Страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

54. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. ($AB = BC = \dots = AA_1 = BB_1 = \dots = 1$).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Решение:

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми будем использовать метод координат.

1. Введем прямоугольную систему координат.

Поместим центр нижнего основания $O$ в начало координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $OO_1$. Ось $Ox$ направим вдоль $OA$. Так как призма правильная, в основании лежит правильный шестиугольник со стороной, равной длине ребра, то есть 1. Высота призмы также равна 1.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ (лежат в плоскости $z=0$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (лежат в плоскости $z=1$):

• $A_1 = (1, 0, 1)$
• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

2. Определим направляющие векторы прямых и вектор между точками на прямых.

Прямая $BA_1$ проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Направляющий вектор прямой $BA_1$ (обозначим $\vec{u}$):

$\vec{u} = \vec{BA_1} = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Прямая $DC_1$ проходит через точки $D(-1, 0, 0)$ и $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Направляющий вектор прямой $DC_1$ (обозначим $\vec{v}$):

$\vec{v} = \vec{DC_1} = (-1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Возьмем произвольные точки на прямых для построения вектора, соединяющего их. Пусть $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $P_2 = D(-1, 0, 0)$.

Вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{BD} = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

3. Вычислим расстояние между скрещивающимися прямыми по формуле.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, заданными параметрически как $P_1 + t\vec{u}$ и $P_2 + s\vec{v}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Сначала найдем векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2)(1) - (1)(\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((1/2)(1) - (1)(1/2)) + \mathbf{k}((1/2)(\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2)(1/2))$

$= \mathbf{i}(-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(1/2 - 1/2) + \mathbf{k}(\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4)$

$= (-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}/2)$.

Затем найдем модуль этого векторного произведения:

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 0^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3 + 3/4} = \sqrt{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

Теперь вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$):

$(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-3/2)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}/2)(0) + (0)(\sqrt{3}/2)$

$= 3\sqrt{3}/2 + 0 + 0 = 3\sqrt{3}/2$.

Наконец, подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|3\sqrt{3}/2|}{\sqrt{15}/2} = \frac{3\sqrt{3}/2}{\sqrt{15}/2} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

$d = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$d = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$ равно $\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

55. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $FE_1$.

56. В правильной шестиугольной призм

Дано:

Правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁.

Все рёбра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми BA₁ и FE₁.

Решение:

1.Введение системы координат:

Расположим центр нижнего основания ABCDEF в начале координат $O(0,0,0)$.

Ось $Ox$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину $A$.

Ось $Oz$ направим вдоль высоты призмы.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ в основании:$A = (1, 0, 0)$$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$$D = (-1, 0, 0)$$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания A₁B₁C₁D₁E₁F₁ будут иметь $z$-координату, равную 1:$A_1 = (1, 0, 1)$$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

2.Задание прямых векторами:

Прямая BA₁ проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Направляющий вектор прямой BA₁: $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

В качестве точки на прямой BA₁ возьмем $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Прямая FE₁ проходит через точки $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Направляющий вектор прямой FE₁: $\vec{v_2} = \vec{FE_1} = E_1 - F = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

В качестве точки на прямой FE₁ возьмем $P_2 = F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

3.Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми:

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными параметрически как $L_1: P_1 + t\vec{v_1}$ и $L_2: P_2 + s\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1/2 \cdot 0 - (-\sqrt{3}/2) \cdot (-1))$

$= -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - (\frac{1}{2} + 1)\mathbf{j} - \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем модуль векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$

$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Найдем вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$:

$\vec{P_2} - \vec{P_1} = F - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение):

$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (0, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

$= 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{3}{2}) + 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\frac{3\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Ответ:

Расстояние между прямыми BA₁ и FE₁ равно $\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

56. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AF_1$.

57. В правильной шестиугольной призме

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AF_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используем метод координат. Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку все ребра призмы равны 1, то длина стороны правильного шестиугольника в основании $a=1$, а высота призмы $h=1$. Расположим вершину $A$ на положительной оси $Ox$. Тогда координаты вершин основания будут:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату, равную высоте призмы $h=1$:
$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Определим точки и направляющие векторы для прямых $BA_1$ и $AF_1$:
Для прямой $BA_1$:
Выберем точку $P_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для прямой $AF_1$:
Выберем точку $P_2 = A = (1, 0, 0)$.
Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AF_1} = F_1 - A = (\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми $L_1 = P_1 + t\vec{v_1}$ и $L_2 = P_2 + s\vec{v_2}$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Сначала вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i} \left( (-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - (1)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) - \mathbf{j} \left( (\frac{1}{2})(1) - (1)(-\frac{1}{2}) \right) + \mathbf{k} \left( (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2}) \right)$
$= \mathbf{i} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) + \mathbf{k} \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$
$= (0, -1, -\frac{2\sqrt{3}}{4}) = (0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем модуль векторного произведения:
$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{0 + 1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4+3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Далее, найдем вектор, соединяющий точки $P_1$ и $P_2$:
$P_2 - P_1 = A - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение этого вектора с векторным произведением направляющих векторов):
$(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2})$
$= (\frac{1}{2})(0) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-1) + (0)(-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$= 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:
$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:
$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$

57. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

58. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Все ребра призмы равны 1, что означает длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра (высоты призмы). Так как все ребра призмы равны 1, то сторона правильного шестиугольника основания $a=1$, а высота призмы $h=1$.

