Номер 55, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

55. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $FE_1$.

56. В правильной шестиугольной призм

Дано:

Правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁.

Все рёбра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми BA₁ и FE₁.

Решение:

1.Введение системы координат:

Расположим центр нижнего основания ABCDEF в начале координат $O(0,0,0)$.

Ось $Ox$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину $A$.

Ось $Oz$ направим вдоль высоты призмы.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ в основании:$A = (1, 0, 0)$$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$$D = (-1, 0, 0)$$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания A₁B₁C₁D₁E₁F₁ будут иметь $z$-координату, равную 1:$A_1 = (1, 0, 1)$$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

2.Задание прямых векторами:

Прямая BA₁ проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Направляющий вектор прямой BA₁: $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

В качестве точки на прямой BA₁ возьмем $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Прямая FE₁ проходит через точки $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Направляющий вектор прямой FE₁: $\vec{v_2} = \vec{FE_1} = E_1 - F = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

В качестве точки на прямой FE₁ возьмем $P_2 = F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

3.Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми:

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными параметрически как $L_1: P_1 + t\vec{v_1}$ и $L_2: P_2 + s\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1/2 \cdot 0 - (-\sqrt{3}/2) \cdot (-1))$

$= -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - (\frac{1}{2} + 1)\mathbf{j} - \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем модуль векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$

$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Найдем вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$:

$\vec{P_2} - \vec{P_1} = F - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$

Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение):

$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (0, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

$= 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{3}{2}) + 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\frac{3\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Ответ:

Расстояние между прямыми BA₁ и FE₁ равно $\frac{3\sqrt{5}}{5}$.