пусть оси $x, y, z$ совпадают с ребрами $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Тогда координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Определим координаты точек, через которые проходит сечение:

• Вершина $A = (0,0,0)$.
• Точка $M$ – середина ребра $BC$. Координаты $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.
• Точка $N$ – середина ребра $A_1D_1$. Координаты $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0, 0.5, 1)$.

Изобразите сечение

Сечение определяется тремя точками $A, M, N$. Построим его:

1. Точки $A$ и $M$ лежат в одной грани $ABCD$, поэтому отрезок $AM$ является стороной сечения.
2. Точки $A$ и $N$ лежат в одной грани $ADD_1A_1$, поэтому отрезок $AN$ является стороной сечения.
3. Плоскость сечения $AMN$ пересекает параллельные грани $ABCD$ (нижняя) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя). Линии пересечения этой плоскостью параллельных граней должны быть параллельны. Так как $AM$ является линией пересечения с нижней гранью, то линия пересечения с верхней гранью, проходящая через $N$, должна быть параллельна $AM$.
4. Найдем четвертую вершину сечения, которая лежит в верхней грани. Вектор $\vec{AM} = M - A = (1, 0.5, 0)$. Искомая точка $K$ находится в верхней грани ($z=1$) и должна быть такой, что $\vec{NK}$ параллелен $\vec{AM}$. Пусть $K = N + \vec{AM} = (0, 0.5, 1) + (1, 0.5, 0) = (1, 1, 1)$. Это точка $C_1$.
5. Проверим, лежит ли $C_1$ на ребре верхней грани. $C_1=(1,1,1)$ является вершиной куба, она находится на пересечении ребер $B_1C_1$ и $C_1D_1$.
6. Таким образом, сечение является четырехугольником $AM C_1 N$.
7. Теперь соединим оставшиеся точки: $M$ с $C_1$ (они лежат в грани $BCC_1B_1$) и $C_1$ с $N$ (они лежат в грани $A_1B_1C_1D_1$).

Определим тип четырехугольника $AM C_1 N$:

• $\vec{AM} = (1, 0.5, 0)$
• $\vec{NC_1} = C_1 - N = (1,1,1) - (0,0.5,1) = (1, 0.5, 0)$

Поскольку $\vec{AM} = \vec{NC_1}$, четырехугольник $AMNC_1$ является параллелограммом (стороны $AM$ и $NC_1$ параллельны и равны по длине).

Вычислим длины смежных сторон:

• $|AM| = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $|AN| = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как $AMNC_1$ — параллелограмм, у которого смежные стороны $AM$ и $AN$ равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Найдите его площадь

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей.

Диагонали ромба $AMNC_1$ это $AC_1$ и $MN$.

• Длина диагонали $AC_1$: $A=(0,0,0), C_1=(1,1,1)$. $|AC_1| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.
• Длина диагонали $MN$: $M=(1,0.5,0), N=(0,0.5,1)$. $|MN| = \sqrt{(0-1)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.

Площадь ромба $S_{AMNC_1} = \frac{1}{2} |AC_1| \cdot |MN|$.

$S_{AMNC_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $S_{AMNC_1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

10. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $D$ и середины ребер $BC, A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.
Сечение проходит через:
- вершину $D$.
- середину ребра $BC$, обозначим ее $M$.
- середину ребра $A_1 D_1$, обозначим ее $N$.

Перевод в СИ:
Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:
Изобразите сечение: Описание и построение сечения куба.
Найдите его площадь: Вычисление площади сечения.

Решение:

Изобразите сечение
Для удобства введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Длина ребра куба $a=1$. Тогда координаты вершин куба:
$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$
Заданные точки сечения:
1. Вершина $D$ имеет координаты $D(0,1,0)$.
2. Середина ребра $BC$. Координаты $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$.
Пусть $M$ — середина $BC$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.
3. Середина ребра $A_1 D_1$. Координаты $A_1(0,0,1)$ и $D_1(0,1,1)$.
Пусть $N$ — середина $A_1 D_1$: $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0, 0.5, 1)$.