Разместим вершину $A$ на положительной полуоси $Ox$. Тогда координаты вершин:

$A=(1,0,0)$

$B=(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D=(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1,0,0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания получаются добавлением высоты $h=1$ к $z$-координате:

$A_1=(1,0,1)$

$B_1=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем вектор направления $\vec{v_1}$ для прямой $BA_1$:

$\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем вектор направления $\vec{v_2}$ для прямой $DB_1$:

$\vec{v_2} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Возьмем точку $P_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ на прямой $BA_1$ и точку $P_2 = D = (-1,0,0)$ на прямой $DB_1$. Найдем вектор $\vec{P_1 P_2}$, соединяющий эти точки:

$\vec{P_1 P_2} = \vec{BD} = D - B = (-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1 P_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

Сначала вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i} \left( (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot \frac{3}{2} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{3}{2} \right)$

$= \mathbf{i} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4} \right)$

$= \mathbf{i} (-\sqrt{3}) - \mathbf{j} (-1) + \mathbf{k} (\frac{4\sqrt{3}}{4})$

$= (-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$.

Найдем модуль векторного произведения:

$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$\vec{P_1 P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3})$

$= (-\frac{3}{2})(-\sqrt{3}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) + (0)(\sqrt{3})$

$= \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DB_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.

58. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AE_1$.

59. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF$

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра призмы равны $1$.

Перевод в СИ:
Длина ребра основания $a = 1$ (единица длины).
Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Найти:
Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AE_1$.

Решение:
Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим центр нижнего основания призмы, точку $O$, в начало координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль диагонали $AD$ (или $OA$), ось $Oy$ перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания, ось $Oz$ вдоль высоты призмы.
Поскольку призма правильная шестиугольная и сторона основания равна $a=1$, то расстояние от центра до любой вершины основания также равно $1$.
Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ будут:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получаются добавлением высоты призмы $h=1$ к $z$-координатам соответствующих вершин нижнего основания:
$A_1 = (1, 0, 1)$
$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Рассмотрим две прямые, между которыми нужно найти расстояние: $BA_1$ и $AE_1$.
Прямая $BA_1$ проходит через точку $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v}_{BA_1} = \vec{A_1} - \vec{B} = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
Прямая $AE_1$ проходит через точку $A(1, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v}_{AE_1} = \vec{E_1} - \vec{A} = (-\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$ и $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ соответственно, можно найти по формуле:
$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||}$

В нашем случае, пусть $P_1 = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $P_2 = A(1, 0, 0)$.
Вычислим вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1} = \vec{A} - \vec{B} = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v}_{BA_1} \times \vec{v}_{AE_1}$:
$\vec{n} = \vec{v}_{BA_1} \times \vec{v}_{AE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix}$
$x$-компонента: $(-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - (1)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$
$y$-компонента: $(1)(-\frac{3}{2}) - (\frac{1}{2})(1) = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$
$z$-компонента: $(\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{3}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4} = -\frac{4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}$
Таким образом, $\vec{n} = (0, -2, -\sqrt{3})$.

Вычислим модуль этого вектора:
$||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 4 + 3} = \sqrt{7}$.

Вычислим скалярное произведение вектора $(\vec{P_2} - \vec{P_1})$ на вектор $\vec{n}$:
$(\vec{A} - \vec{B}) \cdot \vec{n} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, -2, -\sqrt{3})$
$= (\frac{1}{2})(0) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-2) + (0)(-\sqrt{3}) = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$.

Теперь подставим все значения в формулу для расстояния:
$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:
$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ:
Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AE_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.

59. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

60. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ре

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (условная единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть начало координат $O(0,0,0)$ совпадает с центром нижнего основания $ABCDEF$. Поскольку призма правильная и все ее ребра равны 1, радиус описанной окружности вокруг правильного шестиугольника равен его стороне, то есть 1. Высота призмы также равна 1.

Расположим вершины нижнего основания следующим образом:

Вершина $A$ находится на оси X: $A(1,0,0)$.

Вершина $B$ находится под углом $60^\circ$ к оси X: $B(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вершина $D$ находится под углом $180^\circ$ к оси X: $D(\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$.

Соответствующие вершины верхнего основания будут иметь z-координату 1:

$A_1(1,0,1)$.

$D_1(-1,0,1)$.

Найдем направляющие векторы для прямых $BA_1$ и $AD_1$.

Для прямой $BA_1$:

Точка на прямой: $P_1 = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для прямой $AD_1$:

Точка на прямой: $P_2 = A(1,0,0)$.

Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AD_1} = D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-2, 0, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ с направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$.

Вычислим вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{BA} = A - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - (1)(0)) - \mathbf{j}((\frac{1}{2})(1) - (1)(-2)) + \mathbf{k}((\frac{1}{2})(0) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-2))$

$= \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} + 2) + \mathbf{k}(0 - \sqrt{3}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}, -\sqrt{3})$.

Вычислим смешанное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}, -\sqrt{3}) = (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{5}{2}) + (0)(-\sqrt{3})$

$= -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{5\sqrt{3}}{4} + 0 = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

Вычислим модуль векторного произведения $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||$:

$||(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}, -\sqrt{3})|| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{5}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2}$

$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{25}{4} + 3} = \sqrt{\frac{28}{4} + 3} = \sqrt{7 + 3} = \sqrt{10}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{30}}{10}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$ равно $\frac{\sqrt{30}}{10}$.

60. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BD_1$ и $EA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BD_1$ и $EA_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.
Вершины правильного шестиугольника со стороной $a=1$ в плоскости $z=0$ имеют следующие координаты:
$A=(1, 0, 0)$
$B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D=(-1, 0, 0)$
$E=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F=(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
Так как высота призмы $h=1$, то координаты соответствующих вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут:
$A_1=(1, 0, 1)$
$D_1=(-1, 0, 1)$
$E_1=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
Прямые, между которыми нужно найти расстояние, это $BD_1$ и $EA_1$.
Выберем по одной точке на каждой прямой: $B$ на $BD_1$ и $E$ на $EA_1$.
$B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D_1=(-1, 0, 1)$
$E=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$A_1=(1, 0, 1)$
Найдем направляющие векторы прямых:
$\vec{v_1} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
$\vec{v_2} = \vec{EA_1} = A_1 - E = (1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 1)$
Найдем вектор, соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой прямой:
$\vec{M_1M_2} = \vec{BE} = E - B = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется формулой:
$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$
Сначала вычислим векторное произведение направляющих векторов:
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2)(1) - (1)(\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((-3/2)(1) - (1)(3/2)) + \mathbf{k}((-3/2)(\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2)(3/2))$
$= \mathbf{i}(-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-3/2 - 3/2) + \mathbf{k}(-3\sqrt{3}/4 + 3\sqrt{3}/4)$
$= (-\sqrt{3}, 3, 0)$
Теперь вычислим смешанное произведение (числитель формулы):
$\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}, 3, 0)$
$= (-1)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(3) + (0)(0)$
$= \sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 0$
$= -2\sqrt{3}$
Найдем модуль векторного произведения (знаменатель формулы):
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |(-\sqrt{3}, 3, 0)| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 9 + 0} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
Теперь вычислим расстояние $d$:
$d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$

Ответ:

$1$

1. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $B$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B$ и $C_1$.

Найти:

Изобразить сечение.

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Сечение, проходящее через три точки, определяется этими точками. Вершины $A$, $B$ и $C_1$ не лежат на одной прямой, поэтому они однозначно определяют плоскость сечения. Для построения сечения последовательно соединяем эти вершины:

1. Вершины $A$ и $B$ лежат в одной грани куба (нижняя грань $ABCD$). Поэтому отрезок $AB$ является частью сечения.

2. Вершины $B$ и $C_1$ лежат в одной грани куба (передняя боковая грань $BCC_1B_1$). Поэтому отрезок $BC_1$ является частью сечения.

3. Вершины $A$ и $C_1$ являются также вершинами, через которые проходит сечение. Отрезок $AC_1$ соединяет эти вершины и является третьей стороной сечения.

Таким образом, сечение, проходящее через вершины $A$, $B$ и $C_1$, представляет собой треугольник $ABC_1$.

Найдите его площадь:

Для нахождения площади треугольника $ABC_1$ определим длины его сторон. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$.

1. Длина стороны $AB$: Отрезок $AB$ является ребром куба. Следовательно, $AB = a = 1$.

2. Длина стороны $BC_1$: Отрезок $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Эта грань представляет собой квадрат со стороной $a$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, $BC_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $AC_1$: Отрезок $AC_1$ является пространственной диагональю куба. Длина пространственной диагонали куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. Таким образом, $AC_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Итак, стороны треугольника $ABC_1$ имеют длины $AB = 1$, $BC_1 = \sqrt{2}$ и $AC_1 = \sqrt{3}$.

Проверим, является ли треугольник $ABC_1$ прямоугольным, используя теорему Пифагора: $AB^2 + BC_1^2 = AC_1^2$.

$1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$(\sqrt{3})^2 = 3$.

Так как $AB^2 + BC_1^2 = AC_1^2$ (то есть $1^2 + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2$), треугольник $ABC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Это также можно подтвердить с помощью векторов. Если считать вершину $B$ началом координат, то $\vec{BA}$ будет лежать вдоль оси $x$, а $\vec{BC_1}$ будет лежать в плоскости $yz$ и будет перпендикулярен $\vec{BA}$. Скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC_1}$ равно нулю, что подтверждает перпендикулярность.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$. В данном случае катетами являются стороны $AB$ и $BC_1$.

$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B, C$ и $D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $C$ и $D_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ ед.

Найти:

Изобразить сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B, C$ и $D_1$.

Найти его площадь.

Решение:

Изобразить сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $B, C$ и $D_1$.

1. Обозначим координаты вершин куба, приняв вершину $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Так как куб единичный, длина его ребра $a=1$. Координаты вершин, необходимых для решения задачи: $B=(1,0,0)$ (если $A=(0,0,0)$, $AB$ по оси $Ox$) $C=(1,1,0)$ (если $BC$ по оси $Oy$) $D_1=(0,1,1)$ (если $DD_1$ по оси $Oz$)

2. Сечение проходит через вершины $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$. Эти три точки не лежат на одной прямой, следовательно, они образуют плоскость, которая пересекает куб по треугольнику. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $BCD_1$.

3. Для построения сечения в пространстве, необходимо соединить данные точки: * Точки $B$ и $C$ лежат на нижней грани куба $ABCD$. Соединим их отрезком $BC$. * Точки $C$ и $D_1$ лежат на правой боковой грани $CDD_1C_1$. Соединим их отрезком $CD_1$. * Точки $B$ и $D_1$ являются вершинами куба, не лежащими на одной грани, но принадлежащими сечению. Соединим их отрезком $BD_1$. Полученный треугольник $BCD_1$ является искомым сечением. (Изображение сечения подразумевает визуальное представление, которое не может быть передано в текстовом формате HTML. В данном описании содержится пошаговый метод построения сечения.)

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $BCD_1$.

Найти его площадь.

1. Найдем длины сторон треугольника $BCD_1$, используя координаты вершин и формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

* Длина стороны $BC$: Точки $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$. $BC = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$ ед. Эта сторона является ребром куба.

