Номер 58, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

58. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AE_1$.

59. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF$

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра призмы равны $1$.

Перевод в СИ:
Длина ребра основания $a = 1$ (единица длины).
Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Найти:
Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AE_1$.

Решение:
Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим центр нижнего основания призмы, точку $O$, в начало координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль диагонали $AD$ (или $OA$), ось $Oy$ перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания, ось $Oz$ вдоль высоты призмы.
Поскольку призма правильная шестиугольная и сторона основания равна $a=1$, то расстояние от центра до любой вершины основания также равно $1$.
Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ будут:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получаются добавлением высоты призмы $h=1$ к $z$-координатам соответствующих вершин нижнего основания:
$A_1 = (1, 0, 1)$
$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Рассмотрим две прямые, между которыми нужно найти расстояние: $BA_1$ и $AE_1$.
Прямая $BA_1$ проходит через точку $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v}_{BA_1} = \vec{A_1} - \vec{B} = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
Прямая $AE_1$ проходит через точку $A(1, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v}_{AE_1} = \vec{E_1} - \vec{A} = (-\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$ и $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ соответственно, можно найти по формуле:
$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{||\vec{v}_1 \times \vec{v}_2||}$

В нашем случае, пусть $P_1 = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $P_2 = A(1, 0, 0)$.
Вычислим вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1} = \vec{A} - \vec{B} = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v}_{BA_1} \times \vec{v}_{AE_1}$:
$\vec{n} = \vec{v}_{BA_1} \times \vec{v}_{AE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix}$
$x$-компонента: $(-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - (1)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$
$y$-компонента: $(1)(-\frac{3}{2}) - (\frac{1}{2})(1) = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$
$z$-компонента: $(\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{3}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4} = -\frac{4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}$
Таким образом, $\vec{n} = (0, -2, -\sqrt{3})$.

Вычислим модуль этого вектора:
$||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 4 + 3} = \sqrt{7}$.

Вычислим скалярное произведение вектора $(\vec{P_2} - \vec{P_1})$ на вектор $\vec{n}$:
$(\vec{A} - \vec{B}) \cdot \vec{n} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, -2, -\sqrt{3})$
$= (\frac{1}{2})(0) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-2) + (0)(-\sqrt{3}) = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$.

Теперь подставим все значения в формулу для расстояния:
$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:
$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ:
Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AE_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.