Сечение является плоскостью, проходящей через три точки $D(0,1,0)$, $M(1,0.5,0)$ и $N(0,0.5,1)$. Найдем уравнение этой плоскости в общем виде $Ax + By + Cz + K = 0$.
Подставляем координаты точек:
Для $D(0,1,0)$: $A(0) + B(1) + C(0) + K = 0 \Rightarrow B + K = 0 \Rightarrow B = -K$.
Для $M(1,0.5,0)$: $A(1) + B(0.5) + C(0) + K = 0 \Rightarrow A + 0.5B + K = 0$. Подставляем $B=-K$: $A - 0.5K + K = 0 \Rightarrow A + 0.5K = 0 \Rightarrow A = -0.5K$.
Для $N(0,0.5,1)$: $A(0) + B(0.5) + C(1) + K = 0 \Rightarrow 0.5B + C + K = 0$. Подставляем $B=-K$: $0.5(-K) + C + K = 0 \Rightarrow C + 0.5K = 0 \Rightarrow C = -0.5K$.
Для упрощения выберем $K = -2$. Тогда $A = 1$, $B = 2$, $C = 1$.
Уравнение плоскости сечения: $x + 2y + z - 2 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с остальными ребрами куба.
1. Пересечение с ребром $BB_1$. Это ребро лежит на прямой $x=1, y=0$. Точки на ребре имеют вид $(1,0,z)$ при $0 \le z \le 1$.
Подставляем в уравнение плоскости: $1 + 2(0) + z - 2 = 0 \Rightarrow z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$.
Точка пересечения $P_1(1,0,1)$. Это вершина $B_1$.

2. Пересечение с ребром $CC_1$. Это ребро лежит на прямой $x=1, y=1$. Точки на ребре имеют вид $(1,1,z)$ при $0 \le z \le 1$.
Подставляем: $1 + 2(1) + z - 2 = 0 \Rightarrow 1 + 2 + z - 2 = 0 \Rightarrow z + 1 = 0 \Rightarrow z = -1$.
Поскольку $z = -1$ не лежит в интервале $[0,1]$, плоскость не пересекает ребро $CC_1$.

3. Пересечение с ребром $AA_1$. Это ребро лежит на прямой $x=0, y=0$. Точки на ребре имеют вид $(0,0,z)$ при $0 \le z \le 1$.
Подставляем: $0 + 2(0) + z - 2 = 0 \Rightarrow z - 2 = 0 \Rightarrow z = 2$.
Поскольку $z = 2$ не лежит в интервале $[0,1]$, плоскость не пересекает ребро $AA_1$.

Таким образом, вершины сечения: $D(0,1,0)$, $M(1,0.5,0)$, $B_1(1,0,1)$, $N(0,0.5,1)$.
Сечение является четырехугольником $DMB_1N$.
Проверим тип четырехугольника.
Вектор $\vec{DN} = (0-0, 0.5-1, 1-0) = (0, -0.5, 1)$.
Вектор $\vec{MB_1} = (1-1, 0-0.5, 1-0) = (0, -0.5, 1)$.
Поскольку векторы $\vec{DN}$ и $\vec{MB_1}$ равны, стороны $DN$ и $MB_1$ параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник $DMB_1N$ является параллелограммом.
Ответ: Сечение представляет собой параллелограмм $DMB_1N$ с вершинами $D(0,1,0)$, $M(1,0.5,0)$, $B_1(1,0,1)$, $N(0,0.5,1)$.

Найдите его площадь
Площадь параллелограмма $DMB_1N$ можно вычислить как модуль векторного произведения двух векторов, образующих его смежные стороны, например $\vec{DM}$ и $\vec{DN}$.
Вектор $\vec{DM} = (1-0, 0.5-1, 0-0) = (1, -0.5, 0)$.
Вектор $\vec{DN} = (0-0, 0.5-1, 1-0) = (0, -0.5, 1)$.
Вычислим векторное произведение:
$\vec{DM} \times \vec{DN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.5 & 0 \\ 0 & -0.5 & 1 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i}(-0.5 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.5)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-0.5) - 0 \cdot (-0.5))$
$= \mathbf{i}(-0.5) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(-0.5) = (-0.5, -1, -0.5)$.
Площадь $S$ равна модулю этого вектора:
$S = \left \| \vec{DM} \times \vec{DN} \right \| = \sqrt{(-0.5)^2 + (-1)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 1 + 0.25} = \sqrt{1.5}$.
$S = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Альтернативный способ: определить, является ли параллелограмм ромбом, и использовать формулу площади через диагонали.
Длины смежных сторон:
$|DM| = \sqrt{1^2 + (-0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25}$.
$|DN| = \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25}$.
Поскольку смежные стороны $DM$ и $DN$ равны, параллелограмм $DMB_1N$ является ромбом.
Длины диагоналей ромба:
Диагональ $DB_1$: $D(0,1,0)$, $B_1(1,0,1)$.
$d_1 = |DB_1| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.
Диагональ $MN$: $M(1,0.5,0)$, $N(0,0.5,1)$.
$d_2 = |MN| = \sqrt{(0-1)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.
Площадь ромба $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Оба метода дают одинаковый результат.
Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{2}$ квадратных единиц.

11. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $AD$, $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, т.е. длина ребра куба $a = 1$. Сечение проходит через:

• вершину $B$
• середину ребра $AD$, обозначим ее $M$
• середину ребра $B_1C_1$, обозначим ее $N$

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение

Определим координаты вершин куба, приняв вершину $A$ за начало координат: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$. Длина ребра куба $a=1$.