* Длина стороны $CD_1$: Точки $C(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$. $CD_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$ ед. Эта сторона является диагональю грани $CDD_1C_1$.

* Длина стороны $BD_1$: Точки $B(1,0,0)$ и $D_1(0,1,1)$. $BD_1 = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$ ед. Эта сторона является пространственной диагональю куба.

2. Проверим, является ли треугольник $BCD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Возведем длины сторон в квадрат: $BC^2 = 1^2 = 1$. $CD_1^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. $BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$. Заметим, что $BC^2 + CD_1^2 = 1 + 2 = 3$. Так как $BC^2 + CD_1^2 = BD_1^2$ ($1 + 2 = 3$), треугольник $BCD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ (угол, лежащий напротив самой длинной стороны $BD_1$).

3. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов. Катетами являются стороны $BC$ и $CD_1$. Площадь $S = \frac{1}{2} \times BC \times CD_1$. $S = \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ед.кв.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ед.кв.

3. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $C$, $D$ и $A_1$. Найдите его площадь.

Дано

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ единичный, что означает длина его ребра $a = 1$.

Найти

Изобразить сечение куба, проходящее через вершины $C$, $D$ и $A_1$.

Найти площадь этого сечения.

Решение

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через вершины $C$, $D$ и $A_1$ единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, представляет собой треугольник $DCA_1$. Для построения этого сечения необходимо соединить заданные вершины следующим образом:

1. Соединить вершины $D$ и $C$. Получится отрезок $DC$, который является ребром куба, лежащим на его нижней грани $ABCD$.

2. Соединить вершины $D$ и $A_1$. Получится отрезок $DA_1$, который является диагональю боковой грани $ADD_1A_1$.

3. Соединить вершины $C$ и $A_1$. Получится отрезок $CA_1$, который является пространственной диагональю куба.

Таким образом, искомое сечение – это треугольник $DCA_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $DCA_1$ определим длины его сторон. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$.

1. Длина стороны $DC$: это ребро куба. $DC = a = 1$.

2. Длина стороны $DA_1$: это диагональ грани куба $ADD_1A_1$. Длина диагонали грани куба находится по теореме Пифагора: $DA_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $CA_1$: это пространственная диагональ куба. Длина пространственной диагонали куба находится по формуле: $CA_1 = \sqrt{CD^2 + DA^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Таким образом, мы имеем треугольник $DCA_1$ со сторонами $DC=1$, $DA_1=\sqrt{2}$ и $CA_1=\sqrt{3}$. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $DC^2 + DA_1^2 = CA_1^2$? $1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$. $(\sqrt{3})^2 = 3$. Поскольку $DC^2 + DA_1^2 = CA_1^2$ ($1^2 + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2$), треугольник $DCA_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Катетами в данном случае являются $DC$ и $DA_1$.

Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot DA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Сечение является треугольником $DCA_1$. Его площадь равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A, C$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Длина ребра куба $a = 1$.
Сечение проходит через вершины A, C, $C_1$.

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины A, C и $C_1$.

Рассмотрим вершины A, C и $C_1$ единичного куба. Точки A и C лежат в нижней грани ABCD. Отрезок AC является диагональю этой грани. Точки C и $C_1$ лежат в боковой грани $BCC_1B_1$. Отрезок $CC_1$ является ребром куба. Сечение, проходящее через три данные точки, является плоскостью. Эта плоскость пересекает куб, образуя многоугольник. Поскольку ребро $AA_1$ параллельно ребру $CC_1$ (как противоположные ребра куба), а отрезок AC является диагональю нижней грани, параллельной диагонали $A_1C_1$ верхней грани, то точки A, C, $C_1$ и $A_1$ лежат в одной плоскости. Так как $AC \parallel A_1C_1$ и $AA_1 \parallel CC_1$, и все углы в кубе прямые, то четырехугольник $ACC_1A_1$ является прямоугольником. Таким образом, сечением, проходящим через вершины A, C и $C_1$, является прямоугольник $ACC_1A_1$.

Ответ: Сечение представляет собой прямоугольник $ACC_1A_1$.

Найдите его площадь.

Сечение является прямоугольником $ACC_1A_1$. Для нахождения его площади необходимо найти длины его смежных сторон, которыми являются $AC$ и $CC_1$. Длина ребра единичного куба $a = 1$. Одна из сторон прямоугольника - это ребро куба $CC_1$. Следовательно, $CC_1 = a = 1$. Вторая сторона прямоугольника - это диагональ AC нижней грани куба. Нижняя грань ABCD является квадратом со стороной $a = 1$. Длину диагонали квадрата можно найти по теореме Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику ABC (или ADC): $AC^2 = AB^2 + BC^2$ $AC^2 = a^2 + a^2$ $AC^2 = 1^2 + 1^2$ $AC^2 = 1 + 1$ $AC^2 = 2$ $AC = \sqrt{2}$. Площадь прямоугольника $ACC_1A_1$ вычисляется как произведение длин его сторон: $S_{ACC_1A_1} = AC \cdot CC_1$ $S_{ACC_1A_1} = \sqrt{2} \cdot 1$ $S_{ACC_1A_1} = \sqrt{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\sqrt{2}$.

5. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AB, BC, A_1 B_1$. Найдите его площадь.

Дано: единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$, $A_1B_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти: Изобразить сечение, найти его площадь.

Решение:

Обозначим середины заданных ребер:

• $M$ - середина ребра $AB$.
• $N$ - середина ребра $BC$.
• $P$ - середина ребра $A_1B_1$.

