Номер 46, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

46. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $EA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех ребер равны 1.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $EA_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $EA_1$ воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, а длина ребра основания равна 1, радиус описанной окружности вокруг шестиугольника также равен 1. Высота призмы также равна 1.

Координаты вершин призмы:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Определим прямые:

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Направляющий вектор прямой $BB_1$: $\vec{u} = \vec{BB_1} = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Прямая $EA_1$ проходит через точки $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $A_1(1, 0, 1)$.

Направляющий вектор прямой $EA_1$: $\vec{v} = \vec{EA_1} = (1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Выберем точку на прямой $BB_1$, например $P_1 = B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Выберем точку на прямой $EA_1$, например $P_2 = E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор, соединяющий точки $P_1$ и $P_2$: $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми может быть найдено по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}))|}{||\vec{u} \times \vec{v}||}$

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 3/2) + \mathbf{k}(0 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot 3/2)$

$ = (-\sqrt{3}/2, 3/2, 0)$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$(-1, -\sqrt{3}, 0) \cdot (-\sqrt{3}/2, 3/2, 0) = (-1)(-\sqrt{3}/2) + (-\sqrt{3})(3/2) + (0)(0)$

$ = \sqrt{3}/2 - 3\sqrt{3}/2 = -2\sqrt{3}/2 = -\sqrt{3}$.

Вычислим модуль векторного произведения $||\vec{u} \times \vec{v}||$:

$||\vec{u} \times \vec{v}|| = \sqrt{(-\sqrt{3}/2)^2 + (3/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 9/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Подставим значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$.

Альтернативный геометрический подход:

Прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Прямая $EA_1$ соединяет вершину $E$ нижнего основания с вершиной $A_1$ верхнего основания.

Рассмотрим отрезок $B_1A_1$. Он лежит в верхней плоскости основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Так как прямая $BB_1$ перпендикулярна этой плоскости, то отрезок $B_1A_1$ перпендикулярен прямой $BB_1$.

Теперь проверим, является ли $B_1A_1$ перпендикуляром к прямой $EA_1$.

Координаты $A_1 = (1, 0, 1)$ и $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор $\vec{B_1A_1} = A_1 - B_1 = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 1) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор $\vec{EA_1} = (3/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{B_1A_1} \cdot \vec{EA_1} = (1/2)(3/2) + (-\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) + (0)(1)$

$ = 3/4 - 3/4 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{B_1A_1}$ и $\vec{EA_1}$ перпендикулярны. Следовательно, отрезок $B_1A_1$ является общим перпендикуляром к прямым $BB_1$ и $EA_1$.

Длина отрезка $B_1A_1$:

$|B_1A_1| = \sqrt{(1 - 1/2)^2 + (0 - \sqrt{3}/2)^2 + (1 - 1)^2}$

$ = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Ответ: 1