Найдем координаты заданных точек:

• Вершина $B$ имеет координаты $(1,0,0)$.
• Точка $M$ - середина ребра $AD$. Координаты $A=(0,0,0)$ и $D=(0,1,0)$, поэтому $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.
• Точка $N$ - середина ребра $B_1C_1$. Координаты $B_1=(1,0,1)$ и $C_1=(1,1,1)$, поэтому $N = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 0.5, 1)$.

Изобразите сечение

Сечение проходит через точки $B(1,0,0)$, $M(0,0.5,0)$ и $N(1,0.5,1)$.

• Точки $B$ и $M$ лежат в одной грани куба $ABCD$. Соединим их отрезком $BM$.
• Точки $B$ и $N$ лежат в одной грани куба $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $BN$.
• Поскольку грани $ABCD$ (нижняя) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя) параллельны, а точка $M$ лежит в первой грани, а точка $N$ - во второй, линия пересечения плоскости сечения с гранью $A_1B_1C_1D_1$ (проходящая через $N$) будет параллельна $BM$. * Найдем вектор $BM = (0-1, 0.5-0, 0-0) = (-1, 0.5, 0)$. * Проведем через точку $N(1,0.5,1)$ прямую, параллельную $BM$. Точки этой прямой имеют вид $(1,0.5,1) + t(-1, 0.5, 0) = (1-t, 0.5+0.5t, 1)$. * Эта прямая пересечет ребро $A_1D_1$ (которое лежит в плоскости $x=0$ и $z=1$). Подставим $x=0$ в уравнение: $1-t=0 \implies t=1$. * При $t=1$, координаты точки: $(1-1, 0.5+0.5(1), 1) = (0, 1, 1)$. Это точка $D_1$. * Таким образом, отрезок $ND_1$ является частью сечения и параллелен отрезку $BM$.
• Соединим оставшиеся точки $D_1$ и $M$ отрезком $D_1M$. * Проверим параллельность отрезков $BN$ и $D_1M$. * Вектор $BN = (1-1, 0.5-0, 1-0) = (0, 0.5, 1)$. * Вектор $D_1M = (0-0, 0.5-1, 0-1) = (0, -0.5, -1)$. * Так как $D_1M = -BN$, отрезки $BN$ и $D_1M$ параллельны.

Найдем длины сторон параллелограмма:

• $BM = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $BN = \sqrt{(1-1)^2 + (0.5-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Найдите его площадь

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей. Найдем длины диагоналей ромба:

• Диагональ $MN$: $M=(0,0.5,0)$, $N=(1,0.5,1)$. $MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$.
• Диагональ $BD_1$: $B=(1,0,0)$, $D_1=(0,1,1)$. $BD_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Ответ:

Сечение является ромбом $MBN D_1$ с вершинами: $B(1,0,0)$, $M(0,0.5,0)$ - середина ребра $AD$, $N(1,0.5,1)$ - середина ребра $B_1C_1$, и $D_1(0,1,1)$. Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

12. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $C$ и середины ребер $AD, B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $C$, середину $M$ ребра $AD$ и середину $N$ ребра $B_1C_1$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изображение сечения

Для построения сечения и нахождения его площади используем метод координат.Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

По условию, сечение проходит через вершину $C(1,1,0)$.

Середина ребра $AD$ ($M$) имеет координаты: $M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.

Середина ребра $B_1C_1$ ($N$) имеет координаты: $N\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 0.5, 1)$.

Таким образом, у нас есть три точки сечения: $C(1,1,0)$, $M(0,0.5,0)$, $N(1,0.5,1)$.Для определения полного многоугольника сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$.

Подставим координаты точек:

Для $C(1,1,0)$: $A(1) + B(1) + C(0) + D = 0 \implies A + B + D = 0 \quad (1)$

Для $M(0,0.5,0)$: $A(0) + B(0.5) + C(0) + D = 0 \implies 0.5B + D = 0 \implies B = -2D \quad (2)$

Для $N(1,0.5,1)$: $A(1) + B(0.5) + C(1) + D = 0 \implies A + 0.5B + C + D = 0 \quad (3)$

Из $(2)$ выразим $B$ через $D$. Подставим $B = -2D$ в $(1)$: $A + (-2D) + D = 0 \implies A - D = 0 \implies A = D$.Теперь подставим $A = D$ и $B = -2D$ в $(3)$: $D + 0.5(-2D) + C + D = 0 \implies D - D + C + D = 0 \implies C + D = 0 \implies C = -D$.