Для удобства вычислений введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты соответствующих вершин куба:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$

Тогда координаты середин ребер будут:

• $M$ (середина $AB$): $M = (\frac{1}{2}, 0, 0)$
• $N$ (середина $BC$): $N = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 0)$
• $P$ (середина $A_1B_1$): $P = (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{1}{2}, 0, 1)$

Изобразите сечение:

Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединяем их отрезком $MN$.

Точки $M$ и $P$ лежат в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Соединяем их отрезком $MP$.

Плоскость сечения пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым. Грани $ABCD$ (нижняя) и $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя) параллельны. Следовательно, линия пересечения верхней грани плоскостью сечения должна быть параллельна отрезку $MN$.

Найдем четвертую вершину сечения, обозначим ее $R$. Она должна лежать в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ и отрезок $PR$ должен быть параллелен $MN$.

Вектор $\vec{MN} = N - M = (1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.

Тогда точка $R = P + \vec{MN} = (\frac{1}{2}, 0, 1) + (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}, 0 + \frac{1}{2}, 1 + 0) = (1, \frac{1}{2}, 1)$.

Проверим, какой точкой является $R(1, \frac{1}{2}, 1)$. Координаты вершины $B_1$ - $(1,0,1)$, $C_1$ - $(1,1,1)$. Точка $(1, \frac{1}{2}, 1)$ является серединой ребра $B_1C_1$.

Таким образом, сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$, $A_1B_1$, $B_1C_1$. Обозначим эти точки $M$, $N$, $P$, $R$ соответственно.

Сечение представляет собой четырехугольник $MNRP$. Определим его тип.

Векторы сторон:

• $\vec{MN} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
• $\vec{RP} = P - R = (\frac{1}{2} - 1, 0 - \frac{1}{2}, 1 - 1) = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$. Вектор $\vec{PR} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.
• $\vec{MP} = P - M = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.
• $\vec{NR} = R - N = (1 - 1, \frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Поскольку $\vec{MN} = \vec{PR}$ и $\vec{MP} = \vec{NR}$, то противоположные стороны четырехугольника $MNRP$ параллельны и равны по длине. Это означает, что $MNRP$ является параллелограммом.

Проверим, является ли этот параллелограмм прямоугольником, вычислив скалярное произведение смежных сторон, например, $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$:

$\vec{MN} \cdot \vec{MP} = (\frac{1}{2})(0) + (\frac{1}{2})(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$ перпендикулярны. Следовательно, угол между сторонами $MN$ и $MP$ прямой.

Таким образом, сечение $MNRP$ является прямоугольником.

Найдите его площадь:

Длины сторон прямоугольника $MNRP$:

• Длина $MP$ - это расстояние между $M(\frac{1}{2}, 0, 0)$ и $P(\frac{1}{2}, 0, 1)$. $MP = \sqrt{(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$. Эта длина равна длине ребра куба.
• Длина $MN$ - это расстояние между $M(\frac{1}{2}, 0, 0)$ и $N(1, \frac{1}{2}, 0)$. $MN = \sqrt{(1-\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2}-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его смежных сторон:

$S = MP \cdot MN = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Сечением является прямоугольник, вершинами которого являются середины ребер $AB$, $BC$, $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Его площадь равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

6. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD, BC, CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a = 1$.
Сечение проходит через середины ребер $AD$, $BC$ и $CC_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины, не требующая перевода).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем систему координат с началом в точке $A$. Пусть ребро $AB$ лежит вдоль оси $x$, ребро $AD$ вдоль оси $y$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $z$. Тогда координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

1. Пусть $M$ - середина ребра $AD$. Координаты $A(0,0,0)$ и $D(0,1,0)$. $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.

2. Пусть $N$ - середина ребра $BC$. Координаты $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$. $N = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.

3. Пусть $P$ - середина ребра $CC_1$. Координаты $C(1,1,0)$ и $C_1(1,1,1)$. $P = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1, 1, 0.5)$.

Изобразите сечение:

Для определения формы сечения найдем все точки пересечения секущей плоскости с ребрами куба. У нас есть три точки: $M(0, 0.5, 0)$, $N(1, 0.5, 0)$, $P(1, 1, 0.5)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через $M$, $N$, $P$. Вектор $\vec{MN} = N - M = (1-0, 0.5-0.5, 0-0) = (1, 0, 0)$. Вектор $\vec{MP} = P - M = (1-0, 1-0.5, 0.5-0) = (1, 0.5, 0.5)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{MN} \times \vec{MP}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0.5 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0.5 - 0 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) = (0, -0.5, 0.5)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $A=0, B=-0.5, C=0.5$: $0x - 0.5y + 0.5z + D = 0$. Чтобы найти $D$, подставим координаты точки $M(0, 0.5, 0)$: $0(0) - 0.5(0.5) + 0.5(0) + D = 0$ $-0.25 + D = 0 \Rightarrow D = 0.25$.

Уравнение секущей плоскости: $-0.5y + 0.5z + 0.25 = 0$. Для упрощения умножим на 4: $-2y + 2z + 1 = 0$, или $2y - 2z - 1 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба:

Ребро $DD_1$: $x=0$, $y=1$, $z \in [0,1]$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) - 2z - 1 = 0$ $2 - 2z - 1 = 0$ $1 - 2z = 0 \Rightarrow 2z = 1 \Rightarrow z = 0.5$. Получаем точку $Q(0, 1, 0.5)$. Так как $0 \le 0.5 \le 1$, эта точка лежит на ребре $DD_1$. $Q$ является серединой ребра $DD_1$.

