Номер 49, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

49. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $FC_1$.

Дано

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1.

Это означает, что длина стороны основания шестиугольника $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Единицы измерения не указаны, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $FC_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $FC_1$ воспользуемся методом координат.

Разместим начало координат в центре нижнего основания $ABCDEF$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину $A$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $OO_1$ (перпендикулярно плоскости основания).

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$:

Вершины нижнего основания ($z=0$): $A = (1, 0, 0)$, $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D = (-1, 0, 0)$, $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Высота призмы $h=1$, поэтому $z$-координаты вершин верхнего основания равны 1.

Вершины верхнего основания ($z=1$): $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$, $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Определим точки и направляющие векторы для каждой прямой.

Прямая $BB_1$: Точка на прямой $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Прямая $FC_1$: Точка на прямой $P_2 = F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{FC_1} = C_1 - F = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1, \sqrt{3}, 1)$.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ с направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно, определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

Сначала найдем вектор $\vec{P_1P_2}$: $\vec{P_1P_2} = \vec{BF} = F - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Затем найдем векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot (-1)) = -\sqrt{3}\mathbf{i} - \mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (-\sqrt{3}, -1, 0)$.

Вычислим модуль этого векторного произведения: $\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 1 + 0} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем смешанное произведение (скалярное произведение $\vec{P_1P_2}$ на $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$): $(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})) = (0, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}, -1, 0) = (0)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(-1) + (0)(0) = 0 + \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}$.

Наконец, вычислим расстояние: $d = \frac{|\sqrt{3}|}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Данный результат может быть также получен геометрическим методом:

Прямая $BB_1$ вертикальна (параллельна оси $Oz$). Найдем уравнение плоскости, содержащей прямую $FC_1$ и параллельной прямой $BB_1$. Поскольку $BB_1$ параллельна оси $Oz$, искомая плоскость должна быть вертикальной, т.е. ее нормальный вектор лежит в плоскости $Oxy$.

Нормальный вектор этой плоскости параллелен $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-\sqrt{3}, -1, 0)$. Возьмем нормальный вектор $\vec{n} = (\sqrt{3}, 1, 0)$ (можно взять вектор, противоположный найденному, для удобства).

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим $A=\sqrt{3}$, $B=1$, $C=0$: $\sqrt{3}x + y + D = 0$.

Плоскость проходит через точку $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Подставим ее координаты для нахождения $D$: $\sqrt{3}(1/2) + (-\sqrt{3}/2) + D = 0 \Rightarrow \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 + D = 0 \Rightarrow D = 0$.

Уравнение плоскости, содержащей $FC_1$ и параллельной $BB_1$, есть $\sqrt{3}x + y = 0$.

Расстояние от прямой $BB_1$ до этой плоскости равно расстоянию от любой точки на прямой $BB_1$ (например, от точки $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$) до этой плоскости.

Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Подставим координаты точки $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и коэффициенты плоскости $A=\sqrt{3}$, $B=1$, $C=0$, $D=0$: $d = \frac{|\sqrt{3}(1/2) + 1(\sqrt{3}/2) + 0(0) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$