Если принять $D = 1$ (для удобства), то $A=1$, $B=-2$, $C=-1$.Уравнение плоскости сечения: $x - 2y - z + 1 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, чтобы определить все вершины сечения.Мы уже знаем $C$, $M$, $N$. Проверим другие ребра:

• Ребро $AA_1$: $x=0, y=0$. Подставим в уравнение плоскости: $0 - 2(0) - z + 1 = 0 \implies -z + 1 = 0 \implies z = 1$. Это точка $(0,0,1)$, которая является вершиной $A_1$. Таким образом, $A_1$ также является вершиной сечения.
• Ребро $BB_1$: $x=1, y=0$. Подставим: $1 - 2(0) - z + 1 = 0 \implies 2 - z = 0 \implies z = 2$. Так как $0 \le z \le 1$ для ребра $BB_1$, сечение не пересекает это ребро.
• Ребро $DD_1$: $x=0, y=1$. Подставим: $0 - 2(1) - z + 1 = 0 \implies -1 - z = 0 \implies z = -1$. Так как $0 \le z \le 1$ для ребра $DD_1$, сечение не пересекает это ребро.
• Ребро $A_1D_1$: $z=1, x=0$. Подставим: $0 - 2y - 1 + 1 = 0 \implies -2y = 0 \implies y = 0$. Это точка $(0,0,1)$, которая является вершиной $A_1$. Уже найдено.
• Ребро $CD$: $z=0, y=1$. Подставим: $x - 2(1) - 0 + 1 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$. Это точка $(1,1,0)$, которая является вершиной $C$. Уже найдено.

Итак, вершины сечения: $C(1,1,0)$, $M(0,0.5,0)$, $N(1,0.5,1)$, $A_1(0,0,1)$.Соединим эти точки в порядке обхода: $A_1 \to M \to C \to N \to A_1$.Полученное сечение представляет собой четырехугольник $A_1MCN$.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $A_1MCN$.

Нахождение площади

Вычислим длины сторон четырехугольника $A_1MCN$:

• $A_1M$: $A_1(0,0,1)$, $M(0,0.5,0)$. Длина $A_1M = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2 + (0.5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $MC$: $M(0,0.5,0)$, $C(1,1,0)$. Длина $MC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $CN$: $C(1,1,0)$, $N(1,0.5,1)$. Длина $CN = \sqrt{(1-1)^2 + (0.5-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $NA_1$: $N(1,0.5,1)$, $A_1(0,0,1)$. Длина $NA_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0.5)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-0.5)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как все стороны четырехугольника $A_1MCN$ равны ($A_1M = MC = CN = NA_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$), то этот четырехугольник является ромбом.Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей.

Вычислим длины диагоналей ромба:

• Диагональ $MN$: $M(0,0.5,0)$, $N(1,0.5,1)$. Длина $MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0.5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.
• Диагональ $A_1C$: $A_1(0,0,1)$, $C(1,1,0)$. Длина $A_1C = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины диагоналей.

$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot A_1C = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

13. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $AA_1$, отстоящую от вершины A на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через три точки:

• Точка $K$ на ребре $AA_1$, отстоящая от вершины $A$ на $0.25$. То есть $AK = 0.25$.
• Точка $M$ - середина ребра $BB_1$.
• Точка $N$ - середина ребра $DD_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Расстояние $AK = 0.25$ (условной единицы длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1. Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

2. Найдем координаты заданных точек:

• Точка $K$ на $AA_1$ ($x=0, y=0$) на расстоянии $0.25$ от $A$: $K = (0,0,0.25)$.
• Точка $M$ - середина $BB_1$: $B=(1,0,0)$, $B_1=(1,0,1)$. $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0.5)$.
• Точка $N$ - середина $DD_1$: $D=(0,1,0)$, $D_1=(0,1,1)$. $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

3. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $K(0,0,0.25)$, $M(1,0,0.5)$, $N(0,1,0.5)$.

Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

• Для $K(0,0,0.25)$: $A(0) + B(0) + C(0.25) + D = 0 \implies 0.25C + D = 0 \implies C = -4D$.
• Для $M(1,0,0.5)$: $A(1) + B(0) + C(0.5) + D = 0 \implies A + 0.5C + D = 0$. Подставим $C = -4D$: $A + 0.5(-4D) + D = 0 \implies A - 2D + D = 0 \implies A - D = 0 \implies A = D$.
• Для $N(0,1,0.5)$: $A(0) + B(1) + C(0.5) + D = 0 \implies B + 0.5C + D = 0$. Подставим $C = -4D$: $B + 0.5(-4D) + D = 0 \implies B - 2D + D = 0 \implies B - D = 0 \implies B = D$.

Подставим $A=D, B=D, C=-4D$ в уравнение плоскости:

$Dx + Dy - 4Dz + D = 0$.

Разделим на $D$ (предполагая $D \ne 0$):

$x + y - 4z + 1 = 0$.

4. Найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба.