Остальные ребра (например, $AB, CD, AA_1, BB_1, A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, A_1D_1$) не пересекаются с данной плоскостью внутри своего отрезка (как было проверено в черновике, либо точки пересечения лежат вне диапазона $[0,1]$ для соответствующей координаты).

Таким образом, сечение куба - это четырехугольник $MNPQ$. Вершины сечения: $M(0, 0.5, 0)$ - середина $AD$. $N(1, 0.5, 0)$ - середина $BC$. $P(1, 1, 0.5)$ - середина $CC_1$. $Q(0, 1, 0.5)$ - середина $DD_1$.

Определим вид четырехугольника $MNPQ$. Длины сторон: $MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$. $NP = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0.5)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $PQ = \sqrt{(0-1)^2 + (1-1)^2 + (0.5-0.5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1$. $QM = \sqrt{(0-0)^2 + (0.5-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как $MN=PQ$ и $NP=QM$, четырехугольник $MNPQ$ является параллелограммом. Проверим, является ли он прямоугольником, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$: $\vec{MN} = (1, 0, 0)$ $\vec{NP} = (0, 0.5, 0.5)$ $\vec{MN} \cdot \vec{NP} = (1)(0) + (0)(0.5) + (0)(0.5) = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны, то есть $MN \perp NP$. Следовательно, $MNPQ$ является прямоугольником.

Сечением является прямоугольник $MNPQ$, где $M$ - середина $AD$, $N$ - середина $BC$, $P$ - середина $CC_1$, и $Q$ - середина $DD_1$.

Найдите его площадь:

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению длин его смежных сторон: $S = MN \times NP$. $S = 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Сечением является прямоугольник с вершинами в серединах ребер $AD$, $BC$, $CC_1$ и $DD_1$. Его площадь составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

7. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD, CD, A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a=1$.

Сечение проходит через середины ребер $AD$, $CD$, $A_1D_1$. Пусть эти середины обозначены как $K$, $L$ и $M$ соответственно.

Найти

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Для определения сечения введем систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$. Тогда вершины куба будут иметь следующие координаты: $A(1,0,0)$, $B(1,1,0)$, $C(0,1,0)$, $D(0,0,0)$, $A_1(1,0,1)$, $B_1(1,1,1)$, $C_1(0,1,1)$, $D_1(0,0,1)$.

Найдем координаты заданных точек:

• $K$ - середина ребра $AD$. $K = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.
• $L$ - середина ребра $CD$. $L = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 0\right)$.
• $M$ - середина ребра $A_1D_1$. $M = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Эти три точки $K, L, M$ определяют плоскость сечения. Найдем уравнение этой плоскости $Ax+By+Cz=D'$.

• Для $K\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$: $\frac{1}{2}A = D'$.
• Для $L\left(0, \frac{1}{2}, 0\right)$: $\frac{1}{2}B = D'$.
• Для $M\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$: $\frac{1}{2}A + C = D'$.

Из первых двух уравнений получаем $A=2D'$ и $B=2D'$. Подставим $A=2D'$ в третье уравнение: $\frac{1}{2}(2D') + C = D' \Rightarrow D' + C = D' \Rightarrow C = 0$.

Если $D' \neq 0$, то, разделив на $D'$, получаем $2x+2y=1$, или $x+y=\frac{1}{2}$.

Плоскость $x+y=\frac{1}{2}$ параллельна оси $Oz$. Найдем точки ее пересечения с остальными ребрами куба.

Рассмотрим ребро $C_1D_1$. Оно соединяет точки $D_1(0,0,1)$ и $C_1(0,1,1)$. Для точек на этом ребре $x=0$ и $z=1$. Подставим эти значения в уравнение плоскости: $0+y=\frac{1}{2} \Rightarrow y=\frac{1}{2}$. Таким образом, плоскость пересекает ребро $C_1D_1$ в точке $N\left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$, которая является серединой этого ребра.

Поскольку плоскость $x+y=\frac{1}{2}$ не пересекает ребра $AB$, $BC$, $A_1B_1$, $B_1C_1$, $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ (так как для них $x+y \ge 1$), сечение будет четырехугольником, образованным точками $K, L, N, M$.

Координаты вершин сечения: $K\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$, $L\left(0, \frac{1}{2}, 0\right)$, $N\left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$, $M\left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$.

Рассмотрим векторы сторон:

• Вектор $\vec{KM} = M-K = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, 0-0, 1-0\right) = (0, 0, 1)$. Длина $KM = 1$.
• Вектор $\vec{LN} = N-L = \left(0-0, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}, 1-0\right) = (0, 0, 1)$. Длина $LN = 1$.
• Вектор $\vec{KL} = L-K = \left(0-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-0, 0-0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$.
• Вектор $\vec{MN} = N-M = \left(0-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-0, 1-1\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$.

Так как $\vec{KM} = \vec{LN}$ и $\vec{KL} = \vec{MN}$, четырехугольник $KLNM$ является параллелограммом.Для проверки, является ли он прямоугольником, вычислим скалярное произведение смежных сторон, например $\vec{KL}$ и $\vec{KM}$:

$\vec{KL} \cdot \vec{KM} = \left(-\frac{1}{2}\right)(0) + \left(\frac{1}{2}\right)(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Скалярное произведение равно нулю, что означает, что векторы $\vec{KL}$ и $\vec{KM}$ перпендикулярны. Следовательно, четырехугольник $KLNM$ является прямоугольником.

Ответ: Сечение является прямоугольником $KLNM$, проходящим через середины ребер $AD$, $CD$, $A_1D_1$ и $C_1D_1$.

