Номер 42, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

42. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $CE_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $CE_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BB_1$ и $CE_1$ воспользуемся координатным методом.

Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная шестиугольная и все ее ребра равны 1, то длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, центрированного в начале координат, если вершина $A$ расположена на оси $Ox$:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания будут иметь $z$-координату, равную высоте призмы, то есть 1:

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Рассмотрим прямую $BB_1$. Она проходит через точку $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{u} = \vec{B_1} - \vec{B} = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, 0, 1)$.

Рассмотрим прямую $CE_1$. Она проходит через точку $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v} = \vec{E_1} - \vec{C} = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ с направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ соответственно, используется формула:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{||\vec{u} \times \vec{v}||}$

В нашем случае:

$P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$P_2 = C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$\vec{u} = (0,0,1)$

$\vec{v} = (0, -\sqrt{3}, 1)$

Вычислим вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1}$:

$\vec{P_2} - \vec{P_1} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = (\sqrt{3}, 0, 0)$.

Вычислим смешанное произведение $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1, 0, 0) \cdot (\sqrt{3}, 0, 0) = (-1)(\sqrt{3}) + (0)(0) + (0)(0) = -\sqrt{3}$.

Вычислим модуль вектора $\vec{u} \times \vec{v}$:

$||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||(\sqrt{3}, 0, 0)|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$.

Альтернативный геометрический подход:

Прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим отрезок $BC$. Он является ребром основания. Его длина равна 1.

Поскольку прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе отрезку $BC$. Значит, $BC \perp BB_1$.

Найдем вектор $\vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0) = (-1, 0, 0)$.

Направляющий вектор прямой $CE_1$ равен $\vec{v} = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{BC} \cdot \vec{v}$:

$\vec{BC} \cdot \vec{v} = (-1, 0, 0) \cdot (0, -\sqrt{3}, 1) = (-1)(0) + (0)(-\sqrt{3}) + (0)(1) = 0$.

Так как скалярное произведение равно 0, то $\vec{BC} \perp \vec{CE_1}$.

Таким образом, отрезок $BC$ перпендикулярен обеим прямым $BB_1$ и $CE_1$. Следовательно, отрезок $BC$ является общим перпендикуляром к этим скрещивающимся прямым.

Длина этого перпендикуляра и есть искомое расстояние. Длина $BC$ равна длине ребра шестиугольника, то есть 1.

Оба метода дают один и тот же результат.

Ответ

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $CE_1$ равно 1.