Остальные ребра:

• Ребро $CC_1$: $x=1, y=1, z \in [0,1]$. Подставим в уравнение плоскости: $1 + 1 - 4z + 1 = 0 \implies 3 - 4z = 0 \implies z = 3/4 = 0.75$.Таким образом, четвертая вершина сечения - точка $P(1,1,0.75)$. Эта точка лежит на ребре $CC_1$, так как $0 \le 0.75 \le 1$.

При проверке других ребер ($AB, AD, BC, CD, A_1B_1, A_1D_1, B_1C_1, C_1D_1$), выясняется, что точки пересечения с плоскостью находятся за пределами диапазона $[0,1]$ для соответствующей координаты, то есть за пределами куба.

Таким образом, вершины сечения: $K(0,0,0.25)$, $M(1,0,0.5)$, $P(1,1,0.75)$, $N(0,1,0.5)$.

5. Определим вид сечения и его площадь.

Сечение $KMNP$ является четырехугольником.

Найдем векторы сторон:

• $\vec{KM} = M - K = (1-0, 0-0, 0.5-0.25) = (1, 0, 0.25)$.
• $\vec{NP} = P - N = (1-0, 1-1, 0.75-0.5) = (1, 0, 0.25)$.

Так как $\vec{KM} = \vec{NP}$, стороны $KM$ и $NP$ параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник $KMNP$ является параллелограммом.

Площадь параллелограмма можно найти как модуль векторного произведения двух смежных сторон. Возьмем $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$.

• $\vec{KM} = (1, 0, 0.25)$.
• $\vec{KN} = N - K = (0-0, 1-0, 0.5-0.25) = (0, 1, 0.25)$.

Векторное произведение $\vec{KM} \times \vec{KN}$:

$\vec{KM} \times \vec{KN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0.25 \\ 0 & 1 & 0.25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0.25 - 0.25 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0.25 - 0.25 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) =$

$= \mathbf{i}(-0.25) - \mathbf{j}(0.25) + \mathbf{k}(1) = (-0.25, -0.25, 1)$.

Площадь $S$ равна модулю этого вектора:

$S = \left| \vec{KM} \times \vec{KN} \right| = \sqrt{(-0.25)^2 + (-0.25)^2 + 1^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 1^2} =$

$= \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{1+8}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Также можно найти площадь сечения через проекцию на координатную плоскость. Проекция сечения $KMNP$ на плоскость $xy$ это квадрат с вершинами $K_{xy}(0,0)$, $M_{xy}(1,0)$, $P_{xy}(1,1)$, $N_{xy}(0,1)$. Площадь этой проекции $S_{xy} = 1 \cdot 1 = 1$.

Нормальный вектор плоскости сечения $x + y - 4z + 1 = 0$ равен $\vec{n}=(1,1,-4)$.

Модуль нормального вектора $|\vec{n}| = \sqrt{1^2+1^2+(-4)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ (которая имеет нормальный вектор $\vec{k}=(0,0,1)$) вычисляется по формуле:

$\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(1,1,-4) \cdot (0,0,1)|}{3\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{|-4|}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$.

Площадь сечения $S = \frac{S_{xy}}{|\cos \gamma|} = \frac{1}{\frac{4}{3\sqrt{2}}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

14. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $BB_1$, отстоящую от вершины $B$ на $0,25$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a=1$.

Сечение проходит через:

• Точку $P_1$ — середину ребра $AA_1$.

• Точку $P_2$ — середину ребра $CC_1$.

• Точку $P_3$ — на ребре $BB_1$, отстоящую от вершины $B$ на 0.25.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины), так как куб единичный.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1.Определение координат вершин куба:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $D(0,0,0)$.

Вершины куба с ребром $a=1$ будут:

• Нижняя грань ($z=0$): $D(0,0,0)$, $A(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $C(1,0,0)$.

• Верхняя грань ($z=1$): $D_1(0,0,1)$, $A_1(0,1,1)$, $B_1(1,1,1)$, $C_1(1,0,1)$.

2.Определение координат точек, через которые проходит сечение:

• Точка $P_1$ — середина ребра $AA_1$. Координаты $A(0,1,0)$ и $A_1(0,1,1)$.

  $P_1 = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

• Точка $P_2$ — середина ребра $CC_1$. Координаты $C(1,0,0)$ и $C_1(1,0,1)$.

  $P_2 = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0.5)$.

• Точка $P_3$ — на ребре $BB_1$, отстоящая от вершины $B$ на 0.25. Координаты $B(1,1,0)$.

  $P_3 = (1,1,0+0.25) = (1,1,0.25)$.

3.Определение уравнения плоскости сечения:

Для определения уравнения плоскости $Ax+By+Cz=D$ используем три точки $P_1, P_2, P_3$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

• Вектор $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (1-0, 0-1, 0.5-0.5) = (1, -1, 0)$.