Найдите его площадь

Для вычисления площади прямоугольника $KLNM$ необходимо найти длины его смежных сторон.

• Длина стороны $KM$: $KM = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (1)^2} = \sqrt{1} = 1$.
• Длина стороны $KL$: $KL = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + (0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 0} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его сторон:

$S = KM \cdot KL = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

8. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AB$, $CD$, $AA_1$. Найдите его площадь.

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a=1$.
Сечение проходит через середины ребер $AB$, $CD$, $AA_1$.
Пусть $M$ - середина ребра $AB$.
Пусть $N$ - середина ребра $CD$.
Пусть $K$ - середина ребра $AA_1$.

Найти:
1. Изобразить сечение.
2. Найти его площадь.

Решение

Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты заданных точек (середин ребер):
* $M$ - середина ребра $AB$: $M(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(\frac{1}{2},0,0)$.

* $N$ - середина ребра $CD$: $N(\frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = N(\frac{1}{2},1,0)$.

* $K$ - середина ребра $AA_1$: $K(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = K(0,0,\frac{1}{2})$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M, N, K$. Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz=D$.
Подставим координаты точек в уравнение плоскости:

Для $M(\frac{1}{2},0,0)$: $A(\frac{1}{2}) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow \frac{1}{2}A = D \Rightarrow A = 2D$.

Для $N(\frac{1}{2},1,0)$: $A(\frac{1}{2}) + B(1) + C(0) = D \Rightarrow \frac{1}{2}A + B = D$. Подставляя $A=2D$: $\frac{1}{2}(2D) + B = D \Rightarrow D+B=D \Rightarrow B=0$.

Для $K(0,0,\frac{1}{2})$: $A(0) + B(0) + C(\frac{1}{2}) = D \Rightarrow \frac{1}{2}C = D \Rightarrow C = 2D$.

Подставим $A=2D$, $B=0$, $C=2D$ в уравнение плоскости: $2Dx + 0y + 2Dz = D$.
Разделим на $D$ (предполагая $D \ne 0$): $2x + 2z = 1$, или $x+z=\frac{1}{2}$.

Теперь найдем все точки пересечения этой плоскости с ребрами куба (кроме уже известных $M, N, K$).
Проверим ребра, не лежащие на осях или в плоскостях $x=0, z=0$ (т.е. $AB, AD, AA_1$).
* Ребро $CD$ ($y=1, z=0, 0 \le x \le 1$): $x+0=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Это точка $N(\frac{1}{2},1,0)$, уже известна.
* Ребро $DD_1$ ($x=0, y=1, 0 \le z \le 1$): $0+z=\frac{1}{2} \Rightarrow z=\frac{1}{2}$. Точка $L(0,1,\frac{1}{2})$. Это середина ребра $DD_1$.
* Ребро $BC$ ($x=1, z=0, 0 \le y \le 1$): $1+0=\frac{1}{2} \Rightarrow 1=\frac{1}{2}$. Это равенство неверно, следовательно, плоскость не пересекает ребро $BC$.
* Ребро $BB_1$ ($x=1, y=0, 0 \le z \le 1$): $1+z=\frac{1}{2} \Rightarrow z=-\frac{1}{2}$. Это значение $z$ находится вне диапазона $[0,1]$, следовательно, плоскость не пересекает ребро $BB_1$.
* Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1, 0 \le z \le 1$): $1+z=\frac{1}{2} \Rightarrow z=-\frac{1}{2}$. Это значение $z$ находится вне диапазона $[0,1]$, следовательно, плоскость не пересекает ребро $CC_1$.
* Аналогично, плоскость не пересекает ребра верхнего основания ($A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$), так как для всех точек на этих ребрах $z=1$, что дает $x+1=\frac{1}{2}$ или $x=-\frac{1}{2}$, что вне диапазона $[0,1]$ для $x$.

Таким образом, сечение является четырехугольником $MNLK$ с вершинами:
$M(\frac{1}{2},0,0)$ - середина ребра $AB$ (переднего нижнего)
$N(\frac{1}{2},1,0)$ - середина ребра $CD$ (заднего нижнего)
$L(0,1,\frac{1}{2})$ - середина ребра $DD_1$ (левого заднего вертикального)
$K(0,0,\frac{1}{2})$ - середина ребра $AA_1$ (левого переднего вертикального)

1. Изображение сечения:
Сечение представляет собой четырехугольник $MNLK$. Представьте себе куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ находится ровно посередине переднего ребра $AB$. Точка $N$ находится ровно посередине заднего ребра $CD$. Точка $K$ находится ровно посередине левого переднего вертикального ребра $AA_1$. Точка $L$ находится ровно посередине левого заднего вертикального ребра $DD_1$. Сечение соединяет эти четыре точки, образуя плоскую фигуру. Данная фигура является прямоугольником.

2. Площадь сечения:
Определим длины сторон четырехугольника $MNLK$:
Длина $MN = \sqrt{(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0^2+1^2+0^2} = \sqrt{1} = 1$.
Длина $KL = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (\frac{1}{2}-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{0^2+1^2+0^2} = \sqrt{1} = 1$.
Так как $MN=KL=1$ и отрезки $MN$ и $KL$ параллельны (оба параллельны оси $Oy$, поскольку у них одинаковые $x$ и $z$ координаты соответственно, а $y$ изменяется), четырехугольник $MNLK$ является параллелограммом.