• Вектор $\vec{P_1P_3} = P_3 - P_1 = (1-0, 1-1, 0.25-0.5) = (1, 0, -0.25)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n} = \vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -0.25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-0.25) - 0) - \mathbf{j}((1)(-0.25) - 0) + \mathbf{k}((1)(0) - (-1)(1)) = (0.25, 0.25, 1)$.

Для удобства вычислений умножим вектор нормали на 4: $\vec{n'} = (1, 1, 4)$.

Уравнение плоскости имеет вид $1 \cdot x + 1 \cdot y + 4 \cdot z = D$.

Подставим координаты точки $P_1(0,1,0.5)$ для нахождения $D$:

$0 + 1 + 4(0.5) = D \Rightarrow 1 + 2 = D \Rightarrow D = 3$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x+y+4z=3$.

4.Нахождение всех вершин сечения:

Мы уже имеем три точки сечения $P_1(0,1,0.5)$, $P_2(1,0,0.5)$, $P_3(1,1,0.25)$. Необходимо найти точки пересечения плоскости $x+y+4z=3$ с другими ребрами куба.

Рассмотрим ребро $DD_1$. Его координаты $x=0, y=0$. Подставим их в уравнение плоскости:

$0+0+4z=3 \Rightarrow z=0.75$.

Это дает четвертую вершину сечения $P_4(0,0,0.75)$.

Таким образом, сечение является четырехугольником с вершинами $P_1(0,1,0.5)$, $P_3(1,1,0.25)$, $P_2(1,0,0.5)$, $P_4(0,0,0.75)$.

5.Определение типа многоугольника сечения:

Проверим параллельность противоположных сторон:

• Вектор $\vec{P_1P_3} = (1, 0, -0.25)$.

• Вектор $\vec{P_4P_2} = (1-0, 0-0, 0.5-0.75) = (1, 0, -0.25)$.

Так как $\vec{P_1P_3} = \vec{P_4P_2}$, то $P_1P_3 \parallel P_4P_2$ и $|P_1P_3| = |P_4P_2|$.

• Вектор $\vec{P_1P_4} = (0-0, 0-1, 0.75-0.5) = (0, -1, 0.25)$.

• Вектор $\vec{P_3P_2} = (1-1, 0-1, 0.5-0.25) = (0, -1, 0.25)$.

Так как $\vec{P_1P_4} = \vec{P_3P_2}$, то $P_1P_4 \parallel P_3P_2$ и $|P_1P_4| = |P_3P_2|$.

Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны, четырехугольник $P_1P_3P_2P_4$ является параллелограммом.

Найдем длины смежных сторон:

$|P_1P_3| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-0.25)^2} = \sqrt{1 + 0.0625} = \sqrt{1.0625} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

$|P_1P_4| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (0.25)^2} = \sqrt{1 + 0.0625} = \sqrt{1.0625} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.

Так как смежные стороны параллелограмма равны, сечение является ромбом.

6.Вычисление площади ромба:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Найдем длины диагоналей:

• Диагональ $d_1 = |P_1P_2|$. Координаты $P_1(0,1,0.5)$ и $P_2(1,0,0.5)$.

  $d_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0.5)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

• Диагональ $d_2 = |P_3P_4|$. Координаты $P_3(1,1,0.25)$ и $P_4(0,0,0.75)$.

  $d_2 = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2 + (0.75-0.25)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{1+1+0.25} = \sqrt{2.25} = 1.5$.

Площадь сечения $S$:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1.5 = \frac{1.5\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Примечание: Задача также требует изобразить сечение, что невозможно выполнить в текстовом формате.

15. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $CC_1$, отстоящую от вершины C на 0,25. Найдите его площадь.

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной $a = 1$. Сечение проходит через:

• Середину ребра $BB_1$, обозначим ее $M$.
• Середину ребра $DD_1$, обозначим ее $N$.
• Точку на ребре $CC_1$, отстоящую от вершины $C$ на $0.25$, обозначим ее $K$.

Перевод в систему СИ: Поскольку куб единичный, его ребро принимаем за $a=1$. Все расстояния даны в долях от длины ребра. $a = 1$ (единица длины) $BM = 0.5a = 0.5$ $DN = 0.5a = 0.5$ $CK = 0.25a = 0.25$

Найти:

• Изобразить сечение (описание).
• Площадь сечения.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина $A$ куба имеет координаты $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек сечения:
Точка $M$ - середина ребра $BB_1$. $B(1,0,0)$, $B_1(1,0,1)$. $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1, 0, 0.5)$.
Точка $N$ - середина ребра $DD_1$. $D(0,1,0)$, $D_1(0,1,1)$. $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 1, 0.5)$.
Точка $K$ на ребре $CC_1$, отстоящая от вершины $C$ на $0.25$. $C(1,1,0)$, $C_1(1,1,1)$. $K = (1, 1, 0.25)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M(1,0,0.5)$, $N(0,1,0.5)$ и $K(1,1,0.25)$.
Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{MN} = N - M = (0-1, 1-0, 0.5-0.5) = (-1, 1, 0)$. $\vec{MK} = K - M = (1-1, 1-0, 0.25-0.5) = (0, 1, -0.25)$.
Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{MN} \times \vec{MK}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -0.25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-0.25) - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-0.25) - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 0)$ $\vec{n} = (-0.25, -0.25, -1)$. Для удобства можно использовать пропорциональный вектор нормали, например, $\vec{n'} = (1, 1, 4)$.
Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n'} = (1, 1, 4)$, получаем $x + y + 4z + D = 0$. Подставим координаты точки $K(1,1,0.25)$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$: $1 + 1 + 4(0.25) + D = 0$ $2 + 1 + D = 0 \Rightarrow D = -3$. Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x + y + 4z - 3 = 0$.

Найдем все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Мы уже имеем $M$, $N$, $K$. Проверим остальные ребра:

• Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$): $0 + 0 + 4z - 3 = 0 \Rightarrow 4z = 3 \Rightarrow z = 0.75$. Точка $P(0,0,0.75)$. Эта точка лежит на ребре $AA_1$, так как $0 \le 0.75 \le 1$.
• Остальные ребра: $AB$, $AD$, $A_1B_1$, $A_1D_1$, $BC$, $B_1C_1$, $CD$, $C_1D_1$ не пересекаются с плоскостью внутри куба, так как соответствующие координаты $x,y,z$ выходят за пределы отрезка $[0,1]$. Например, для ребра $AB$ ($y=0, z=0$): $x+0+0-3=0 \Rightarrow x=3$, что вне куба.

Изобразите сечение:
Сечение представляет собой четырехугольник $PMKN$. Его вершины расположены на вертикальных ребрах куба:

• Вершина $P$ лежит на ребре $AA_1$ на высоте $0.75$ от $A$. ($AP=0.75$).
• Вершина $M$ является серединой ребра $BB_1$. ($BM=0.5$).
• Вершина $K$ лежит на ребре $CC_1$ на высоте $0.25$ от $C$. ($CK=0.25$).
• Вершина $N$ является серединой ребра $DD_1$. ($DN=0.5$).

Найдем площадь параллелограмма $PMKN$. Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{u}$ и $\vec{v}$, равна модулю их векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$. Используем векторы $\vec{PM}$ и $\vec{PN}$ (с общим началом в $P$): $\vec{PM} = (1, 0, -0.25)$. $\vec{PN} = N - P = (0-0, 1-0, 0.5-0.75) = (0, 1, -0.25)$.
Площадь $S = |\vec{PM} \times \vec{PN}|$: $\vec{PM} \times \vec{PN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -0.25 \\ 0 & 1 & -0.25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-0.25) - (-0.25) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-0.25) - (-0.25) \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$ $= (0.25, 0.25, 1)$.
$S = |(0.25, 0.25, 1)| = \sqrt{(0.25)^2 + (0.25)^2 + 1^2}$ $S = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1}$ $S = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{1+8}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$ $S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $S = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

16. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $DD_1$, отстоящую от вершины $D$ на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через три точки:

• Точка $M$ - середина ребра $AA_1$.

• Точка $N$ - середина ребра $CC_1$.

• Точка $P$ - на ребре $DD_1$, отстоящая от вершины $D$ на 0,25.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Поскольку куб единичный, длины отрезков выражаются как доли от длины ребра:

• $AM = \frac{1}{2} a = 0,5 \cdot 1 = 0,5$.

• $CN = \frac{1}{2} a = 0,5 \cdot 1 = 0,5$.

• $DP = 0,25 \cdot a = 0,25 \cdot 1 = 0,25$.

Все данные уже в удобном для расчетов виде.

Найти:

Площадь полученного сечения.

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$. Оси $x$, $y$, $z$ направим по ребрам $DA$, $DC$, $DD_1$ соответственно. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба:

• $D=(0,0,0)$

• $A=(1,0,0)$

• $C=(0,1,0)$

• $B=(1,1,0)$

• $D_1=(0,0,1)$

• $A_1=(1,0,1)$

• $C_1=(0,1,1)$

• $B_1=(1,1,1)$

Найдем координаты заданных точек сечения:

• Точка $M$ - середина $AA_1$. $M=\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0,5)$.

• Точка $N$ - середина $CC_1$. $N=\left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0,5)$.

• Точка $P$ - на ребре $DD_1$ на расстоянии 0,25 от $D$. $P=(0,0,0,25)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $P(0,0,0,25)$, $M(1,0,0,5)$, $N(0,1,0,5)$.

Вектор $\vec{PM} = M - P = (1-0, 0-0, 0,5-0,25) = (1,0,0,25)$.