Теперь найдем длину стороны $MK$:
Длина $MK = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2 + (0-0)^2 + (0-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+0^2+(-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для проверки того, является ли параллелограмм прямоугольником, вычислим скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$:
$\vec{MN} = N-M = (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, 1-0, 0-0) = (0,1,0)$.
$\vec{MK} = K-M = (0-\frac{1}{2}, 0-0, \frac{1}{2}-0) = (-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$.
$\vec{MN} \cdot \vec{MK} = (0)(-\frac{1}{2}) + (1)(0) + (0)(\frac{1}{2}) = 0+0+0 = 0$.
Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, они перпендикулярны. Следовательно, углы параллелограмма $MNLK$ прямые, и он является прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
$S_{MNLK} = MN \times MK = 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

9. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $CC_1$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина, через которую проходит сечение: $A$.

Середины рёбер, через которые проходит сечение: середина $CC_1$ (обозначим $M_C$), середина $DD_1$ (обозначим $M_D$).

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти

Сечение и его площадь.

Решение

Для удобства введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$. Тогда координаты других вершин куба: $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$. Длина ребра куба $a=1$.

Найдем координаты заданных точек:

• Вершина $A$: $A(0,0,0)$.
• Середина ребра $CC_1$: $M_C\left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = M_C(1,1,1/2)$.
• Середина ребра $DD_1$: $M_D\left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = M_D(0,1,1/2)$.

Изобразите сечение

Сечение проходит через точки $A(0,0,0)$, $M_C(1,1,1/2)$ и $M_D(0,1,1/2)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Векторы, лежащие в этой плоскости, могут быть $\vec{AM_C}$ и $\vec{AM_D}$.

• $\vec{AM_C} = (1-0, 1-0, 1/2-0) = (1,1,1/2)$.
• $\vec{AM_D} = (0-0, 1-0, 1/2-0) = (0,1,1/2)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{AM_C} \times \vec{AM_D}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1/2 - 1/2 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(1/2) + \mathbf{k}(1) = (0, -1/2, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Так как $A=0$, $B=-1/2$, $C=1$, оно будет $0x - 1/2y + 1z + D = 0$. Подставим координаты точки $A(0,0,0)$ для нахождения $D$: $0 - 1/2(0) + 1(0) + D = 0 \Rightarrow D=0$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $-1/2y + z = 0$, или $y = 2z$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $AB$: на этом ребре $y=0$ и $z=0$. Подставляем в $y=2z$: $0=2(0)$, что верно для всех точек ребра $AB$. Это означает, что вся сторона $AB$ лежит в плоскости сечения. Таким образом, $B(1,0,0)$ является вершиной сечения.
• Ребро $AD$: на этом ребре $x=0$ и $z=0$. Подставляем в $y=2z$: $y=2(0) \Rightarrow y=0$. Точка $A(0,0,0)$.
• Ребро $AA_1$: на этом ребре $x=0$ и $y=0$. Подставляем в $y=2z$: $0=2z \Rightarrow z=0$. Точка $A(0,0,0)$.
• Ребро $BC$: на этом ребре $x=1$ и $z=0$. Подставляем в $y=2z$: $y=2(0) \Rightarrow y=0$. Точка $B(1,0,0)$.
• Ребро $CD$: на этом ребре $y=1$ и $z=0$. Подставляем в $y=2z$: $1=2(0) \Rightarrow 1=0$, что неверно. Значит, сечение не пересекает ребро $CD$.
• Ребро $DD_1$: точка $M_D(0,1,1/2)$ уже найдена.
• Ребро $CC_1$: точка $M_C(1,1,1/2)$ уже найдена.
• Ребро $BB_1$: на этом ребре $x=1$ и $y=0$. Подставляем в $y=2z$: $0=2z \Rightarrow z=0$. Точка $B(1,0,0)$.

Вершинами сечения являются точки $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $M_C(1,1,1/2)$ и $M_D(0,1,1/2)$. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $ABM_CM_D$.

Определим тип четырехугольника $ABM_CM_D$.

• Вектор $\vec{AB} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$. Длина $AB=1$.
• Вектор $\vec{M_DC_M} = (1-0, 1-1, 1/2-1/2) = (1,0,0)$. Длина $M_CM_D=1$.

Поскольку $\vec{AB} = \vec{M_DM_C}$, стороны $AB$ и $M_CM_D$ параллельны и равны по длине, что означает, что $ABM_CM_D$ является параллелограммом.

Проверим, является ли этот параллелограмм прямоугольником. Для этого достаточно проверить, перпендикулярны ли смежные стороны, например $AB$ и $AM_D$.

• Вектор $\vec{AM_D} = (0-0, 1-0, 1/2-0) = (0,1,1/2)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AM_D}$: $\vec{AB} \cdot \vec{AM_D} = (1)(0) + (0)(1) + (0)(1/2) = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AM_D}$ перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм $ABM_CM_D$ является прямоугольником.

Описание сечения: Сечение представляет собой прямоугольник $ABM_CM_D$. Одна из его сторон, $AB$, лежит на основании куба $ABCD$. Другая сторона, $M_CM_D$, параллельна $AB$ и проходит через середины вертикальных ребер $CC_1$ и $DD_1$, находясь на высоте $1/2$ от основания куба. Стороны $AM_D$ и $BM_C$ соединяют вершины основания с серединами соответствующих вертикальных ребер.

Ответ: Прямоугольник $ABM_CM_D$.

Найдите его площадь

Так как сечение является прямоугольником, его площадь равна произведению длин смежных сторон. Возьмем стороны $AB$ и $AM_D$.

• Длина стороны $AB = 1$ (как ребро единичного куба).
• Длина стороны $AM_D$: $|AM_D| = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Площадь сечения $S$:

$S = AB \cdot AM_D = 1 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.