Вектор $\vec{PN} = N - P = (0-0, 1-0, 0,5-0,25) = (0,1,0,25)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{k} = \vec{PM} \times \vec{PN}$:

$\vec{k} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0,25 \\ 0 & 1 & 0,25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0,25 - 0,25 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0,25 - 0,25 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$

$\vec{k} = -0,25\mathbf{i} - 0,25\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-0,25; -0,25; 1)$.

Для удобства, можем умножить вектор нормали на -4, получим $\vec{n} = (1,1,-4)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_0 = 0$. Используя $\vec{n}=(1,1,-4)$ и точку $P(0,0,0,25)$:

$1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 4 \cdot 0,25 + D_0 = 0$

$-1 + D_0 = 0 \Rightarrow D_0 = 1$.

Уравнение плоскости: $x + y - 4z + 1 = 0$.

Найдем четвертую точку сечения. Поскольку точки $M$, $N$, $P$ находятся на вертикальных ребрах, и плоскость пересекает эти ребра, логично предположить, что она пересечет и четвертое вертикальное ребро $BB_1$.

Ребро $BB_1$ имеет координаты $(1,1,z)$ для $0 \le z \le 1$. Подставим в уравнение плоскости:

$1 + 1 - 4z + 1 = 0$

$3 - 4z = 0 \Rightarrow 4z = 3 \Rightarrow z = \frac{3}{4} = 0,75$.

Таким образом, четвертой точкой сечения является точка $Q(1,1,0,75)$ на ребре $BB_1$.

Изображение сечения:

Сечением является четырехугольник $PMQN$ с вершинами:

• $P(0,0,0,25)$ на ребре $DD_1$.

• $M(1,0,0,5)$ на ребре $AA_1$.

• $Q(1,1,0,75)$ на ребре $BB_1$.

• $N(0,1,0,5)$ на ребре $CC_1$.

Для построения сечения в кубе:

1. Отложите на ребре $DD_1$ от вершины $D$ отрезок $DP = 0,25$.

2. Отложите на ребре $AA_1$ от вершины $A$ отрезок $AM = 0,5$ (середина $AA_1$).

3. Отложите на ребре $BB_1$ от вершины $B$ отрезок $BQ = 0,75$.

4. Отложите на ребре $CC_1$ от вершины $C$ отрезок $CN = 0,5$ (середина $CC_1$).

5. Соедините последовательно точки $P$, $M$, $Q$, $N$, $P$. Полученный четырехугольник $PMQN$ является искомым сечением.

Нахождение площади сечения:

Проверим тип четырехугольника $PMQN$.

Вектор $\vec{PM} = M - P = (1-0, 0-0, 0,5-0,25) = (1,0,0,25)$.

Вектор $\vec{NQ} = Q - N = (1-0, 1-1, 0,75-0,5) = (1,0,0,25)$.

Так как $\vec{PM} = \vec{NQ}$, четырехугольник $PMQN$ является параллелограммом.

Площадь параллелограмма можно найти как модуль векторного произведения двух смежных сторон, например, $\vec{PN}$ и $\vec{PM}$.

Вектор $\vec{PN} = (0,1,0,25)$.

Вектор $\vec{PM} = (1,0,0,25)$.

$S_{PMQN} = |\vec{PN} \times \vec{PM}|$.

$\vec{PN} \times \vec{PM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0,25 \\ 1 & 0 & 0,25 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0,25 - 0,25 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 0,25 - 0,25 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1)$

$= 0,25\mathbf{i} + 0,25\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (0,25; 0,25; -1)$.

Модуль этого вектора равен:

$S = \sqrt{(0,25)^2 + (0,25)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 1^2}$

$S = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{1+8}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$

$S = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Альтернативный метод: площадь проекции на координатную плоскость.

Проекция параллелограмма $PMQN$ на плоскость $xy$ (плоскость основания куба $ABCD$) представляет собой четырехугольник $P'M'Q'N'$ с координатами:

• $P'(0,0)$ (проекция $P(0,0,0,25)$)

• $M'(1,0)$ (проекция $M(1,0,0,5)$)

• $Q'(1,1)$ (проекция $Q(1,1,0,75)$)

• $N'(0,1)$ (проекция $N(0,1,0,5)$)

Это квадрат со стороной 1, его площадь $A_{xy} = 1 \cdot 1 = 1$.

Вектор нормали к плоскости сечения $\vec{n} = (1,1,-4)$. Модуль $|\vec{n}| = \sqrt{1^2+1^2+(-4)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Вектор нормали к плоскости $xy$ это $\vec{k}=(0,0,1)$. Модуль $|\vec{k}|=1$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ равен:

$\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(1,1,-4) \cdot (0,0,1)|}{3\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{|-4|}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью проекции $A_{xy}$ формулой $A_{xy} = S \cos \gamma$.

$S = \frac{A_{xy}}{\cos \gamma} = \frac{1}{\frac{4}{3\sqrt{2}}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.